2024屆遼寧省鳳城市一中數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆遼寧省鳳城市一中數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．滿(mǎn)足的角的集合為（）A. B.C. D.2．命題“，”的否定是A.， B.，C.， D.，3．下列函數(shù)中，最小正周期是且是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.4．已知，則（）A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a5．已知，若，則x的取值范圍為（）A. B.C. D.6．下列各角中，與角1560°終邊相同的角是（）A.180° B.-240°C.-120° D.60°7．定義在上的函數(shù)，，若在區(qū)間上為增函數(shù)，則一定為正數(shù)的是A. B.C. D.8．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B.C. D.9．已知aR且a>b，則下列不等式一定成立的是（）A.> B.>abC.> D.a(a—b)>b(a—b)10．若一束光線(xiàn)從點(diǎn)射入，經(jīng)直線(xiàn)反射到直線(xiàn)上的點(diǎn)，再經(jīng)直線(xiàn)反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則____12．已知函數(shù)(，且)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則__________.13．某品牌筆記本電腦的成本不斷降低，若每隔4年價(jià)格就降低，則現(xiàn)在價(jià)格為8100元的筆記本電腦，12年后的價(jià)格將降為_(kāi)_________元14．水車(chē)在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類(lèi)的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類(lèi)利用自然和改造自然的象征.如圖是一個(gè)半徑為的水車(chē)，以水車(chē)的中心為原點(diǎn)，過(guò)水車(chē)的中心且平行于水平面的直線(xiàn)為軸，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)秒.經(jīng)過(guò)秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿(mǎn)足，當(dāng)秒時(shí)，___________.15．已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____16．函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性是______．（填寫(xiě)“單調(diào)遞增”或“單調(diào)遞減”）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，在圓上（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交圓于，兩點(diǎn).①若弦長(zhǎng)，求直線(xiàn)的方程；②分別過(guò)點(diǎn)，作圓的切線(xiàn)，交于點(diǎn)，判斷點(diǎn)在何種圖形上運(yùn)動(dòng)，并說(shuō)明理由.18．已知.（1）求的值；（2）若且，求sin2α－cosα的值19．對(duì)于在區(qū)間上有意義的函數(shù)，若滿(mǎn)足對(duì)任意的，，有恒成立，則稱(chēng)在上是“友好”的，否則就稱(chēng)在上是“不友好”的．現(xiàn)有函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上是否“友好”；（2）若關(guān)于x的方程的解集中有且只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20．已知函數(shù),且.（1）求的解析式，判斷并證明它的奇偶性；（2）求證：函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù).21．(1)計(jì)算：lg25+lg2?lg50+lg22(2)已知=3，求的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】利用正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求解.【題目詳解】.故選：D.2、C【解題分析】特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，并將結(jié)論加以否定，所以命題的否定為：，考點(diǎn)：全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題3、A【解題分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性和奇偶性對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【題目詳解】A選項(xiàng)，的最小正周期是，且是奇函數(shù)，A正確.B選項(xiàng)，的最小正周期是，且是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，的最小正周期為，且是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，的最小正周期是，且是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：A4、A【解題分析】找中間量0或1進(jìn)行比較大小，可得結(jié)果【題目詳解】，所以，故選：A.【題目點(diǎn)撥】此題考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題5、C【解題分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性和定義域，再解抽象不等式.【題目詳解】函數(shù)的定義域需滿(mǎn)足，解得：，并且在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以，即，解得：或.故選：C【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是判斷函數(shù)的單調(diào)性和定義域，尤其是容易忽略函數(shù)的定義域.6、B【解題分析】終邊相同的角，相差360°的整數(shù)倍，據(jù)此即可求解.【題目詳解】與1560°終邊相同的角為，，當(dāng)時(shí)，.故選：B.7、A【解題分析】在區(qū)間上為增函數(shù)，即故選點(diǎn)睛：本題運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性即計(jì)算出結(jié)果的符號(hào)問(wèn)題，看似本題有點(diǎn)復(fù)雜，在解析式的給出時(shí)含有復(fù)合部分，只要運(yùn)用函數(shù)的解析式求值，然后利用函數(shù)的單調(diào)性，做出減法運(yùn)算即可判定出結(jié)果8、D【解題分析】解不等式，即可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【題目詳解】解不等式，得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】對(duì)于A(yíng)，B，C舉反例判斷即可，對(duì)于D，利用不等式的性質(zhì)判斷【題目詳解】解：對(duì)于A(yíng)，若，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，此時(shí)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，此時(shí)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，所以D正確，故選：D10、C【解題分析】由題可求A關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為及關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，可得直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)，即得.【題目詳解】設(shè)A關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，即，設(shè)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，即，∴直線(xiàn)的方程為：代入，可得，故.故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、##0.25【解題分析】運(yùn)用同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系式，把弦化切代入即可求解.【題目詳解】，故答案為：.12、【解題分析】先求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入冪函數(shù)，即可求出解析式.【題目詳解】令可得，此時(shí)，所以函數(shù)(，且)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)冪函數(shù)，則，解得，所以，故答案為：【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象的特點(diǎn)得出，設(shè)冪函數(shù)，代入即可求得，.13、2400【解題分析】由題意直接利用指數(shù)冪的運(yùn)算得到結(jié)果【題目詳解】12年后的價(jià)格可降為81002400元故答案為2400【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題14、【解題分析】求出關(guān)于的函數(shù)解析式，將代入函數(shù)解析式，求出的值，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得的值.【題目詳解】由題意可知，，函數(shù)的最小正周期為，則，所以，，點(diǎn)對(duì)應(yīng)，，則，可得，，，故，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，故點(diǎn)不與點(diǎn)重合，此時(shí)點(diǎn)，則.故答案為：.15、；【解題分析】由題意得16、單調(diào)遞增【解題分析】求出函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，再判斷作答.【題目詳解】函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)軸為，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，而，所以函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性是單調(diào)遞增.故答案為：?jiǎn)握{(diào)遞增三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）設(shè)圓的方程為：，將點(diǎn)，，分別代入圓方程列方程組可解得，，，從而可得圓的方程；（2）①由（1）得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，討論兩種情況，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則的方程為，由弦長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式列方程求得，從而可得直線(xiàn)的方程；②，利用兩圓公共弦方程求出切點(diǎn)弦方程，將代入切點(diǎn)弦方程，即可得結(jié)果.試題解析：（1）設(shè)圓方程為：，由題意可得解得，，，故圓方程為（2）由（1）得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，的方程是，符合題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則的方程為，即，由，可得圓心到的距離，故，解得，故的方程是，所以，方程是或②設(shè)，則切線(xiàn)長(zhǎng)，故以為圓心，為半徑的圓的方程為，化簡(jiǎn)得圓的方程為：，①又因?yàn)榈姆匠虨椋冖冖倩?jiǎn)得直線(xiàn)的方程為，將代入得：，故點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)18、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得，代入數(shù)據(jù)，即可求得答案.（2）根據(jù)題意，可得，根據(jù)左右同時(shí)平方，利用的關(guān)系，結(jié)合的范圍，即可求得和的值，即可求得答案.【題目詳解】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得，.（2）因?yàn)?，所以，即，兩邊平方?＋2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝－，1－2sinαcosα＝，即(sinα－cosα)2＝，因?yàn)?sinαcosα＝，，所以，所以sinα－cosα>0，所以sinα－cosα＝，結(jié)合cosα＋sinα＝，解得sinα＝，cosα＝－，故sin2α－cosα＝－(－)＝.19、（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上是“友好”的（2）【解題分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出和，由即可求得結(jié)論；（2）化簡(jiǎn)原方程，然后討論的范圍和方程的解即可得答案【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閱握{(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以，，因?yàn)?，所以由題意可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是“友好”的；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，即，且，①所以，即，②?dāng)時(shí)，方程②的解為，代入①成立；當(dāng)時(shí)，方程②的解為，代入①不成立；當(dāng)且時(shí)，方程②的解為或?qū)⒋擘伲瑒t且，解得且，將代入①，則，且，解得且所以要使方程的解集中有且只有一個(gè)元素，則，綜上，的取值范圍為20、（1）,是奇函數(shù)（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】（1）將代入，求得，再由函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.【題目詳解】解：（1）∴∴,∴是奇函數(shù)（2）設(shè)，∵，,，∴，∴在上是單調(diào)減函數(shù).【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)解析式的求法，奇偶性的證法、單調(diào)性的證明，屬于中檔題.21、（1）2；（2）9.【解題分析】（1）利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算法則直接求解（2）利用平方公式得，x+x﹣1＝（）2﹣2＝7，x2+x﹣2＝（x+x﹣1）2﹣2＝49﹣2