【新教材】高中數(shù)學(xué)人教B版必修第三冊分章節(jié)分課時(shí)課件

7.1.1角的推廣7.1.1角的推廣課標(biāo)闡釋

1.掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角,理解并掌握“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的定義.2.掌握所有與角α終邊相同的角(包括角α)的表示方法.3.體會運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),深刻理解推廣后的角的概念.思維脈絡(luò)

課標(biāo)闡釋1.掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角,理解并掌握“正角”“負(fù)角激趣誘思知識點(diǎn)撥在跳水、體操、花樣滑冰比賽中,常常聽到“轉(zhuǎn)體三周”的說法,那么轉(zhuǎn)體三周運(yùn)動(dòng)員要轉(zhuǎn)體多少度呢?顯然轉(zhuǎn)過的角是大于360°的角,我們?nèi)绾握J(rèn)識這樣的角呢?這樣的角不再局限于0°~360°的范圍內(nèi),可以是任意的大小,還可以有正負(fù),這就是本節(jié)要學(xué)習(xí)的角的概念的推廣.激趣誘思知識點(diǎn)撥在跳水、體操、花樣滑冰比賽中,常常聽到“轉(zhuǎn)體激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一:任意角1.角的概念:一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一條射線所形成的圖形.2.角的分類:按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為三類激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一:任意角激趣誘思知識點(diǎn)撥微思考始邊與終邊重合的角一定是零角嗎?提示不一定.只有始邊沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)才是零角.微練習(xí)經(jīng)過1個(gè)小時(shí),時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度是

.

答案-30°激趣誘思知識點(diǎn)撥微思考激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)二:象限角1.象限角將角放在平面直角坐標(biāo)系中,約定:角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊落在x軸的正半軸上.這時(shí),角的終邊在第幾象限,就把這個(gè)角稱為第幾象限角.如果終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限.2.終邊相同的角一般地,角α+k·360°(k∈Z)與角α的終邊相同,這只需把k·360°看成逆時(shí)針或者順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)若干周即可.任意兩個(gè)終邊相同的角,它們的差一定是360°的整數(shù)倍.因此,所有與α終邊相同的角組成一個(gè)集合,這個(gè)集合可記為S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.即集合S的每一個(gè)元素的終邊都與α的終邊相同,k=0時(shí)對應(yīng)元素為α.激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)二:象限角激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析

對于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解應(yīng)注意三點(diǎn)(1)α是任意角.(2)“k∈Z”有三層含義:①特殊性:每取一個(gè)整數(shù)值就對應(yīng)一個(gè)具體的角.②一般性:表示所有與角α終邊相同的角(包括α自身).③從幾何意義上看,k表示角的終邊按一定的方向旋轉(zhuǎn)的圈數(shù),當(dāng)k取正整數(shù)時(shí),逆時(shí)針旋轉(zhuǎn);當(dāng)k取負(fù)整數(shù)時(shí),順時(shí)針旋轉(zhuǎn);當(dāng)k=0時(shí),沒有旋轉(zhuǎn).(3)集合中“k·360°”與“α”之間用“+”連接,如k·360°-30°應(yīng)看成k·360°+(-30°),表示與-30°角終邊相同的角.激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析對于集合S={β|β=α+k·36激趣誘思知識點(diǎn)撥微判斷(1)鈍角是第二象限角.(

)(2)第二象限角是鈍角.(

)(3)第二象限角大于第一象限角.(

)答案(1)√

(2)×

(3)×微練習(xí)與-40°角終邊相同的角的集合是(

)A.{α|α=k·360°-40°,k∈Z}

B.{α|α=k·360°+40°,k∈Z}C.{α|α=k·360°±40°,k∈Z}D.{α|α=k·360°+80°,k∈Z}答案A激趣誘思知識點(diǎn)撥微判斷探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測有關(guān)角的概念問題例1下列說法正確的是(

)A.終邊相同的角一定相等B.第一象限的角一定是銳角C.終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍D.大于90°的角都是鈍角分析根據(jù)角的概念、終邊相同角的集合等概念解題,特別注意銳角、直角、鈍角等特殊的角.解析終邊相同的角不一定相等,可能相差k·360°(k∈Z),故A錯(cuò);因?yàn)殇J角的集合是{α|0°<α<90°},而第一象限的角的集合是{α|k·360°<α<k·360°+90°},故B錯(cuò);終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍,故C正確;鈍角的集合是{α|90°<α<180°},當(dāng)α>180°時(shí),均大于90°,所以大于90°的角不一定都是鈍角,故D錯(cuò).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測有關(guān)角的概念問題探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案C反思感悟

判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧(1)解決此類問題的關(guān)鍵在于正確理解象限角、銳角、小于90°的角、0°~90°的角等概念.(2)本題也可采用排除法,這時(shí)需掌握判斷說法是否正確的技巧.判斷說法正確需要證明,而判斷說法錯(cuò)誤只需舉一反例即可.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1判斷下列說法是否正確:(1)第一象限的角小于第二象限的角;(2)若90°≤α≤180°,則α為第二象限的角.解(1)不正確.如390°角是第一象限的角,120°角是第二象限的角,顯然390°>120°,所以該說法是錯(cuò)誤的.(2)不正確.其中90°,180°角都不是象限角,顯然該說法是錯(cuò)誤的.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1判斷下列說法是否探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測終邊相同的角的問題例2在角的集合S={α|α=k·90°+45°,k∈Z}中:(1)有幾種終邊不相同的角?(2)在集合S中有幾個(gè)在-360°~360°內(nèi)的角?分析從代數(shù)角度看,取k=…,-2,-1,0,1,2,…,可以得α為…,-135°,-45°,45°,135°,225°,…;從圖形角度看,是以45°角為基礎(chǔ),依次加上(或減去)90°的整數(shù)倍,即依次按逆時(shí)針(或順時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)90°所得的各角,如圖所示,結(jié)合圖形求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測終邊相同的角的問題分析從代探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解(1)在給定的角的集合中,終邊不相同的角共有4種,分別是與45°,135°,225°,315°角終邊相同的角.(2)令-360°≤k·90°+45°<360°,又因?yàn)閗∈Z,所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.所以在-360°~360°內(nèi)的角共有8個(gè).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解(1)在給定的角的集合中探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

運(yùn)用終邊相同的角的注意事項(xiàng)所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi)可以用式子k·360°+α(k∈Z)表示,在運(yùn)用時(shí)需注意以下四點(diǎn):(1)k是整數(shù),這個(gè)條件不能漏掉.(2)α是任意角.(3)k·360°與α之間用“+”連接.(4)終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同,終邊相同的角有無數(shù)個(gè),它們相差周角的整數(shù)倍.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟運(yùn)用終邊相同的角探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2如圖所示,寫出終邊落在直線y=x上的角的集合.解終邊落在y=x(x≥0)上的角的集合為S1={α|α=60°+k·360°,k∈Z},終邊落在y=x(x≤0)上的角的集合為S2={α|α=240°+k·360°,k∈Z}.于是,終邊落在直線y=x上的角的集合為S=S1∪S2={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}.因?yàn)閧n|n=2k,k∈Z}∪{n|n=2k+1,k∈Z}=Z,所以S=S1∪S2={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2如圖所示,寫出終探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測終邊相同的角的集合之間的關(guān)系例3已知集合A={α|30°+k·180°<α<80°+k·180°,k∈Z},集合B={β|-45°+k·360°<β<45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.解因?yàn)?0°+k·180°<α<80°+k·180°,k∈Z,所以當(dāng)k為偶數(shù),即k=2n(n∈Z)時(shí),30°+n·360°<α<80°+n·360°,n∈Z;當(dāng)k為奇數(shù),即k=2n+1(n∈Z)時(shí),210°+n·360°<α<260°+n·360°,n∈Z,所以集合A中角的終邊在如圖陰影(Ⅰ)區(qū)域內(nèi),集合B中角的終邊在如圖陰影(Ⅱ)區(qū)域內(nèi).所以集合A∩B中角的終邊在陰影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分內(nèi).所以A∩B={α|30°+n·360°<α<45°+n·360°,n∈Z}.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測終邊相同的角的集合之間的關(guān)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

區(qū)域角表示的步驟(1)借助圖形,在直角坐標(biāo)平面內(nèi)找出角的范圍所對應(yīng)的區(qū)域.(2)確定-360°<α<360°范圍內(nèi)的基本角,即區(qū)域起始及終止邊界所對應(yīng)的角.(3)寫出終邊相同的角的集合.解決終邊相同的角的集合問題,一般都是利用數(shù)形結(jié)合解題.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟區(qū)域角表示的步驟探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究若本例中集合A={α|30°+k·120°<α<80°+k·120°,k∈Z},求A∩B.解對于集合A,當(dāng)k=3n,n∈Z時(shí),30°+n·360°<α<80°+n·360°.當(dāng)k=3n+1,n∈Z時(shí),150°+n·360°<α<200°+n·360°.當(dāng)k=3n+2,n∈Z時(shí),270°+n·360°<α<320°+n·360°.故A∩B={α|-45°+n·360°<α<-40°+n·360°或30°+n·360°<α<45°+n·360°,n∈Z}.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究若本例中集合A={探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.下列敘述正確的是(

)A.三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等C.第四象限角一定是負(fù)角D.鈍角比第三象限角小解析90°的角是三角形的內(nèi)角,它不是第一或第二象限角,故A錯(cuò);280°的角是第四象限角,它是正角,故C錯(cuò);-100°角是第三象限角,它比鈍角小,故D錯(cuò).答案B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.下列敘述正確的是(探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.把-1485°化成α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是(

)A.315°-5×360° B.45°-4×360°C.-315°-4×360° D.-45°-10×180°解析∵0°≤α<360°,∴排除C,D選項(xiàng),經(jīng)計(jì)算可知選項(xiàng)A正確.答案A3.已知α是第四象限的角,則

是

象限的角.

答案第二或第四探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.把-1485°化成α探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.終邊在120°角終邊所在直線上的所有角的集合是

,上述集合在[-180°,180°)內(nèi)的角是

.

解析所求角的集合依次為S1={α|α=120°+k·360°,k∈Z}={α|α=120°+2k·180°,k∈Z},S2={α|α=300°+k·360°,k∈Z}={α|α=120°+(2k+1)·180°,k∈Z},因?yàn)閧n|n=2k,k∈Z}∪{n|n=2k+1,k∈Z}=Z,所以S=S1∪S2={α|α=120°+n·180°,n∈Z}.當(dāng)n=-1或n=0時(shí),取得在[-180°,180°)內(nèi)的角為-60°,120°.答案{α|α=120°+n·180°,n∈Z}

-60°,120°探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.終邊在120°角終邊所探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.若角α的終邊落在如圖所示的陰影部分中,試寫出其集合.解以O(shè)A為終邊的角為75°+k·360°(k∈Z),以O(shè)B為終邊的角為-30°+k·360°(k∈Z),因此終邊落在陰影部分中的角的集合可以表示為{α|-30°+k·360°<α<75°+k·360°,k∈Z}.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.若角α的終邊落在如圖所7.1.2弧度制及其與角度制的換算7.1.2弧度制及其與角度制的換算課標(biāo)闡釋

1.理解弧度制的定義.2.掌握角度制與弧度制的換算公式,并能熟練地進(jìn)行角度與弧度的換算,熟記特殊角的弧度數(shù).3.掌握弧度制下的弧長公式、扇形面積公式,并會運(yùn)用其解決問題.4.會用信息技術(shù)進(jìn)行弧度制與角度制的換算.課標(biāo)闡釋1.理解弧度制的定義.思維脈絡(luò)

思維脈絡(luò)激趣誘思知識點(diǎn)撥在日常生活中,一個(gè)量常常需要用不同的方法來度量,以此來滿足我們不同的需要.如右圖,日晷是我國古代利用日影角度的變化來度量時(shí)間的一種儀器.現(xiàn)在,我們普遍使用的時(shí)鐘,是用時(shí)針、分針和秒針角度的變化來確定時(shí)間的.無論采用哪種方法,度量一個(gè)確定的量所得到的數(shù)量必須是唯一確定的.在初中,我們學(xué)習(xí)過利用角度來度量角的大小,那么對于角,除了角度制,還可以用其他的方法來度量嗎?答案是肯定的,下面我們就來學(xué)習(xí)角的另一種度量辦法.激趣誘思知識點(diǎn)撥在日常生活中,一個(gè)量常常需要用不同的方法來度激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一:弧度制1.弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角為1弧度的角,記作1rad,這種以弧度為單位來度量角的制度稱為弧度制.2.弧度數(shù)弧長與半徑比值的這個(gè)常數(shù)為圓心角的弧度數(shù).激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一:弧度制激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)下列敘述中,正確的是(

)A.一弧度是一度的圓心角所對的弧B.一弧度是長度等于半徑長的弧C.1弧度是1度的弧與1度的角之和D.1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小,它是角的一種度量單位答案D激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)二:角度制與弧度制的換算

激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)二:角度制與弧度制的換算激趣誘思知識點(diǎn)撥2.特殊角的弧度數(shù).激趣誘思知識點(diǎn)撥2.特殊角的弧度數(shù).激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥微判斷(1)1弧度的角比1°的角要大.(

)(2)“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小無關(guān).(

)(3)160°化為弧度數(shù)是πrad.(

)答案(1)×

(2)√

(3)√激趣誘思知識點(diǎn)撥微判斷激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)下列換算結(jié)果錯(cuò)誤的是(

)答案C激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)答案C激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)三:扇形的弧長及面積公式設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,α為其圓心角,則激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)三:扇形的弧長及面積公式激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析

(1)在應(yīng)用公式l=αr和

時(shí),要注意α的單位是弧度.(2)在運(yùn)用公式時(shí),根據(jù)已知的是角度數(shù)還是弧度數(shù),選擇合適的公式代入.(3)由α,r,l,S中的兩個(gè)量可以求出另外的兩個(gè)量.激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析(1)在應(yīng)用公式l=αr和激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)已知扇形AOB的圓心角為120°,半徑長為6,則

的長為

;弓形ACB的面積為

.

激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測弧度制的概念例1下面各命題中,是假命題的為

.(填序號)

①“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位;②1度的角是周角的,1弧度的角是周角的;③根據(jù)弧度的定義,180°一定等于π弧度;④無論是用角度制還是用弧度制度量角,它們均與所在圓的半徑的長短有關(guān).解析根據(jù)角度和弧度的定義,可知無論是角度制還是弧度制,角的大小均與所在圓的半徑的長短無關(guān),而是與圓心角的大小有關(guān),所以④是假命題.答案④探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測弧度制的概念探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1下列說法正確的是(

)A.1弧度的角與1度的角大小是相等的B.用弧度制表示角時(shí),都是正角C.在大小不等的圓中,1弧度的圓心角所對的弧的長度是不同的D.用角度制和弧度制表示角時(shí),單位都可以省略不寫答案C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1下列說法正確的是探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測角度制與弧度制的互化

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測角度制與弧度制的互化探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

角度制與弧度制互化的關(guān)鍵與方法(1)關(guān)鍵:抓住互化公式π

rad=180°是關(guān)鍵;(3)角度化弧度時(shí),應(yīng)先將分、秒化成度,再化成弧度.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟角度制與弧度制互探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2將下列角度與弧度進(jìn)行互化:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2將下列角度與弧度探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測扇形面積公式、弧長公式的應(yīng)用例3已知扇形的周長為10cm,則當(dāng)扇形的半徑和圓心角各取何值時(shí),扇形的面積最大?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測扇形面積公式、弧長公式的應(yīng)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

弧度制下解決扇形相關(guān)問題的步驟(1)明確弧長公式和扇形的面積公式:l=αr,

(這里α必須是弧度制下的角)(2)分析題目的已知量和待求量,靈活選擇公式.(3)根據(jù)條件列方程(組)或建立目標(biāo)函數(shù)求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟弧度制下解決扇形探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究本例變?yōu)?扇形面積為10,當(dāng)半徑r為多少時(shí),扇形的周長最短?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究本例變?yōu)?扇形面積探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測一題多解與弧度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題典例

在一般的時(shí)鐘上,自0時(shí)開始到分針與時(shí)針再一次重合,分針?biāo)D(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是多少?(不考慮旋轉(zhuǎn)方向)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測一題多解與弧度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點(diǎn)睛

兩種方法得出的結(jié)果相同,其解答過程都是正確的,只不過解題的角度不同而已.方法一是根據(jù)時(shí)針與分針?biāo)叩臅r(shí)間相等列出方程求解;而方法二則從時(shí)針與分針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)入手,當(dāng)分針與時(shí)針再次重合時(shí),分針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)α比時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)多2π,利用時(shí)針和分針的旋轉(zhuǎn)速度之間的關(guān)系列出方程求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點(diǎn)睛兩種方法得出的探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.終邊在第四象限的對角線上的角的集合是(

)答案D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.終邊在第四象限的對角線探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.若2弧度的圓心角所對的弧長是4cm,則這個(gè)圓的半徑r=

,圓心角所在的扇形面積是

.

答案2cm

4cm2探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.若2弧度的圓心角所對的探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.一個(gè)扇形的面積為1,周長為4,求圓心角的弧度數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.一個(gè)扇形的面積為1,周7.2.1三角函數(shù)的定義7.2.1三角函數(shù)的定義課標(biāo)闡釋

1.理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義.2.能根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義,分析出三角函數(shù)在各象限的符號,并能根據(jù)角α的某種三角函數(shù)值符號,判斷出α所在的象限.思維脈絡(luò)

課標(biāo)闡釋1.理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義.思維脈絡(luò)激趣誘思知識點(diǎn)撥如圖所示是光明游樂場的一個(gè)摩天輪示意圖,它的中心離地面的高度為h0,它的直徑為2R,逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要360秒.問題:1.若現(xiàn)在你坐在座艙中,從初始位置OA出發(fā),過了30秒后,你離地面的高度h為多少?過了45秒呢?過了t秒呢?2.建立如圖所示直角坐標(biāo)系,射線OP與單位圓交于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P(xP,yP),你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角α的正弦函數(shù)嗎?激趣誘思知識點(diǎn)撥如圖所示是光明游樂場的一個(gè)摩天輪示意圖,它的激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一:任意角的正弦、余弦與正切的定義

激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一:任意角的正弦、余弦與正切的定義激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1答案B激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1答案B激趣誘思知識點(diǎn)撥答案C激趣誘思知識點(diǎn)撥答案C激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)二:正弦、余弦與正切在各象限的符號如果P(x,y)是α終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),,由r>0可知,sinα的正負(fù)與α終邊上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的符號相同,所以,當(dāng)且僅當(dāng)α的終邊在第一、二象限,或y軸正半軸上時(shí),sinα>0;當(dāng)且僅當(dāng)α的終邊在第三、四象限,或y軸負(fù)半軸上時(shí),sinα<0.當(dāng)且僅當(dāng)α的終邊在第一、四象限,或x軸正半軸上時(shí),cosα>0;當(dāng)且僅當(dāng)α的終邊在第二、三象限,或x軸負(fù)半軸上時(shí),cosα<0.當(dāng)且僅當(dāng)α的終邊在第一、三象限時(shí),tanα>0;當(dāng)且僅當(dāng)α的終邊在第二、四象限時(shí),tanα<0.激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)二:正弦、余弦與正切在各象限的符號激趣誘思知識點(diǎn)撥以上結(jié)果可用下圖直觀表示.名師點(diǎn)析

正弦函數(shù)值的符號取決于y軸的符號,它在x軸上方為正,下方為負(fù);余弦函數(shù)值的符號取決于x軸的符號,在y軸右側(cè)為正,左側(cè)為負(fù);正切函數(shù)值符號取決于x軸,y軸的符號,同號為正,異號為負(fù).激趣誘思知識點(diǎn)撥以上結(jié)果可用下圖直觀表示.名師點(diǎn)析正弦激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1(1)若sinα,cosα都是負(fù)數(shù),則α是第

象限角.

(2)若tanα<0,則α是第

象限角.

答案(1)三

(2)二或四激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)2判斷下列各三角函數(shù)值的符號:激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)2探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測三角函數(shù)的定義例1已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-4a,3a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα的值.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測三角函數(shù)的定義探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

三角函數(shù)值的求解策略當(dāng)所給角的終邊上的點(diǎn)含有字母時(shí),一定要注意分類討論,并結(jié)合函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行取舍.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟三角函數(shù)值的求解探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測判斷三角函數(shù)值的符號例2判斷下列三角函數(shù)值的符號.(2)sin3·cos4·tan5.分析確定一個(gè)角的三角函數(shù)值的符號,關(guān)鍵要看角在哪一個(gè)象限;確定一個(gè)式子的符號,則需要觀察該式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及每部分的符號.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測判斷三角函數(shù)值的符號探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

判斷三角函數(shù)值在各象限符號的攻略(1)基礎(chǔ):準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中各角所在的象限;(2)關(guān)鍵:準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號;(3)注意:用弧度制給出的角常常不寫單位,不要誤認(rèn)為角度導(dǎo)致象限判斷錯(cuò)誤.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟判斷三角函數(shù)值在探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測三角函數(shù)式的化簡與求值

分析按角x在第一象限,第二象限,第三象限,第四象限進(jìn)行討論.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測三角函數(shù)式的化簡與求值分探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

簡單的三角函數(shù)的化簡求值,因給出的式子中含絕對值符號,所以要分類討論,分類一定要全,求值一定要準(zhǔn).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟簡單的三角函數(shù)的探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案-8探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案-8探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測分類討論思想在三角函數(shù)定義中的應(yīng)用典例

已知角α的終邊落在直線y=2x上,求sinα,cosα,tanα的值.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測分類討論思想在三角函數(shù)定義探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點(diǎn)睛

直線y=2x被點(diǎn)(0,0)分成兩條射線,故α的終邊有兩種情況,需分類討論.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點(diǎn)睛直線y=2x被點(diǎn)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-4,3),則cosα=(

)答案A2.若tanθ·sinθ<0,且tanθ·cosθ>0,則θ是(

)A.第一象限的角 B.第二象限的角C.第三象限的角 D.第四象限的角答案B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.判斷下列各式的符號(填“>”或“<”):(1)sin328°

0;

解析(1)因?yàn)?70°<328°<360°,所以328°是第四象限角,所以sin

328°<0.答案(1)<

(2)<

(3)<探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.判斷下列各式的符號(填探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測7.2.2單位圓與三角函數(shù)線7.2.2單位圓與三角函數(shù)線課標(biāo)闡釋

1.理解單位圓的概念.2.理解三角函數(shù)線的定義并能運(yùn)用三角函數(shù)線解決相關(guān)的問題.思維脈絡(luò)

課標(biāo)闡釋1.理解單位圓的概念.思維脈絡(luò)激趣誘思知識點(diǎn)撥江南水鄉(xiāng),水車在河流里悠悠轉(zhuǎn)動(dòng),緩緩地把河流里的水引進(jìn)水渠,流向綠油油的大地.在水車轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬間,同學(xué)們能想到些什么呢?將圖中的水車抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)模型,建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示),設(shè)水車的輪廓為單位圓.在平面直角坐標(biāo)系中,任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM⊥x軸,過點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線,交α的終邊或其反向延長線于點(diǎn)T,結(jié)合三角函數(shù)的定義,你能得到sinα,cosα,tanα與MP,OM,AT的關(guān)系嗎?激趣誘思知識點(diǎn)撥江南水鄉(xiāng),水車在河流里悠悠轉(zhuǎn)動(dòng),緩緩地把河流激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一:單位圓一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)滿足x2+y2=1的點(diǎn)組成的集合稱為單位圓.名師點(diǎn)析

(1)當(dāng)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x,y)時(shí),r=OP=1,此時(shí)sin

α=y,cos

α=x,tan

α=(x≠0).因此我們也可以用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角函數(shù)值.(2)單位圓的作用就是將r變?yōu)?.微思考角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)是否可以表示為(cosα,sinα)?激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一:單位圓微思考激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)二:三角函數(shù)線

激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)二:三角函數(shù)線激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)

激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測三角函數(shù)線的作法及應(yīng)用

探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測三角函數(shù)線的作法及應(yīng)用探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

三角函數(shù)線的畫法(1)作正弦線、余弦線時(shí),首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn),然后過此交點(diǎn)作x軸的垂線,得到垂足,從而得出正弦線和余弦線.(2)作正切線時(shí),應(yīng)從A(1,0)點(diǎn)引x軸的垂線,交角α的終邊(α為第一或第四象限角)或角α終邊的反向延長線(α為第二或第三角限角)于點(diǎn)T,即可得到正切線探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟三角函數(shù)線的畫法探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練(1)已知角α的正弦線的長度為單位長度,那么角α的終邊(

)A.在x軸上 B.在y軸上C.在直線y=x上 D.在直線y=-x上探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練(1)已知角α的正弦線的探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(1)解析根據(jù)正弦線的定義知,|sin

α|=1,所以sin

α=±1,所以角α的終邊在y軸上.答案B探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(1)解析根據(jù)正弦線的定義知,|探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用三角函數(shù)線比較大小例2比較下列各組數(shù)的大小.分析在單位圓中正確畫出各角需要比較大小的三角函數(shù)線.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用三角函數(shù)線比較大小分析在單位探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

利用三角函數(shù)線比較函數(shù)值大小的關(guān)鍵及注意點(diǎn)(1)關(guān)鍵:在單位圓中作出所要比較的角的三角函數(shù)線.(2)注意點(diǎn):比較大小,既要注意三角函數(shù)線的長短,又要注意方向.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用三角函數(shù)線比較函數(shù)探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案b<a<c探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案b<a<c探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測數(shù)形結(jié)合思想在三角不等式證明中的應(yīng)用三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)問題的重要工具.作三角函數(shù)線的前提是作單位圓.根據(jù)三角函數(shù)線可以判斷sinα,cosα,tanα的符號及大小,因此利用三角函數(shù)線可以證明三角不等式.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測數(shù)形結(jié)合思想在三角不等式證明中的探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點(diǎn)睛

要證明一個(gè)問題是正確的,我們必須把它所包含的所有情況逐一說明.若漏掉一種情況,整個(gè)證明過程就是不嚴(yán)密的.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點(diǎn)睛要證明一個(gè)問題是正確的探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.下列四個(gè)命題中:①α一定時(shí),單位圓中的正弦線一定;②單位圓中,有相同正弦線的角相等;③α和α+π有相同的正切線;④具有相同正切線的兩個(gè)角終邊在同一條直線上.不正確命題的個(gè)數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析由三角函數(shù)線的定義知①④正確,②③不正確.答案C探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.下列四個(gè)命題中:探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.設(shè)a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),則有(

)A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.a<c<b答案C探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.設(shè)a=sin(-1),b=c探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案D答案AD探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案D答案AD探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測7.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式7.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式課標(biāo)闡釋

1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:2.會利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式解決相關(guān)問題.課標(biāo)闡釋1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:思維脈絡(luò)

思維脈絡(luò)激趣誘思知識點(diǎn)撥美國氣象學(xué)家愛德華·羅倫茲1963年提出一個(gè)觀點(diǎn):“一只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶,偶爾扇動(dòng)幾下翅膀,可以在兩周以后引起美國得克薩斯州的一場龍卷風(fēng).”這就是聞名于世的“蝴蝶效應(yīng)”.此效應(yīng)的本義是事物初始條件的微弱變化可能會引起結(jié)果的巨大變化.從這個(gè)比喻我們還可以看出,南美洲亞馬孫熱帶雨林中的一只蝴蝶與美國得克薩斯州的一場龍卷風(fēng)看起來是毫不相干的兩種事物,卻有這樣的聯(lián)系,這也驗(yàn)證了哲學(xué)理論中事物之間是普遍聯(lián)系的這一觀點(diǎn).看似不相關(guān)的事物間都是相互聯(lián)系的,那么“同一個(gè)角”的三角函數(shù)間會存在什么樣的關(guān)系呢?本節(jié)課我們就來探索這個(gè)問題.激趣誘思知識點(diǎn)撥美國氣象學(xué)家愛德華·羅倫茲1963年提出一個(gè)激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn):同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn):同角三角函數(shù)的基本關(guān)系激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析

(1)基本關(guān)系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函數(shù)關(guān)系,公式中的角可以是具體的數(shù)值,也可以是變量,可以是單項(xiàng)式表示的角,也可以是多項(xiàng)式表示的角.(3)sin2α是(sin

α)2的簡寫,讀作“sin

α的平方”,不能將sin2α寫成sin

α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,兩者是不同的.激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析(1)基本關(guān)系成立的前提是“同角”激趣誘思知識點(diǎn)撥微拓展同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形1.sin2α+cos2α=1的變形(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cos2α;(4)(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(5)(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα.激趣誘思知識點(diǎn)撥微拓展激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)(1)sin22021°+cos22021°=(

)A.0 B.1 C.2021 D.2021°(2)若sinθ+cosθ=0,則tanθ=

.

解析(1)由平方關(guān)系知sin22

021°+cos22

021°=1.(2)由sin

θ+cos

θ=0得sin

θ=-cos

θ,答案(1)B

(2)-1激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求值

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式解決給值求值問題的方法(1)已知角α的某一種三角函數(shù)值,求角α的其余三角函數(shù)值,要注意公式的合理選擇,一般是先選用平方關(guān)系,再用商數(shù)關(guān)系.(2)若角α所在的象限已經(jīng)確定,求另兩種三角函數(shù)值時(shí),只有一組結(jié)果;若角α所在的象限不確定,應(yīng)分類討論,一般有兩組結(jié)果.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用同角三角函數(shù)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

已知角α的正切值,求由sin

α和cos

α構(gòu)成的代數(shù)式的值(1)對分式齊次式,因?yàn)閏os

α≠0,一般可在分子和分母中同時(shí)除以cosnα,使所求代數(shù)式化成關(guān)于tan

α的代數(shù)式,從而得解;(2)對整式(一般是指關(guān)于sin2α,cos2α)齊次式,把分母看為“1”,用sin2α+cos2α替換“1”,從而把問題轉(zhuǎn)化成分式齊次式,在分子和分母中同時(shí)除以cos2α,即可得關(guān)于tan

α的代數(shù)式,從而得解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟已知角α的正切值探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測=|sin

40°-cos

40°|,因?yàn)閟in

40°<cos

40°,所以|sin

40°-cos

40°|=cos

40°-sin

40°.(2)sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β=sin2αcos2β+cos2αcos2β+sin2β=(sin2α+cos2α)cos2β+sin2β=cos2β+sin2β=1.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測=|sin40°-cos探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

三角函數(shù)式化簡的常用方法(1)化切為弦,即把正切函數(shù)化為正、余弦函數(shù),從而減少函數(shù)名稱,達(dá)到化簡的目的.(2)對于含有根號的,常把根號里面的部分化成完全平方式,然后去根號達(dá)到化簡的目的.(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式,往往借助于因式分解,或構(gòu)造sin2α+cos2α=1,以降低函數(shù)次數(shù),達(dá)到化簡的目的.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟三角函數(shù)式化簡的探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

1.證明恒等式的常用思路:(1)從一邊證到另一邊,一般由繁到簡;(2)左右開弓,即證左邊、右邊都等于第三者;(3)比較法(作差法,作比法).2.常用的技巧:(1)巧用“1”的代換;(2)化切為弦;(3)多項(xiàng)式運(yùn)算技巧的應(yīng)用(分解因式).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟1.證明恒等式的探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3已知tan2α=2tan2β+1,求證sin2β=2sin2α-1.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3已知tan2α=探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測平方關(guān)系的應(yīng)用技巧在sinα+cosα,sinα-cosα和sinαcosα三個(gè)式子中,已知其中一個(gè)可以求另外兩個(gè)的值,即“知一求二”.它們的關(guān)系是(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα,(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα.另外,在化簡、證明時(shí),經(jīng)常利用“1”的代換,將1±2sinαcosα化為完全平方式(sinα±cosα)2.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測平方關(guān)系的應(yīng)用技巧探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點(diǎn)睛

可以通過平方、切化弦、分解因式或配方等手段將所求代數(shù)式變形,從而找到所求代數(shù)式與已知代數(shù)式的關(guān)系,達(dá)到求值的目的.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點(diǎn)睛可以通過平方、切探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案sinα探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案sinα探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測7.2.4誘導(dǎo)公式7.2.4誘導(dǎo)公式課標(biāo)闡釋

1.掌握誘導(dǎo)公式,并會應(yīng)用公式求任意角的三角函數(shù)值.2.會用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)的化簡和恒等式的證明.3.通過公式的運(yùn)用,學(xué)會從未知到已知、從復(fù)雜到簡單的轉(zhuǎn)化方法.課標(biāo)闡釋1.掌握誘導(dǎo)公式,并會應(yīng)用公式求任意角的三角函數(shù)值思維脈絡(luò)

思維脈絡(luò)激趣誘思知識點(diǎn)撥同學(xué)們聽了老師的記憶口訣后,更是摸不著頭腦,老師隨后做了解釋,同學(xué)們腦洞大開,都拍手叫好.這句話和我們學(xué)習(xí)的誘導(dǎo)公式有什么關(guān)系呢?激趣誘思知識點(diǎn)撥同學(xué)們聽了老師的記憶口訣后,更是摸不著頭腦,激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一:角α與α+k·2π(k∈Z)的三角函數(shù)值之間的關(guān)系(誘導(dǎo)公式①)sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=tanα.微練習(xí)計(jì)算:(1)sin390°=

;

(2)cos765°=

;

(3)tan(-300°)=

.

激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一:角α與α+k·2π(k∈Z)的三角激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)二:角的旋轉(zhuǎn)對稱一般地,角α的終邊和角β的終邊關(guān)于角

的終邊所在的直線對稱.微練習(xí)60°和120°角的終邊關(guān)于

角的終邊所在的直線對稱.

答案90°激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)二:角的旋轉(zhuǎn)對稱微練習(xí)激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)三:角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系(誘導(dǎo)公式②)sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.微練習(xí)計(jì)算:(1)sin(-45°)=

;

(2)cos(-765°)=

;

(3)tan(-750°)=

.

激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)三:角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系(激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)四:角α與π±α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系(誘導(dǎo)公式③④)誘導(dǎo)公式③sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.誘導(dǎo)公式④sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.名師點(diǎn)析

(1)公式①~④的概念:α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函數(shù)值,等于α的同名函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號.(2)判斷函數(shù)值的符號時(shí),雖然把α看成銳角,但實(shí)際上,對于正弦與余弦的誘導(dǎo)公式,α可以為任意角;對于正切的誘導(dǎo)公式,α的終邊不能落在y軸上,即α≠kπ+(k∈Z).(3)公式既可以用弧度制表示,也可以用角度制表示.激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)四:角α與π±α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)

激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測直接利用誘導(dǎo)公式化簡、求值例1(1)已知cos31°=m,則sin239°tan149°的值是(

)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測直接利用誘導(dǎo)公式化簡、求值探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

解決化簡求值問題的策略:(1)首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.(2)可以將已知式進(jìn)行變形,向所求式轉(zhuǎn)化,或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形,向已知式轉(zhuǎn)化.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟解決化簡求值問題探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測給值(式)求值問題

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測給值(式)求值問題探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

解給值(或式)求值題的基本思路給值(或式)求值,解決的基本思路是認(rèn)真找出條件式與待求式之間的差異性,主要包括函數(shù)名稱及角兩個(gè)方面,然后就是巧妙地選用公式“化異為同”或代入條件式求解.有時(shí)還需對條件式或待求式進(jìn)行適當(dāng)化簡后再作處理.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟解給值(或式)求探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用誘導(dǎo)公式證明問題

分析觀察被證等式兩端,左邊較為復(fù)雜,右邊較為簡簡,可以從左邊入手,利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡,逐步推向右邊.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用誘導(dǎo)公式證明問題分析探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

三角恒等式的證明策略(1)遵循的原則:在證明時(shí)一般從左邊到右邊,或從右邊到左邊,或左右歸一,總之,應(yīng)遵循化繁為簡的原則.(2)常用的方法:定義法、化弦法、拆項(xiàng)拆角法、公式變形法、“1”的代換法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟三角恒等式的證明探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測分類討論思想在化簡中的應(yīng)用

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測分類討論思想在化簡中的應(yīng)用探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點(diǎn)睛

對于式中含有kπ(k∈Z)的情況,將k分為k=2n和k=2n+1(k∈Z)兩種情況求解更易于誘導(dǎo)公式的應(yīng)用.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點(diǎn)睛對于式中含有kπ探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.如果α,β滿足α+β=π,那么下列式子中正確的個(gè)數(shù)是(

)①sinα=sinβ;②sinα=-sinβ;③cosα=-cosβ;④cosα=cosβ;⑤tanα=-tanβ.A.1 B.2 C.3 D.4解析因?yàn)棣?β=π,所以sin

α=sin(π-β)=sin

β,故①正確,②錯(cuò)誤;cos

α=cos(π-β)=-cos

β,故③正確,④錯(cuò)誤;tan

α=tan(π-β)=-tan

β,⑤正確.答案C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.如果α,β滿足α+β=探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案-5探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案-5探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測7.3.1正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像7.3.1正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像課標(biāo)闡釋

1.理解正弦函數(shù)的性質(zhì),會求正弦函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間和最值,并能利用正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像來解決相關(guān)的綜合問題.2.了解正弦函數(shù)圖像的畫法,能正確使用“五點(diǎn)法”“幾何法”作出正弦函數(shù)的圖像.3.會用信息技術(shù)作正弦曲線.課標(biāo)闡釋1.理解正弦函數(shù)的性質(zhì),會求正弦函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)思維脈絡(luò)

思維脈絡(luò)激趣誘思知識點(diǎn)撥如圖將塑料瓶底部扎一個(gè)小孔做成一個(gè)漏斗,再掛在架子上,就做成了一個(gè)簡易單擺.在漏斗下方放一塊紙板,紙板的中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸.把漏斗灌上細(xì)沙并拉離平衡位置,放手使它擺動(dòng),同時(shí)勻速拉動(dòng)紙板,這樣就可在紙板上得到一條曲線,它就是簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像.物理中把簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像稱為正弦曲線.它表示了漏斗相對平衡位置的位移s(縱坐標(biāo))隨時(shí)間t(橫坐標(biāo))變化的情況.激趣誘思知識點(diǎn)撥如圖將塑料瓶底部扎一個(gè)小孔做成一個(gè)漏斗,再掛激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一:正弦函數(shù)性質(zhì)1.對于任意一個(gè)角x,都有唯一確定的正弦sinx與之對應(yīng),因此y=sinx是一個(gè)函數(shù),一般稱為正弦函數(shù).2.正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一:正弦函數(shù)性質(zhì)激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥3.周期:一般地,對于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對定義域內(nèi)的每一個(gè)x,都滿足f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù),非零常數(shù)T稱為這個(gè)函數(shù)的周期.名師點(diǎn)析

對三角函數(shù)的性質(zhì)的理解(1)如果y=sin

x的定義域不是全體實(shí)數(shù),那么它的值域就可能不是(2)正弦函數(shù)在其定義域上不是單調(diào)的.(3)若函數(shù)y=sin

x的定義域不是R,則一定要在給定定義域內(nèi)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求其值域.激趣誘思知識點(diǎn)撥3.周期:一般地,對于函數(shù)f(x),如果存在激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1求f(x)=sin(3π+x)的最大值和單調(diào)遞增區(qū)間.微練習(xí)2下列函數(shù)中,不是周期函數(shù)的是(

)A.y=-sinx,x∈RB.y=3,x∈RC.y=sin(4π+x),x∈[-10π,10π]D.y=sinx,x∈(0,+∞)答案C激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1微練習(xí)2激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)二:正弦函數(shù)的圖像1.正弦曲線:一般地,y=sinx的函數(shù)圖像稱為正弦曲線.2.“五點(diǎn)法”:(1)畫出正弦曲線在[0,2π]上的圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(2)將所得圖像向左、向右平行移動(dòng)(每次2π個(gè)單位長度).激趣誘思知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)二:正弦函數(shù)的圖像激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析

對三角函數(shù)的圖像的理解(1)作正弦函數(shù)圖像時(shí),函數(shù)自變量要用弧度制,以保證自變量與函數(shù)值都為實(shí)數(shù).(2)正弦曲線是軸對稱圖形,對稱軸為x=+kπ(k∈Z);正弦曲線也是中心對稱圖形,且對稱中心為(kπ,0)(k∈Z).(3)正弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離為π,相鄰兩個(gè)對稱中心的距離也為π,對稱中心到其相鄰對稱軸的距離為

.激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析對三角函數(shù)的圖像的理解激趣誘思知識點(diǎn)撥微判斷(1)正弦函數(shù)y=sinx的圖像向左右和上下無限伸展.(

)(2)函數(shù)y=sinx與y=sin(-x)的圖像完全相同.(

)(3)函數(shù)y=sinx的圖像關(guān)于(0,0)對稱.(

)答案(1)×

(2)×

(3)√微練習(xí)1從函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π)的圖像來看,對應(yīng)于sinx=的x有(

)A.1個(gè)值

B.2個(gè)值C.3個(gè)值 D.4個(gè)值答案B激趣誘思知識點(diǎn)撥微判斷激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)2在“五點(diǎn)法”中,正弦曲線最低點(diǎn)的x軸坐標(biāo)與最高點(diǎn)的x軸坐標(biāo)的差等于(

)答案B激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)2答案B探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測正弦函數(shù)的值域、最值例1(1)(多選)已知函數(shù)f(x)=2asinx+a+b的定義域是[0,],值域?yàn)閇-5,-1],則a,b的值為(

)A.a=2,b=-7 B.a=-2,b=2C.a=-2,b=1 D.a=1,b=-2(2)求函數(shù)f(x)=sin(π+x)-cos2x的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值時(shí)x的值.分析(1)根據(jù)正弦函數(shù)的值域,分情況表示出最大值和最小值,通過解方程組求a,b.(2)利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系統(tǒng)一成正弦,換元求最值.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測正弦函數(shù)的值域、最值探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

關(guān)于與正弦函數(shù)有關(guān)的最值(1)一次式:如果是關(guān)于正弦函數(shù)的一次式,要根據(jù)一次項(xiàng)的系數(shù)正負(fù)確定最值;(2)二次式:如果是關(guān)于正弦函數(shù)的二次式,則通過換元轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)配方求最值.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟關(guān)于與正弦探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測函數(shù)奇偶性的判斷例2判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=xsin(π+x);分析利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測函數(shù)奇偶性的判斷探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)函數(shù)的定義域是判斷函數(shù)奇偶性的前提,即首先要看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱,再看f(-x)與f(x)的關(guān)系.(2)注意奇偶性判定法的變通式和定義式的用法,即偶函數(shù)也可判斷探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟判斷函數(shù)奇探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例3比較下列各組數(shù)的大小:分析變形主要有兩種:一是異名函數(shù)化為同名函數(shù);二是利用誘導(dǎo)公式將角變換到同一單調(diào)區(qū)間上.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(4)sin

194°=sin(180°+14°)=-sin

14°,cos

160°=cos(180°-20°)=-cos

20°=-sin

70°.因?yàn)?°<14°<70°<90°,所以sin

14°<sin

70°.所以-sin

14°>-sin

70°,即sin

194°>cos

160°.反思感悟

利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較正弦值的大小的方法(1)同名函數(shù),若兩角在同一單調(diào)區(qū)間,直接利用單調(diào)性得出,若兩角不在同一單調(diào)區(qū)間,則要通過誘導(dǎo)公式把角轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間,再進(jìn)行比較;(2)異名函數(shù),先應(yīng)用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為同名函數(shù),然后再比較.探究