圖像變換的不變性與偏微分方程

第六章圖像變換的不變性與偏微分方程討論具有單調(diào)和對比不變的圖像變換，即形態(tài)學(xué)算子(基本思想是用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去量度和提取圖像中的對應(yīng)形狀以達(dá)到對圖像的分析和識別的目的，其基本元算有四個：膨脹、腐蝕、開啟、閉合)，重點介紹：膨脹、腐蝕和中值算子。然后依次賦予形態(tài)學(xué)算子平移不變性、歐氏不變性和仿射不變性，并討論它們的微分性質(zhì)，導(dǎo)出相關(guān)的偏微分方程。6.1形態(tài)學(xué)算子—單調(diào)和對比不變的圖像變換6.1.1定義前面學(xué)過連續(xù)模型下圖像空間的定義，是一族由R2→R的特殊函數(shù)組成的函數(shù)空間，并記為F。圖像變換T是作用在F上的一個算子，即T將一副圖像u變換為另一幅圖像Tu。圖像水平集之間的變換，是對于F中所有函數(shù)，Y表示在F所擁有的所有水平集，即

Y={clu;u∈F,l∈[0,1]

}這是一個由R2的子集組成的集合族。對于圖像變換T，引進(jìn)算子T′作用在Y上，它將一個水平集X轉(zhuǎn)換為另一個水平集T′X，即

T′:X∈Y→T′X∈Y定義1：稱圖像變換T是單調(diào)遞增的，如果對于任意兩兩幅圖像u,v∈F

u≥v?

Tu≥Tv集合算子T′是單調(diào)遞增的，如果對于任意X,Y∈YX?Y?T′(X)?

T′(Y)定義2：圖像變換T是對比不變的，如果對每一個連續(xù)對比變換g，對任意的u∈F

，都滿足g(u)∈F

和

g(Tu)=T(g(u))同時滿足單調(diào)性和對比不變的圖像變換被稱為形態(tài)學(xué)算子?？梢宰C明：線性算子是單調(diào)的，但不是對比不變的。例1：最大值濾波是對比不變的。最大值濾波定義：其中B是包含原點的閉集，x+B={x+z;z∈B}。假設(shè)，由于x+B為閉集，?z∈x+B，滿足u(z)=a，而

u(y)≤u(z),?y∈x+B又因為對比變換g是單調(diào)遞增的，所以

g(u(y))≤

g(u(z))=g(a)

?y∈x+B即，對圖像g(u)滿足對比不變定義

D(gu(x))=g(a)=g(Du(x))對比不變的圖像變換有一特殊性質(zhì)，即變換的結(jié)果使圖像保留了原圖像的部分灰度。一副二值圖像在經(jīng)過對比不變圖像變換后還是一副二值圖像。但線性濾波器都不具備這一特性。下面定理說明了這一性質(zhì)，記R(u)為圖像u的值域，即

R(u)={s∈[0,1],?x,u(x)=s}

其中

Ru是包含R(u)的最小閉集。定理1：T是一對比不變的圖像變換。那么對每一副圖像u，R(Tu)?Ru，特別的，如果圖像u只有有限個灰度值，則Tu只取其中的部分灰度值。證明：考慮一連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)g，滿足g(s)=s，當(dāng)

s∈Ru時。否則，g(s)﹥s。定義：

g(s)=s+d(s,Ru)∕2其中d(s,X)表示s到X距離。當(dāng)且僅當(dāng)

s∈Ru時，有

d(s,Ru)=0因此，當(dāng)且僅當(dāng)s∈Ru時，g(s)=s，所以g(u)=u。因為T是對比不變的，所以

Tu=T(g(u))=g(Tu)因此(Tu)(x)∈Ru

?！龆x3：一個圖像變換T是灰度平移不變的，如果對任意的常數(shù)C，有

T(u+C)=Tu+C如果圖像變換T同時具有灰度平移不變性和對比不變性，就得到下面的結(jié)論。定理2：T是一個單調(diào)灰度平移不變算子，如果u(x)是R2上的Lipschitz函數(shù)，那么Tu(x)也是Lipschitz函數(shù)，并且Tu(x)的Lipschitz常數(shù)比u(x)的Lipschitz常數(shù)小。Lipschitz常數(shù)定義：如果函數(shù)u滿足

|u(x)–u(y)|﹤k|x-y|,?x,y則u為Lipschitz函數(shù)，k為u的Lipschitz常數(shù)。證明：假設(shè)u的Lipschitz常數(shù)為K。對任意的x,y,z有

|u(x+z)-u(y+z)|≤K|x-y|u(y+z)-K|x-y|≤u(x+z)≤u(y+z)+K|x-y|因為T單調(diào)，考慮上面關(guān)于z的函數(shù)，有

T(u(y+z)-K|x-y|)≤Tu(x+z)≤T(u(y+z)+K|x-y|)注意到取z=0,有T(u(y+z))=(Tu)(y)，用T的灰度平移不變性（將K|x-y|看做C）得

Tu(y)-K|x-y|≤Tu(x)≤Tu(y)+K|x-y|。

|Tu(x)-Tu(y)|≤K|x-y|■6.1.2從形態(tài)學(xué)算子到集合算子記集合X?W上的特征函數(shù)為1x，即1x也被認(rèn)為是一個圖像函數(shù)，即1x∈F

。借助特征函數(shù)，可從單調(diào)、對比不變的圖像變換（形態(tài)學(xué)算子）T衍生出一個集合變換T′。定義4：令T是一個單調(diào)、對比不變的圖像變換，定義T的伴隨集合算子T′為

?X?

W,1X

∈FT′(X)=c1(T(1X))另外

T′(F)=F,T′(W)=W如果T作為函數(shù)是單調(diào)的，那么T′作為集合變換也是單調(diào)的。因為

X?

Y?1X

≤1YT作為單調(diào)的圖像變換，使單調(diào)性得以保持

T(1X)≤T(1Y)定理3：T是一個對比不變的單調(diào)算子。閾值函數(shù)gl(s)定義為,如果s≥l，則gl(s)=1；否則gl(s)=0。那么T幾乎處處和每一個閾值函數(shù)相交換，即

gl

(Tu)=T(gl

(u))對l,x幾乎處處成立。證明：定義則gel(s)是對比變換（連續(xù)、單調(diào)遞增的），且gel(s)≥gl，于是同樣的方法，用不減函數(shù)

g

el

≤

gl，可證明

T(gl(u))≥g-l(Tu)其中，g-l(s)=1，當(dāng)s﹥l

時；

g-l(s)=0，當(dāng)s≤l時。因此，有

gl(Tu)≥T(gl(u))≥

g-l(Tu)我們考慮可數(shù)因而可忽略的子集∧∈R，所有的l

滿足

meas({x,Tu(x)=l})﹥0對于l∈R\∧

，有g(shù)-l(Tu)=gl(Tu)幾乎處處成立。這樣對幾乎每一個l，會得到

T(gl(u))=gl(Tu)幾乎處處成立。■定理4：T是定義在圖像函數(shù)集合F

上的單調(diào)對比不變算子，1x∈F

。T的伴隨集合算子為T′，則T′是單調(diào)的，并且?u∈F

有

T′(clu)=cl(T(u))*對l,c幾乎處處成立。并且

Tu(x)=sup{l,x∈T′(clu)}**對x幾乎處處成立。另外，

T′(F)=F,T′(W)=W幾乎處處成立。*式說明圖像變換后的水平集是原圖像水平集（并且是同一個l）在伴隨集合算子作用下的結(jié)果。T′(F)=F

說明當(dāng)l=1時，*式成立；T′(W)=W

說明當(dāng)l=0時，*式成立。這里涉及到水平集和最大值表示公式：

cl(u)={x∈W;u(x)≥l}u(x)=sup{l;x∈cl(u)}證明：根據(jù)T′的定義，顯然有

1clu

=gl(u)

c1(gl(v))=clv并且T和gl幾乎處處可交換。由定理3，得到：

T′(clu)=c1(T(1clu

))=c1(T(gl(u)))=c1(gl(Tu))=cl(Tu)對于x,l﹥0幾乎處處成立。由T′(clu)=cl(Tu)知T′(clu)是Tu的水平集。那么顯然**式成立。令u是一個常函數(shù)0，對于l﹥0，有clu=F

。利用*式，有

cl(Tu)=T′(clu)=T′(F

)對?l﹥0幾乎處處成立。而且，由于對比不變算子T和常函數(shù)0相交換，因此Tu=0，并且對l

﹥0，cl(Tu)=F，則有T′(F)=

F幾乎處處成立。同理可證T′(W)=W?！龆ɡ碚f明：如果圖像變換T是單調(diào)且對比不變的，那么計算Tu可以通過一下算法實現(xiàn)：（1）計算u的所有水平集cl(u)(l∈[0,1])；（2）對每一個水平集cl(u)，用T的伴隨集合算子T′作用，得到T′(cl(u))；（3）用最大值表示公式得到Tu,整個過程如下。這種算法適用于T難以實現(xiàn)，而T′容易計算的情況。6.1.3從集合算子到形態(tài)學(xué)算子考慮，給定一個單調(diào)的集合算子T′是否可以得到一個對比不變的單調(diào)圖像變換呢？自然的思路就是令

Tu(x)=sup{l,x∈T′(clu)}定理5：令T′是一個Y→

Y單調(diào)算子，滿足

T′(F)=F

,T′(W)=W那么，可以定義圖像變換

Tu(x)=sup{l,x∈T′(clu)}對于所有的l，滿足

cl(Tu)=T′(cl(u))則對幾乎所有的

l

∈Rg(Tu)=T(g(u))證明：對每一個l

，我們有

cl(Tu)=T′(cl(u))即對∧∈R中的所有l(wèi)滿足meas(R\∧)=0。注意到u≤v當(dāng)且僅當(dāng)clu?

clv，對R的一個稠密可數(shù)子集合上的所有l(wèi)

，可得T是單調(diào)的

cl(Tu)=T′(cl(u))≤T′(cl(v))=cl(Tv)Tu≤Tv下面證明，T和對比變換相交換。假設(shè)g是嚴(yán)格增加的，設(shè)和，對于l﹥g(+∞)有clg(u)=F，因此，T′(clg(u))=

F；對于

l﹤g(-∞)有clg(u)=RN，因此T′(clg(u))=RN

。T(g(u(x)))=sup{l,g(-∞)≤l≤g(-∞),x∈T′(clg(u))}=sup{g(m),x∈T′(cgg(u))}=sup{g(m),x∈T′(cmu)}=g(Tu(x))下面驗證T和一般的不減對比變換g相交換。嚴(yán)格增加連續(xù)函數(shù)gn和hn滿足

gn(s)→g(s)，hn(s)→g(s)對所有的s和gn≤g≤hn。因此由上面結(jié)論有

T(g(u))≥T(gn(u))=gn(Tu)→g(Tu)T(g(u))≤T(hn(u))=hn(Tu)→g(Tu)可以推出

T(g(u))=g(Tu)?！?.1.4應(yīng)用實例：“ExtremaKiller”算子“ExtremaKiller”算子是一個圖像光滑算法，作用是去除圖像中的“峰（peak）”——孤立的水平集，尤其對椒鹽噪聲效果顯著。算法如下：（1）假設(shè)一個集合X有若干連通區(qū)域組成定義一個集合變換T′b(X)=Xb，而（2）ExtremaKiller圖像變換定義為

Tbu(x)=sup{l

,x∈T′b(clu)}*式定義了集合算子是ExtremaKiller變換的伴隨集合算子，即

cl(Tbu)=T′b(clu)噪聲圖像killer算子作用后圖像（改進(jìn)的ExtremaKiller）6.2平移不變的形態(tài)學(xué)算子主要描述平移不變的形態(tài)學(xué)算子以及它的伴隨集合算子，也就是平移不變的單調(diào)集合算子。記平移為tx，且滿足（1）對于集合X：

txX=x+X={x+y|y∈X}（2）對于圖像u：

(tx)u(y)=u(y-x)其中x不是一個二維的點，而是表示一個二維向量。定義5：集合算子T′是平移不變的，如果

tx(T′(X))=T′(txX)定義圖像變換是平移不變的，如果

tx(T(u))=T(txu)定理6：（Matheron）令T′是平移不變的單調(diào)集合算子，那么存在一個集合族B

B={X,0∈

T′(X)}其中0是R2中的原點，T′滿足其中X-y=X+(-y)。相反*式也定義了一個單調(diào)、平移不變的集合算子。證明：先看*式等價于利用單調(diào)性和平移不變性，得下面的等價關(guān)系第五個等價性質(zhì)成立理由是：如果B?X，并且B∈B那么X∈B

，因為B∈B

，即{B,0∈T′(B)}又因為B?X，則有{X,0∈T′(X)}→X∈B就有。相反的，如果算子通過*式定義，顯然是單調(diào)和對比不變的?！龆ɡ?：F是圖像函數(shù)空間，Y是F中所有水平集的集合。假設(shè)對比不變下是穩(wěn)定的，并且包含了T中所有元素的特征函數(shù)。令T′是T的伴隨集合算子。如果?x∈R2，集合族Bx={X,x∈T′(X)}那么?u∈F有：對x幾乎處處成立。其中B=B0{X,0∈T′(X)}另外，如果T′是位移不變算子，則相反的，如果一個算子通過以上的公式定義，則該算子是單調(diào)和對比不變的。證明：令

其中Bx={X,x∈T′(X)}x以下證明

Tu(x)=Tu(x)幾乎處處相等。選擇一個可數(shù)的稠密y∈[0,1]，滿足?l∈y,clTu(x)=T′(clu)(x)對x∈RN﹨Nl成立。（對比下穩(wěn)定——定理4）這里Nl的Lebesge測度為0。設(shè)N=∪Nl

，則N的Lebesge測度也為0。為證明定理，先證明對所有的l∈y和所有的

x∈RN﹨Nl，有：（即處處相等了）

Tu(x)≥l?Tu(x)≥l對任意l,m∈y，我們有：第五個等價關(guān)系：因為如果B∈B

并且B∈Bx則

X∈Bx。

{B,0∈T′(B)}、{B,x∈T′(B)}因為B?X則有

{X,0∈T′(X)}、{X,x∈T′(X)}=B

x那么，如果某些B∈B

x,那么一定有B?cmu

，就也有cmu∈B

x，于是證明了提出的命題?！霾紶柎鷶?shù)（BooleanAlgebra）中有個著名的結(jié)論：如果T是一個supinf形式的算子，那么T也具有infsup的形式，即此時的B

′與supinf形式中的B

是不同的。定理8：如果T是平移不變的形態(tài)學(xué)算子，那么它的伴隨算子集合T′可以通過一下公式來定義，證明：T滿足定理7，并且可以延拓到F中函數(shù)的所有水平集。很容易由定理7推出定理6的結(jié)果。■對于X的特征函數(shù)1x，則

,當(dāng)x+B

X

,當(dāng)x+B

X于是，當(dāng)且僅當(dāng)?B∈B

滿足

x+B?X和定理6。6.3形態(tài)學(xué)算子：膨脹和腐蝕算子6.3.1定義定義6：X是R2中一子集，t≥0是一尺度參數(shù)。稱Dt是基于一個集合B和尺度參數(shù)t的膨脹，如果其中集合B稱為結(jié)構(gòu)元素。同樣，Et表示結(jié)構(gòu)元素B的尺度參數(shù)t的腐蝕公式說明Dt和Et是平移不變的單調(diào)集合算子，滿足定理6，此時B

中只含有一個元素tB。例2：（1）如果結(jié)構(gòu)元素B={x0}是僅僅包含一個點的集合，那么DtX=X+tx0是一個平移算子。相應(yīng)的，EtX=X-tx0也是一個平移算子。（2）如果結(jié)構(gòu)元素B是一個圓心在原點半徑為1的開球D(0,1)，那么DtX就是X的t-領(lǐng)域，即與X的距離小于t的所有點的集合。(3)令B=D(0,1)，則定理9：（1）Dt(Xc)=(EtX)c其中Xc=R2/X；（2）如果結(jié)構(gòu)元素為D(0,1)，那么Dt，Et是旋轉(zhuǎn)不變的，即它們和旋轉(zhuǎn)運算可以交換；（3）Ds+t=DsDt（Es+t=EsEt），當(dāng)且僅當(dāng)結(jié)構(gòu)元素B是凸的。證明：（1）（3）首先證明任取B,(t+s)B=tB+sB當(dāng)且僅當(dāng)B是凸的。因為tB+sB={sx+ty|x,y∈B}，所以?z∈tB+sB,?x,y∈B，滿足而(s+t)x和(s+t)y都屬于(s+t)B，又因為B是凸的，所以(t+s)B=tB+sB。反過來，如果(t+s)B=tB+sB成立，那么對于任意的x,y∈B,存在z∈B，滿足(s+t)z=sx+ty，也就是所以B是凸的。注意到

DtDsX=(X+sB)+tB=X+sB+tBDs+tX=X+(s+t)B根據(jù)上面的結(jié)論，Ds+t=DsDt成立當(dāng)且僅當(dāng)它們的結(jié)構(gòu)元素B是凸的。同樣的結(jié)論也適用于腐蝕算子。■定義7：u是一副圖像，稱Dt是基于結(jié)構(gòu)元素B和尺度參數(shù)t的膨脹變換，如果類似，基于結(jié)構(gòu)元素B和尺度參數(shù)t的腐蝕算子Et被定義為上面的定義說明Dtu(x)具有infsup的形式，即而B

只含有tB一個元素，所以Dt是一個平移不變的形態(tài)學(xué)算子，Et亦然。定理10：對于圖像的膨脹和腐蝕算子，如果B是關(guān)于0對稱的，那么

-Et(-u)=Dt(u)證明：第三個等號是由于B的對稱性。原圖對黑色的膨脹（對背景色的腐蝕）

結(jié)構(gòu)元素是圓盤I=imread('star.bmp');subplot(1,2,1),imshow(I);J=I;[w,h]=size(I);r=10;fori=r+1:w-rforj=r+1:h-rmin=256;forx=-r:rfory=-r:rifsqrt(x*x+y*y)<r&I(i+x,j+y)<minmin=I(i+x,j+y);endendendJ(i,j)=min;endendsubplot(1,2,2),imshow(J);I=imread('star.bmp');subplot(1,2,1),imshow(I);J=I;[w,h]=size(I);r=10;fori=r+1:w-rforj=r+1:h-rmax=0;forx=-r:rfory=-r:rifsqrt(x*x+y*y)<r&I(i+x,j+y)>maxmax=I(i+x,j+y);endendendJ(i,j)=max;endendsubplot(1,2,2),imshow(J);

原圖膨脹腐蝕I=imread('girl.bmp');subplot(1,3,1),imshow(I);se=strel('disk',4);D=imdilate(I,se);subplot(1,3,2),imshow(D);E=imerode(I,se);subplot(1,3,3),imshow(E);從前面膨脹和腐蝕的結(jié)果圖像可以看出，單獨的膨脹和腐蝕都不可能成為一個好的濾波器，因為膨脹是圖像變亮，從而增加了許多白色區(qū)域（腐蝕增加了黑色區(qū)域）。但經(jīng)過一些組合可以產(chǎn)生很好的濾波效果。

開運算：先對圖像進(jìn)行腐蝕然后再膨脹；

閉運算：先對圖像進(jìn)行膨脹然后再腐蝕。例如：

T′

=Dt。Et。Et。DtT″=Et。Dt。Dt。Et原圖腐蝕膨脹、腐蝕膨脹、膨脹、腐蝕腐蝕、膨脹、膨脹、腐蝕原圖膨脹腐蝕、膨脹腐蝕、腐蝕、膨脹膨脹、腐蝕、腐蝕、膨脹集合的膨脹和腐蝕算子與圖像的膨脹和腐蝕變換存在以下關(guān)系：（1）令圖像膨脹變換的結(jié)構(gòu)元素為{-tb，b∈B}，（2）令集合膨脹算子的結(jié)構(gòu)元素為B，由于此時

Dt(clu)=cl(Dtu)所以，上述的集合膨脹算子是圖像膨脹變換的伴隨集合算子。所以有：Dt(clu)=cl(Dtu)6.3.2偏微分方程和膨脹（腐蝕）算子記其中<,>表示內(nèi)積，當(dāng)B=D(0,1)時，||·||B就是Euchlid范數(shù)。定理11：（Laxformula）如果u(t,x)=Dtu0(x)，并且結(jié)構(gòu)元素B是凸的，那么u(t,x)滿足

?u∕?t=||Du||-B其中u對x兩次可微。對應(yīng)的，如果u(t,x)=Etu0(x)，那么u(t,x)滿足?u∕?t=-||Du||-B其中u對x兩次可微。證明：先看在t=0時的性質(zhì)。假設(shè)u0在x處是C2的，已知

u(t,x)=Dtu0(x)，u(0,x)=u0(x)所以既然u0在x處是可微的，那么兩邊同除以h，并令h→0，得到（t=0時成立）下證對于任意尺度t時具有同樣的關(guān)系：由于B是凸的，因此Dt+h=DtDh=DhDt，所以

u(t+h,x)-u(t,x)=Dh(u(t))(x)-u(t)(x)兩邊同除以h，并令h→0，由上面的結(jié)果且用u(t)代替u0，就得到一般的結(jié)果?！?.3.3膨脹和腐蝕算子的離散算法膨脹與腐蝕算子具有類似的性質(zhì)，下面只給出膨脹算子的偽代碼。已知圖像u的分辨率為m×n，u[i,j]（i=1,…m,j=1…n）表示在[i,j]處的灰度值，取結(jié)構(gòu)元素為B，t為參數(shù)，V[i,j]表示運算的結(jié)果：Dilation(u,B,t)FORx0=1tomFORy0=1tonFOREACH(tB中的像素點p)

得到p的坐標(biāo)(px,py)

將u[x0+px,y0+py]的灰度值存入數(shù)組array中求array中的最大值max_array

令V[x0,y0]=max_arrayENDFOREACHENDEND6.4形態(tài)學(xué)算子：中值算子6.4.1定義首先假設(shè)圖像u的所有水平集都是Lebesgue可測的。權(quán)函數(shù)k(y)滿足集合B的k-測度為定義8：令X是R2的一個可測子集，k是權(quán)函數(shù)。稱X的中值集（k加權(quán)）并用medkX來表為

medkX={x,|X-x|k≥1/2}定理12：算子medk:Y→Y是單調(diào)的算子并且滿足集合連續(xù)性質(zhì)，即，如果(Xl)l∈R是一個遞減的可測集合，并且滿足

Xl=∩m﹤lXm,?l∈R那么medk(Xl)=∩m﹤lmedk(Xm)證明：由medk的定義知其是單調(diào)的，

X?Y→X-x?Y-x→所以medk(Xl)?∩m﹤lmedk(Xm)反過來，令

x∈∩m﹤lmedk(Xm)由medk的定義可得

?m,|Xm

-

x|k

≥1∕2因為Xm是一個單調(diào)減的集合序列，同時具有有限的測度，根據(jù)實變函數(shù)中的Lebesgue極限收斂定理

|Xm

-

x|k→|Xl

-

x|k并且|Xl

-x|k≥1/2，再由medk的定義，有x∈medkXl即

medk(Xl)?∩m﹤l

medk(Xm)■其中可測，且其中可測，且則有若定義9：圖像的加權(quán)中值濾波器基于一個結(jié)構(gòu)元素B，其定義為顯然，medk(u)是個supinf型的，是一個平移不變的形態(tài)學(xué)算子。如果在記號上不區(qū)分圖像中值濾波器和集合中值算子，都記為medk。medk作為一個單調(diào)的集合算子，可以用最大值表現(xiàn)公式擴展到一個圖像的變換T（定理4）

Tu(x)=sup{u(x)|x∈medk(X)}同時滿足cl(Tu)=medk(clu)由于medk作為一個單調(diào)、平移不變的集合算子，所以T是一個單調(diào)的、對比不變的變換，根據(jù)定理7其中B={B,0∈medk(B)}。所以有：定理13：medk是圖像加權(quán)中值濾波器的伴隨集合算子。6.4.2中值算子的離散算法已知圖像u的分辨率為m×n，u[i,j]（i=1,…m,j=1…n）表示在[i,j]處的灰度值，取結(jié)構(gòu)元素為B，t為參數(shù)，V[i,j]表示運算的結(jié)果：Median(u,B,t)NB=結(jié)構(gòu)元素B的像素數(shù)目FORx0=1tomFORy0=1tonFOREACH(B中的像素點p)

得到p的坐標(biāo)(px,py)

將u[x0+px,y0+py]的灰度值存入數(shù)組array中對array進(jìn)行排序，排在第（NB/2+1）的值med_array

令v[x0,y0]=med_arrayENDFOREACHENDEND噪聲圖像及32：32：224水平線中值濾波后圖像及32：32：224水平線Matlab源碼：Image=imread('lena.bmp');subplot(2,3,1),imshow(Image);I=imnoise(Image,'salt&pepper',0.05);subplot(2,3,2),imshow(I);L_s_I=Level_Set_Line(I,32,32,256);subplot(2,3,3),imshow(uint8(L_s_I));M=medfilt2(I,[3,3]);subplot(2,3,5),imshow(M);L_s=Level_Set_Line(M,32,32,256);subplot(2,3,6),imshow(uint8(L_s));6.5歐氏不變的形態(tài)學(xué)算子6.5.1定義和微分性質(zhì)記

H[a]=T[x1+ax22](0)其中T[x1+ax22]表示T(u)，u=x1+ax22。如果T是單調(diào)的，那么H也是單調(diào)的。定義

Th[x]=h·T[x]=h·H[0]Th[x1+ax22](0)=h·T[x1+h·ax22](0)=h·H[a·h]用D(0,M)表示圓心在0，半徑為M的圓。定理14：令B

是一族R2有界子集族（?B∈B

，B∈D(0,M)）并且是各向同性的（?B∈B

，RB∈D(0,M)，R是一個旋轉(zhuǎn)變換）。令和相關(guān)的帶參數(shù)h的變換那么，對于任意C2的函數(shù)u，有

(Thu)(x)=u(x)+h·T[x](0)·|Du|(x)+O(h2)證明：由于T(u-u(x))=Tu-u(x)，不失一般性，令u(x)=0。因為T是平移不變和旋轉(zhuǎn)不變的，選擇圖像支撐集W的左下角定位在x，兩個軸的方向(i,j)定義為所以，對y=(y1,y2)，Talyor展開有