高二 數(shù)學 選修2-2函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性、極值

./導數(shù)與單調(diào)區(qū)間、極值重點：會利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求函數(shù)的極值,以及已知單調(diào)性、極值求參數(shù)難點：導函數(shù)與原函數(shù)性質的區(qū)分、恒成立問題。一、f’<x>>0<<0>與f<x>單調(diào)性的關系判斷y=的單調(diào)性,如何進行？判斷函數(shù)f<x>=sinx-x的單調(diào)區(qū)間,如何進行？用圖像法,定義法去試試思考函數(shù)的單調(diào)性與變化率有何關系？變化率又與導數(shù)有什么關系？,②③④一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系：在某個區(qū)間〔a,b如果f’<x>＞0,那么函數(shù)y=f<x>在〔a,b上單調(diào)遞增；如果f’<x>＜0,那么函數(shù)y=f<x>在〔a,b上單調(diào)遞減；特別的,如果時,求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：〔1確定函數(shù)的定義域；〔2求導數(shù)；〔3解不等式,解集在定義域的部分為增區(qū)間；〔4解不等式,解集在定義域的部分為減區(qū)間．典型題一、f’<x>的圖像與f<x>圖像例1．已知導函數(shù)的下列信息：當時,；當,或時,；當,或時,試畫出函數(shù)圖像的大致形狀．A變式1已知函數(shù)y=f〔x的圖象如圖l所示,則其導函數(shù)y=f'〔x的圖象可能是〔A．B．C．D．考點：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系．專題：導數(shù)的概念及應用．分析：根據(jù)原函數(shù)圖象的單調(diào)性及極值點的情況,得到導函數(shù)的零點個數(shù)及導函數(shù)的正負取值,由此即可得到導函數(shù)的圖象的大致形狀．解答：解：由函數(shù)f〔x的圖象看出,在y軸左側,函數(shù)有兩個極值點,且先增后減再增,在y軸右側函數(shù)無極值點,且是減函數(shù),根據(jù)函數(shù)的導函數(shù)的符號和原函數(shù)單調(diào)性間的關系可知,導函數(shù)在y軸右側應有兩個零點,且導函數(shù)值是先正后負再正,在y軸右側無零點,且導函數(shù)值恒負,由此可以斷定導函數(shù)的圖象是A的形狀．故選A．A變式2.函數(shù)y=f〔x的圖象如圖所示,則y=f〔x的導函數(shù)y=f′〔x的圖象可以是〔A．B．C．D．分析：排除法,由圖象知x＜0時,圖象從左向右降低,是減函數(shù),得y的導函數(shù)y,＜0,排除A、B、C,即得．解答：解：由圖象知,當x＜0時,y隨x的增大而減小,是減函數(shù),y=f〔x的導函數(shù)y,=f,〔x＜0；當x＞0時,y也隨x的增大而減小,是減函數(shù),y=f〔x的導函數(shù)y,=f,〔x＜0；所以,y=f〔x的導函數(shù)y,=f,〔x的圖象可以是滿足條件的D答案．故選：D．A變式3設f′〔x是函數(shù)f〔x的導函數(shù),y=f′〔x的圖象如圖所示,則y=f〔x的圖象最有可能的是〔A．B．C．D．分析：先根據(jù)導函數(shù)的圖象確定導函數(shù)大于0的圍和小于0的x的圍,進而根據(jù)當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增,當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減確定原函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間．解答：解：由y=f'〔x的圖象易得當x＜0或x＞2時,f'〔x＞0,故函數(shù)y=f〔x在區(qū)間〔﹣∞,0和〔2,+∞上單調(diào)遞增；當0＜x＜2時,f'〔x＜0,故函數(shù)y=f〔x在區(qū)間〔0,2上單調(diào)遞減；故選C．A變式4已知函數(shù)f〔x的導函數(shù)f′〔x=a〔x+b2+c的圖象如圖所示,則函數(shù)f〔x的圖象可能是〔A．B．C．D．分析：本題利用排除法,由導函數(shù)的圖象可以看出f〔x的單調(diào)區(qū)間,然后愛觀察所給的選項,判斷正誤,問題得以解決．解答：解：由導函數(shù)的圖象可知,當時x＜0時,函數(shù)f〔x單調(diào)遞減,排除A,B；由f〔x在〔﹣∞,0上單調(diào)遞減,在〔0,x1單調(diào)遞增,因此當x=0時,f〔x有極小值,所以D正確．故選：D．B變式1下列各坐標系中是一個函數(shù)與其導函數(shù)的圖象,其中一定錯誤的是〔A．B．C．D．分析：直接對四個選項利用原函數(shù)遞增導函數(shù)值為正以及原函數(shù)遞減導函數(shù)值為負,一一進行驗證即可求出答案．解答：解；對于A,由圖得,開口向下,且對稱軸大于0,故對應的一次函數(shù)為減函數(shù),且與軸的交點在軸的上方,即A符合；對于B,原函數(shù)的圖象是先增,后減再增,對應的導函數(shù)的函數(shù)值應先正后負再正,故B符合．對于C,不論把哪條曲線對應的函數(shù)當成是原函數(shù),均于函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關系相矛盾,故C不符合；對于D,因為原函數(shù)的圖象是先減后增,故其導函數(shù)的圖象是先負后正,即D符合要求．故選C．B變式2已知f′〔x是函數(shù)f〔x的導函數(shù),將y=f〔x和y=f′〔x的圖象畫在同一個直角坐標系中,不可能正確的是〔A．B．C．D．考點：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系．專題：導數(shù)的概念及應用．分析：本題可以考慮排除法,容易看出選項D不正確,因為D的圖象,在整個定義域,不具有單調(diào)性,但y=f〔x和y=f′〔x在整個定義域具有完全相同的走勢,不具有這樣的函數(shù)．解答：解：不可能正確的是D．因為把上面的作為函數(shù)：在最左邊單調(diào)遞增,其導數(shù)應為大于0,但是其導函數(shù)的值小于0,故不正確；同樣把下面的作為函數(shù),中間一段是減函數(shù),導函數(shù)應該小于0,也不正確．因此D不正確．故選：D．注意f’<x>>0y=f<x>單調(diào)遞增f’<x>＜0y=f<x>單調(diào)遞減f’<x>增減性與y=f<x>增減性無關。例如f’<x>>0與y=f<x>>0無關典型題二、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間。例3．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間．〔1；〔2當導函數(shù)是二次函數(shù)時,也可以根據(jù)圖像來看f’<x>的符號。A變式1；A變式2體會：用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間和用定義法求單調(diào)區(qū)間比較二．變化率快慢與導數(shù)大小的關系典型題、變化率快慢與切線斜率例4．如圖3.3-6,水以常速〔即單位時間注入水的體積相同注入下面四種底面積相同的容器中,請分別找出與各容器對應的水的高度與時間的函數(shù)關系圖像．思考你能從導數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？一般的,如果一個函數(shù)在某一圍導數(shù)的絕對值較大,那么函數(shù)在這個圍變化的快,這時,函數(shù)的圖像就比較"陡峭"；反之,函數(shù)的圖像就"平緩"一些．增加還是減小〔變化的快慢絕對值的大小三、極值點思考：當時,當時,那當x=b時,是多少呢？圖像上最特殊的點是哪幾個？的點單調(diào)性的轉折點在一點附近函數(shù)值最大〔最小的點我們把點a叫做函數(shù)y=f<x>的極小值點,f<a>叫做函數(shù)y=f<x>的極小值；點b叫做函數(shù)y=f<x>的極大值點,f<a>叫做函數(shù)y=f<x>的極大值。極大值點與極小值點稱為極值點,極大值與極小值稱為極值.找出圖中的極點,并說明哪些點為極大值點,哪些點為極小值點？思考極大值一定大于極小值嗎？典型題求函數(shù)極值例題求函數(shù)的極值歸納：求函數(shù)y=f<x>極值的方法是:求,解方程=0,當=0時:如果在x0附近的左邊＞0,右邊＜0,那么f<x0>是極大值.如果在x0附近的左邊＜0,右邊＞0,那么f<x0>是極小值思考導數(shù)值為0的點一定是極值點嗎？為什么？極值點本質是單調(diào)性的轉折點,所以肯定要一邊＜0,一邊＞0典型題已知含參函數(shù)極值點、極值,求參數(shù)例題.已知函數(shù)f〔x=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1處取得極值,求函數(shù)f〔x的解析式及單調(diào)區(qū)間。A變式1已知函數(shù)當時,取極小值,求。A變式2.已知函數(shù),當時,有極大值；求的值；A變式3.已知f<x>=x3+ax2+<a+b>x+1有極大值和極小值,數(shù)a的圍。A變式4已知函數(shù)f〔x=x3+bx2+cx的圖象如圖所示,則等于〔。用b,c表示B變式1已知函數(shù)f〔x=mx3+3〔m﹣1x2﹣m2+1〔m＞0的單調(diào)遞減區(qū)間是〔0,4,則m=〔A．3B．C．2D．分析：首先對f〔x求導數(shù)f'〔x,由題意令f'〔x＜0,根據(jù)條件得0和4是方程f'〔x=0的兩根,由根與系數(shù)的關系得到m的值．解答：解：函數(shù)f〔x=mx3+3〔m﹣1x2﹣m2+1〔m＞0則導數(shù)f'〔x=3mx2+6〔m﹣1x,令f'〔x＜0即3mx2+6〔m﹣1x＜0,∵m＞0,f〔x的單調(diào)遞減區(qū)間是〔0,4,∴0,4是方程3mx2+6〔m﹣1x=0的兩根,∴0+4=,0×4=0,∴m=．故選：B．B變式2若函數(shù)f<x>=x3-3bx+3b在〔0,1有極小值,數(shù)b的圍典型題、已知含參函數(shù)單調(diào)區(qū)間,求參數(shù).例題若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[-1,2],則b=,c=A變式1.若函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù),則實數(shù)m的取值圍是〔A變式2若函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù),則實數(shù)m的取值圍是〔A變式3若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,則b=c=B變式1已知函數(shù)f〔x=〔x+a2﹣7lnx+1在〔1,+∞上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值圍為〔A．〔,+∞B．[,+∞C．〔﹣∞,D．〔﹣∞,﹣]分析：f〔x在〔1,+∞上單調(diào)遞增,則其導函數(shù)大于等于0恒成立．解答：解：=≥0,在x∈〔1,+∞上恒成立,∴2x2+2ax﹣7≥0,=,令g〔x=在[1,+∞上單調(diào)遞減,∴g〔x≥g〔1=5,即a≥．故選：B．B變式2恰好有三個單調(diào)區(qū)間,數(shù)a的取值圍。B變式3若函數(shù)f〔x=x2+ax+是增函數(shù),則a的取值圍是〔A．[﹣1,0]B．[﹣1,∞]C．[0,3]D．[3,+∞]考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：導數(shù)的綜合應用．分析：由函數(shù)在〔,+∞上是增函數(shù),可得≥0在〔,+∞上恒成立,進而可轉化為a≥﹣2x在〔,+∞上恒成立,構造函數(shù)求出﹣2x在〔,+∞上的最值,可得a的取值圍．解答：解：∵在〔,+∞上是增函數(shù)故≥0在〔,+∞上恒成立即a≥﹣2x在〔,+∞上恒成立令h〔x=﹣2x,則h′〔x=﹣﹣2當x∈〔,+∞時,h′〔x＜0,則h〔x為減函數(shù)∴h〔x＜h〔=3∴a≥3故選D在某區(qū)間上恒>0<<0>,一種是用二次函數(shù),一種是用分離參數(shù)法典型題、單調(diào)區(qū)間與定義域例題函數(shù)y=x﹣lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是〔A．〔1,+∞B．〔﹣∞,1C．〔0,1D．〔e,+∞分析：求出函數(shù)的導數(shù)為y'=1﹣,再解y'=1﹣＜0得x＜1．結合函數(shù)的定義域,即可得到單調(diào)遞減區(qū)間是〔0,1解答：解：函數(shù)y=x﹣lnx的導數(shù)為y'=1﹣∵令y'=1﹣＜0,得x＜1∴結合函數(shù)的定義域,得當x∈〔0,1時,函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)．因此,函數(shù)y=x﹣lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是〔0,1故選：C求單調(diào)