中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題09 二元一次方程組（解析版）

專題09二元一次方程組【考查題型】【知識要點】知識點一二元一次方程（組）有關(guān)概念二元一次方程的概念：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程?！咀⒁狻?)二元：含有兩個未知數(shù)；2）一次：所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1。例如：xy=1，xy的次數(shù)是二，屬于二元二次方程。3)方程：方程的左右兩邊必須都是整式（分母不能出現(xiàn)未知數(shù)）。二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解?！疽族e點】二元一次方程有無數(shù)個解，滿足二元一次方程使得方程左右相等都是這個方程的解，但并不是說任意一對數(shù)值就是它的解?！窘忸}技巧】在二元一次方程中，給定其中一個未知數(shù)的值，就可以通過解一元一次方程的方法求出另一個未知數(shù)的值。二元一次方程組的概念：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程組．【補充說明】1）二元一次方程組的“二元”和“一次”都是針對整個方程組而言的，組成方程組的各個方程不必同時含有兩個未知數(shù)，如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1＝0，,x＋2y＝2))也是二元一次方程組。這兩個一次方程不一定都是二元一次方程，但這兩個一次方程必須只含有兩個未知數(shù)。方程組中的各個方程中，相同字母必須代表同一未知量。3）二元一次方程組中的各個方程都是是整式方程。二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解?！咀⒁狻?）二元一次方程組的解是方程中每個方程的解。2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的，但是有的方程組有無數(shù)個解或無解。如：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，,4x＋4y＝20.))（無數(shù)解），如：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，,x＋y＝2.))（無解）考查題型一理解二元一次方程（組）的相關(guān)概念題型1．（2022·浙江杭州·中考真題）某體育比賽的門票分A票和B票兩種，A票每張x元，B票每張y元．已知10張A票的總價與19張B票的總價相差320元，則（

）A． B．C． D．【答案】C【提示】根據(jù)題中數(shù)量關(guān)系列出方程即可解題；【詳解】解：由10張A票的總價與19張B票的總價相差320元可知，或，∴，故選：C．【名師點撥】本題主要考查二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能根據(jù)實際情況對題目全面提示．題型1-1．（2022·黑龍江·中考真題）國家“雙減”政策實施后，某校開展了豐富多彩的社團活動．某班同學(xué)報名參加書法和圍棋兩個社團，班長為參加社團的同學(xué)去商場購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費360元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購買方案？（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【提示】設(shè)設(shè)購買毛筆x支，圍棋y副，根據(jù)總價=單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y均為正整數(shù)即可得出購買方案的數(shù)量．【詳解】解：設(shè)購買毛筆x支，圍棋y副，根據(jù)題意得，15x+20y=360，即3x+4y=72，∴y=18-x．又∵x，y均為正整數(shù)，∴或或或或，∴班長有5種購買方案．故選：A．【名師點撥】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系“共花費360元”，列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．題型1-2．（2022·四川雅安·中考真題）已知是方程ax+by＝3的解，則代數(shù)式2a+4b﹣5的值為_____．【答案】1【提示】把代入ax+by＝3可得，而2a+4b﹣5，再整體代入求值即可．【詳解】解：把代入ax+by＝3可得：，2a+4b﹣5．故答案為：1【名師點撥】本題考查的是二元一次方程的解，利用整體代入法求解代數(shù)式的值，掌握“方程的解的含義及整體代入的方法”是解本題的關(guān)鍵．題型1-3．（2022·黑龍江綏化·中考真題）某班為獎勵在數(shù)學(xué)競賽中成績優(yōu)異的同學(xué)，花費48元錢購買了甲、乙兩種獎品，每種獎品至少購買1件，其中甲種獎品每件4元，乙種獎品每件3元，則有______種購買方案．【答案】3##三【提示】設(shè)購買甲種獎品x件，乙種獎品y件，列出關(guān)系式，并求出，由于，且x，y都是正整數(shù)，所以y是4的整數(shù)倍，由此計算即可．【詳解】解：設(shè)：購買甲種獎品x件，乙種獎品y件，，解得，∵，且x，y都是正整數(shù)，∴y是4的整數(shù)倍，∴時，，時，，時，，時，，不符合題意，故有3種購買方案，故答案為：3．【名師點撥】本題考查列關(guān)系式，根據(jù)題意判斷出y是4的整數(shù)倍是解答本題的關(guān)鍵．題型1-4．（2021·四川廣安·中考真題）若、滿足，則代數(shù)式的值為______．【答案】-6【提示】根據(jù)方程組中x+2y和x-2y的值，將代數(shù)式利用平方差公式分解，再代入計算即可．【詳解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3，∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，故答案為：-6．【名師點撥】本題主要考查方程組的解及代數(shù)式的求值，觀察待求代數(shù)式的特點與方程組中兩方程的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．知識點二解二元一次方程組消元的思想：二元一次方程組中有兩個未知數(shù)，如果消去其中一個未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為熟悉的一元一次方程，即可先求出一個未知數(shù)，然后再求另一個未知數(shù)。這種將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元的思想。方法一：代入消元法：把二元一次方程組中一個方程的未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解。這個方法叫做代入消元法，簡稱代入法?！净舅悸贰浚何粗獢?shù)由多變少。代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：（變代解求寫驗）①變：將其中一個方程變形，使一個未知數(shù)用含有另一個的未知數(shù)的代數(shù)式表示。②代：用這個代數(shù)式代替另一個方程中的相應(yīng)未知數(shù)，得到一元一次方程。③解：解一元一次方程④求：把求得的未知數(shù)的值帶入代數(shù)式或原方程組中的任意一個方程中，求得另一個未知數(shù)的值。⑤寫：寫出方程組的解。⑥驗：將方程組的解帶入到原方程組中的每個方程中，若各方程均成立，則這對數(shù)值就是原方程組的解，負責(zé)解題有誤。方法二加減消元法：兩個二元一次方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：（變加減解求寫驗）①變形：將兩個方程中其中一個未知數(shù)的系數(shù)化為相同（或互為相反數(shù)）。②加減：通過相減（或相加）消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程。③求解：解這個一元一次方程，得到一個未知數(shù)的值。④回代：將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個方程，求出另一個未知數(shù)的值。⑤寫解：寫出方程組的解。⑥檢驗：將方程組的解帶入到原方程組中的每個方程中，若各方程均成立，則這對數(shù)值就是原方程組的解，負責(zé)解題有誤。方法三換元法：根據(jù)方程組各系數(shù)的特點，可將方程組中的一個方程或方程的一部分看成一個整體，帶入另一個方程中，從而達到消去其中一個未知數(shù)的目的，并求得方程的解。例(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可寫為m+n=8解得m=6,n=2所以x=1m-n=4所以x+5=6,y-4=2y=6特點：兩方程中都含有相同的代數(shù)式，如題中的x+5,y-4之類，換元后可簡化方程也是主要原因。解二元一次方程的基本步驟：1.消元2.求解3.回代4.寫解5.檢驗（重要）解三元一次方程的基本步驟：1.變形（變?nèi)淮螢槎淮危?.求解：解二元一次方程組3.回代：將求得的未知數(shù)的值代入原方程組的一個適當?shù)姆匠讨?，得到一個一元一次方程4.求解：解一元一次方程，求出第三個未知數(shù)5.寫解：用大括號將所求的的三個未知數(shù)的值聯(lián)立起來，即得原方程組的解。考查題型二解二元一次方程組題型2．（2022·湖南株洲·中考真題）對于二元一次方程組，將①式代入②式，消去可以得到（

）A． B．C． D．【答案】B【提示】將①式代入②式消去去括號即可求得結(jié)果．【詳解】解：將①式代入②式得，，故選B．【名師點撥】本題考查了代入消元法求解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法是解題的關(guān)鍵．題型2-1．（2022·遼寧沈陽·中考真題）二元一次方程組的解是______．【答案】##【提示】利用代入消元法進行求解方程組的解即可．【詳解】解：把②代入①得：，解得：，把代入②得：；∴原方程組的解為；故答案為．【名師點撥】本題主要考查二元一次方程組的解法，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．題型2-2．（2022·江蘇無錫·中考真題）二元一次方程組的解為________．【答案】【提示】方程組利用加減消元法求出解即可．【詳解】解：．①+②×2得：7x=14，解得：x=2，把x=2代入②得：2×2-y=1解得：y=3，所以，方程組的解為，故答案為：．【名師點撥】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．題型2-3．（2022·廣西賀州·中考真題）若實數(shù)m，n滿足，則__________．【答案】7【提示】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可求出m、n的值，進而代入數(shù)值可求解．【詳解】解：由題意知，m，n滿足，∴m-n-5=0，2m+n?4=0，∴m=3，n=-2，∴，故答案為：7．【名師點撥】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，初中階段有三種類型的非負數(shù)：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術(shù)平方根）．當它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．根據(jù)這個結(jié)論可以求解這類題目．題型2-4．（2022·山東濰坊·中考真題）方程組的解為___________．【答案】【提示】用①×2+②×3，可消去未知數(shù)y，求出未知數(shù)x，再把x的值代入②求出y即可．【詳解】解：，①×2+②×3，得13x=26，解得：x=2，把x=2代入②，得6-2y=0，解得y=3，故方程組的解為．故答案為：．【名師點撥】本題考查了二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程是解題的關(guān)鍵．題型2-5．（2022·湖北隨州·中考真題）已知二元一次方程組，則的值為______．【答案】1【提示】直接由②-①即可得出答案．【詳解】原方程組為，由②-①得．故答案為：1．【名師點撥】本題考查二元一次方程組的特殊解法，解題的關(guān)鍵是學(xué)會觀察，并用整體法求解．題型2-6．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）計算求解：(1)計算(2)解方程組【答案】(1)5(2)【提示】（1）先去絕對值，算負整數(shù)指數(shù)冪，將特殊角三角函數(shù)值代入，再計算即可；（2）直接解二元一次方程組即可．(1)原式＝2+35；(2)整理方程組得：，由①得：y＝5-4x③，將③代入②得：-5x＝5，解得：x＝-1，將x＝-1代入③得：y＝9，則方程組得解為：．【名師點撥】本題考查實數(shù)運算和解二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是掌握各知識點的運算法則．題型2-7．（2022·湖北荊州·中考真題）已知方程組的解滿足，求k的取值范圍．【答案】【提示】先求出二元一次方程組的解，代入中即可求k；【詳解】解：令①+②得，，解得：，將代入①中得，，解得：，將，代入得，，解得：．【名師點撥】本題主要考查解二元一次方程組、解一元一次不等式，掌握相關(guān)運算法則和方法是解本題的關(guān)鍵．題型2-8．（2022·山東淄博·中考真題）解方程組：【答案】【提示】整理方程組得，繼而根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可求解．【詳解】解：整理方程組得，

得，y=1，

把y=1代入①得，解得x=5，

∴方程組的解為.【名師點撥】本題考查了解二元一次方程組，正確的計算是解題的關(guān)鍵．考查題型三解三元一次方程組題型3．（2022·重慶·中考真題）特產(chǎn)專賣店銷售桃片、米花糖、麻花三種特產(chǎn)，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售價分別比其成本高20%、30%、20%．該店五月份銷售桃片、米花糖、麻花的數(shù)量之比為1∶3∶2，三種特產(chǎn)的總利潤是總成本的25%，則每包米花糖與每包麻花的成本之比為_________．【答案】4：3【提示】設(shè)每包麻花的成本為x元，每包米花糖的成本為y元，桃片的銷售量為m包，則每包桃片的成本為2x元，米花糖的銷售量為3m包，麻花的銷售量為2m包，根據(jù)三種特產(chǎn)的總利潤是總成本的25%列得，計算可得．【詳解】解：設(shè)每包麻花的成本為x元，每包米花糖的成本為y元，桃片的銷售量為m包，則每包桃片的成本為2x元，米花糖的銷售量為3m包，麻花的銷售量為2m包，由題意得，解得3y=4x，∴y：x=4：3，故答案為：4：3．【名師點撥】此題考查了三元一次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型3-1．（2021·重慶·中考真題）盲盒為消費市場注入了活力，既能夠營造消費者購物過程中的趣味體驗，也為商家實現(xiàn)銷售額提升拓展了途徑．某商家將藍牙耳機、多接口優(yōu)盤、迷你音箱共22個，搭配為A，B，C三種盲盒各一個，其中A盒中有2個藍牙耳機，3個多接口優(yōu)盤，1個迷你音箱；B盒中藍牙耳機與迷你音箱的數(shù)量之和等于多接口優(yōu)盤的數(shù)量，藍牙耳機與迷你音箱的數(shù)量之比為3：2；C盒中有1個藍牙耳機，3個多接口優(yōu)盤，2個迷你音箱．經(jīng)核算，A盒的成本為145元，B盒的成本為245元（每種盲盒的成本為該盒中藍牙耳機、多接口優(yōu)盤、迷你音箱的成本之和），則C盒的成本為__________元．【答案】155【提示】設(shè)B盒中藍牙耳機3a個，迷你音箱2a個，列方程求出B盒中各種設(shè)備的數(shù)量，再設(shè)藍牙耳機、多接口優(yōu)盤、迷你音箱的成本分別為x、y、z元，根據(jù)題意列出方程組，再整體求出的值即可．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)B盒中藍牙耳機3a個，迷你音箱2a個，優(yōu)盤的數(shù)量為3a+2a=5a個，則，解得，a=1；設(shè)藍牙耳機、多接口優(yōu)盤、迷你音箱的成本分別為x、y、z元，根據(jù)題意列方程組得，②-①得，，③×3-①得，，故答案為：155．【名師點撥】本題考查了三元一次方程組和一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找準題目中的等量關(guān)系列出方程（組），熟練運用等式的性質(zhì)進行方程變形，整體求值．知識點三列二元一次方程組解應(yīng)用題列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：審：審題，明確各數(shù)量之間的關(guān)系。設(shè)：設(shè)未知數(shù)找：找題中的等量關(guān)系列：根據(jù)等量關(guān)系列出兩個方程，組成方程組解：解方程組，求出未知數(shù)的值答：檢驗方程組的解是否符合題意，寫出答案。常見利用方程解決實際問題等量關(guān)系：銷售中盈虧問題：1）成本價：俗稱進價，是商家進貨時的價格；2）標價：商家出售時標注的價格；3）打折：打折就是以標價為基礎(chǔ)，按一定比例降價出售。如：打9折，就是按標價的90℅出售。4）利潤=售價－進價，利潤>0時盈利，利潤<0時虧損。5）利潤率=利潤成本順逆流問題：船在順水中的速度=船在靜水中的速度+水流速度船在逆水中的速度=船在靜水中的速度-水流速度船順水的行程=船逆水的行程水流速度=（順水速度-逆水速度）÷2數(shù)字問題：一個兩位數(shù)，十位數(shù)字是a，個位數(shù)字是b，那么這個數(shù)可表示為10a+b一個三位數(shù)，百位數(shù)字是x,十位數(shù)字是y，個位數(shù)字是z，那么這個數(shù)可表示為100x+10y+z工程、效率問題：工程問題中要善于把握什么是總工作量，總工作量可以看成“1”；工程問題中的等量關(guān)系一般是各部分完成的工作量之和等于總工作量“1”。工作量=工作時間×工作效率?球賽積分問題：比賽總場數(shù)=勝場數(shù)+負場數(shù)+平場數(shù)比賽總積分=勝場積分+負場積分+平場積分行程問題：路程=速度*時間相遇問題：甲路程+乙路程=兩地距離追及問題：快者的行程-慢者的行程=初始距離鐘表問題：整個鐘面為360度，上面有12個大格，每個大格為30度；60個小格，每個小格為6度。分針速度：每分鐘走1小格，每分鐘走6度時針速度：每分鐘走小格，每分鐘走0.5度考查題型四利用二元一次方程組解決方案問題題型4．（2022·湖北宜昌·中考真題）五一小長假，小華和家人到公園游玩.湖邊有大小兩種游船．小華發(fā)現(xiàn)1艘大船與2艘小船一次共可以滿載游客32人，2艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客46人．則1艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客的人數(shù)為（

）A．30 B．26 C．24 D．22【答案】B【提示】設(shè)1艘大船與1艘小船分別可載x人，y人，根據(jù)“1艘大船與2艘小船一次共可以滿載游客32人”和“2艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客46人”這兩個等量關(guān)系列方程組，解出（x+y）即可．【詳解】設(shè)1艘大船與1艘小船分別可載x人，y人，依題意：（①+②）÷3得：故選：B．【名師點撥】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用；注意本題解出（x+y）的結(jié)果即可．題型4-1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）端午節(jié)前夕，某食品加工廠準備將生產(chǎn)的粽子裝入A、B兩種食品盒中，A種食品盒每盒裝8個粽子，B種食品盒每盒裝10個粽子，若現(xiàn)將200個粽子分別裝入A、B兩種食品盒中（兩種食品盒均要使用并且裝滿），則不同的分裝方式有（

）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】C【提示】設(shè)使用A食品盒x個，使用B食品盒y個，根據(jù)題意列出方程，求解即可．【詳解】設(shè)使用A食品盒x個，使用B食品盒y個，根據(jù)題意得，8x+10y=200，∵x、y都為正整數(shù)，∴解得，，，，∴一共有4種分裝方式；故選：C．【名師點撥】本題考查了二元一次方程的實際問題，解題的關(guān)鍵是明確題意列出方程．題型4-2．（2022·北京·中考真題）甲工廠將生產(chǎn)的I號、II號兩種產(chǎn)品共打包成5個不同的包裹，編號分別為A，B，C，D，E，每個包裹的重量及包裹中I號、II號產(chǎn)品的重量如下：包裹編號I號產(chǎn)品重量/噸II號產(chǎn)品重量/噸包裹的重量/噸A516B325C235D437E358甲工廠準備用一輛載重不超過19.5噸的貨車將部分包裹一次運送到乙工廠．（1）如果裝運的I號產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，寫出一種滿足條件的裝運方案________（寫出要裝運包裹的編號）；（2）如果裝運的I號產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，同時裝運的II號產(chǎn)品最多，寫出滿足條件的裝運方案________（寫出要裝運包裹的編號）．【答案】

ABC（或ABE或AD或ACE或ACD或BCD）

ACE【提示】（1）從A，B，C，D，E中選出2個或3個，同時滿足I號產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，總重不超過19.5噸即可；（2）從（1）中符合條件的方案中選出裝運II號產(chǎn)品最多的方案即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，選擇ABC時，裝運的I號產(chǎn)品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；選擇ABE時，裝運的I號產(chǎn)品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；選擇AD時，裝運的I號產(chǎn)品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；選擇ACD時，裝運的I號產(chǎn)品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；選擇BCD時，裝運的I號產(chǎn)品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；選擇DCE時，裝運的I號產(chǎn)品重量為：（噸），總重（噸），不符合要求；選擇BDE時，裝運的I號產(chǎn)品重量為：（噸），總重（噸），不符合要求；選擇ACE時，裝運的I號產(chǎn)品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；綜上，滿足條件的裝運方案有ABC或ABE或ACE或AD或ACD或BCD．故答案為：ABC（或ABE或ACE或AD或ACD或BCD）．（2）選擇ABC時，裝運的II號產(chǎn)品重量為：（噸）；選擇ABE時，裝運的II號產(chǎn)品重量為：（噸）；選擇AD時，裝運的II號產(chǎn)品重量為：（噸）；選擇ACD時，裝運的II號產(chǎn)品重量為：（噸）；選擇BCD時，裝運的II號產(chǎn)品重量為：（噸）；選擇ACE時，裝運的II號產(chǎn)品重量為：（噸）.故答案為：ACE．【名師點撥】本題考查方案的選擇，讀懂題意，嘗試不同組合時能否同時滿足題目要求的條件是解題的關(guān)鍵．題型4-3．（2022·湖北武漢·中考真題）有大小兩種貨車，3輛大貨車與4輛小貨車一次可以運貨22噸，5輛大貨車與2輛小貨車一次可以運貨25噸，則4輛大貨車與3輛小貨車一次可以運貨___________噸．【答案】23.5【提示】設(shè)每輛大貨車一次可以運貨x噸，每輛小貨車一次可以運貨y噸，根據(jù)“3輛大貨車與4輛小貨車一次可以運貨22噸，5輛大貨車與2輛小貨車一次可以運貨25噸”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，再整體求得（4x+3y）即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)每輛大貨車一次可以運貨x噸，每輛小貨車一次可以運貨y噸，依題意，得：，兩式相加得8x+6y=47，∴4x+3y=23.5(噸)，故答案為：23.5．【名師點撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．題型4-4．（2021·黑龍江綏化·中考真題）某學(xué)校計劃為“建黨百年，銘記黨史”演講比賽購買獎品．已知購買2個種獎品和4個種獎品共需100元；購買5個種獎品和2個種獎品共需130元．學(xué)校準備購買兩種獎品共20個，且種獎品的數(shù)量不小于種獎品數(shù)量的，則在購買方案中最少費用是_____元．【答案】330【提示】設(shè)A種獎品的單價為x元，B種獎品的單價為y元，根據(jù)“購買2個A種獎品和4個種獎品共需100元；購買5個A種獎品和2個種獎品共需130元”，即可得出關(guān)于A，B的二元一次方程組，在設(shè)購買A種獎品m個，則購買B種獎品(20-m)個，根據(jù)購買A種獎品的數(shù)量不少于B種獎品數(shù)量的，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，再結(jié)合費用總量列出一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)A種獎品的單價為x元，B種獎品的單價為y元，依題意，得：，解得：∴A種獎品的單價為20元，B種獎品的單價為15元．設(shè)購買A種獎品m個，則購買B種獎品個，根據(jù)題意得到不等式：m≥(20-m)，解得：m≥，∴≤m≤20，設(shè)總費用為W，根據(jù)題意得：W=20m+15(20-m)=5m+300，∵k=5>0，∴W隨m的減小而減小，∴當m=6時，W有最小值，∴W=5×6+300=330元則在購買方案中最少費用是330元．故答案為：330．【名師點撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式與一次函數(shù)．題型4-5．（2021·四川瀘州·中考真題）某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．（1）請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？（2）目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完(A、B兩種貨車均滿載)，其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元．請你列出所有的運輸方案，并指出哪種運輸方案費用最少．【答案】（1）1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨20噸和15噸；（2）共有3種租車方案，方案1：租用A型車8輛，B型車2輛；方案2：租用A型車5輛，B型車6輛；方案3：租用A型車2輛，B型車10輛；租用A型車8輛，B型車2輛最少．【提示】（1）設(shè)1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨x噸和y噸，根據(jù)“3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸”列方程組求解可得；（2）設(shè)貨運公司安排A貨車m輛，則安排B貨車n輛．根據(jù)“共有190噸貨物”列出二元一次方程組，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出各運輸方案．再根據(jù)方案計算比較得出費用最小的數(shù)據(jù)．【詳解】解：（1）1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨x噸和y噸，根據(jù)題意可得：，解得：，答：1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨20噸和15噸；（2）設(shè)安排A型車m輛，B型車n輛，依題意得：20m+15n=190，即，又∵m，n均為正整數(shù)，∴或或，∴共有3種運輸方案，方案1：安排A型車8輛，B型車2輛；方案2：安排A型車5輛，B型車6輛；方案3：安排A型車2輛，B型車10輛．方案1所需費用：5008+4002=4800(元)；方案2所需費用：5005+4006=4900(元)；方案3所需費用：5002+40010=5000(元)；∵4800＜4900＜5000，∴安排A型車8輛，B型車2輛最省錢，最省錢的運輸費用為4800元．【名師點撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；根據(jù)據(jù)總費用=500×安排A型車的輛數(shù)+400×B型車的輛數(shù)分別求出三種運輸方案的總費用．考查題型五利用二元一次方程組解決分配問題題型5．（2021·貴州黔西·中考真題）有大小兩種貨車，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運貨，5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨，則3輛大貨車與2輛小貨車一次可以運貨______．【答案】17【提示】設(shè)每輛大貨車一次可以運貨x噸，每輛小貨車一次可以運貨y噸，由題意：2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運貨15.5t，5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨35t，列出方程組，解方程組，即可求解．【詳解】解：設(shè)每輛大貨車一次可以運貨噸，每輛小貨車一次可以運貨噸，由題意，得：，解得：，則，即3輛大貨車與2輛小貨車一次可以運貨，故答案為：17．【名師點撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．題型5-1．（2022·福建·中考真題）在學(xué)校開展“勞動創(chuàng)造美好生活”主題系列活動中，八年級（1）班負責(zé)校園某綠化角的設(shè)計、種植與養(yǎng)護．同學(xué)們約定每人養(yǎng)護一盆綠植，計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆，且綠蘿盆數(shù)不少于吊蘭盆數(shù)的2倍．已知綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元．(1)采購組計劃將預(yù)算經(jīng)費390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，問可購買綠蘿和吊蘭各多少盆？(2)規(guī)劃組認為有比390元更省錢的購買方案，請求出購買兩種綠植總費用的最小值．【答案】(1)購買綠蘿38盆，吊蘭8盆(2)369元【提示】（1）設(shè)購買綠蘿盆，購買吊蘭盆，根據(jù)題意建立方程組，解方程組即可得到答案；（2）設(shè)購買綠蘿盆，購買吊蘭盆，總費用為，得到關(guān)于的一次函數(shù)，再建立關(guān)于的不等式組，解出的取值范圍，從而求得的最小值．（1）設(shè)購買綠蘿盆，購買吊蘭盆∵計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆∴∵采購組計劃將預(yù)算經(jīng)費390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元∴得方程組解方程組得∵38>2×8，符合題意∴購買綠蘿38盆，吊蘭8盆；（2）設(shè)購買綠蘿盆，購買吊蘭吊盆，總費用為∴，∴∵總費用要低于過390元，綠蘿盆數(shù)不少于吊蘭盆數(shù)的2倍∴將代入不等式組得∴∴的最大值為15∵為一次函數(shù)，隨值增大而減小∴時，最小∴∴元故購買兩種綠植最少花費為元．【名師點撥】本題考查二元一次方程組、一次函數(shù)、不等式組的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)量掌握二元一次方程組、一次函數(shù)、不等式組的相關(guān)知識．題型5-2．（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）紹云中學(xué)計劃為繪畫小組購買某種品牌的A、B兩種型號的顏料，若購買1盒A種型號的顏料和2盒B種型號的顏料需用56元；若購買2盒A種型號的顏料和1盒B種型號的顏料需用64元．(1)求每盒A種型號的顏料和每盒B種型號的顏料各多少元；(2)紹云中學(xué)決定購買以上兩種型號的顏料共200盒，總費用不超過3920元，那么該中學(xué)最多可以購買多少盒A種型號的顏料？【答案】(1)每盒A種型號的顏料24元，每盒B種型號的顏料16元(2)該中學(xué)最多可以購買90盒A種型號的顏料【提示】（1）設(shè)每盒A種型號的顏料x元，每盒B種型號的顏料y元，根據(jù)題意，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可；（2）設(shè)該中學(xué)可以購買a盒A種型號的顏料，則可以購買盒B種型號的顏料，根據(jù)總費用不超過3920元，列出不等式求解即可．（1）解：設(shè)每盒A種型號的顏料x元，每盒B種型號的顏料y元．根據(jù)題意得，解得∴每盒A種型號的顏料24元，每盒B種型號的顏料16元．（2）解：設(shè)該中學(xué)可以購買a盒A種型號的顏料，根據(jù)題意得解得∴該中學(xué)最多可以購買90盒A種型號的顏料．【名師點撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是（1）根據(jù)題意找出對應(yīng)關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系正確列出一元一次不等式．題型5-3．（2021·遼寧大連·中考真題）某校為實現(xiàn)垃圾分類投放，準備在校園內(nèi)擺放大、小兩種垃圾桶購買2個大垃圾桶和4個小垃圾桶共需600元；購買6個大垃圾桶和8個小垃圾桶共需1560元．（1）求大、小兩種垃圾桶的單價；（2）該校購買8個大垃圾桶和24個小垃圾桶共需多少元？【答案】（1）大垃圾桶單價為180元，小垃圾桶的單價為60元；（2）2880．【提示】（1）根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可．（2）根據(jù)第（1）問求得的大小垃圾桶的單價計算即可．【詳解】（1）設(shè)大垃圾桶的單價為x元，小垃圾桶的單價為y元，由題意列方程得，解得，答：大垃圾桶的單價為180元，小垃圾桶的單價為60元．（2）．答：該校購買8個大垃圾桶和24個小垃圾桶共需2880元．【名師點撥】此題考查了二元一次方程組應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是提示出題目中的等量關(guān)系．考查題型六利用二元一次方程組解決銷售、利潤問題題型6．（2022·江蘇蘇州·中考真題）某水果店經(jīng)銷甲、乙兩種水果，兩次購進水果的情況如下表所示：進貨批次甲種水果質(zhì)量（單位：千克）乙種水果質(zhì)量（單位：千克）總費用（單位：元）第一次60401520第二次30501360(1)求甲、乙兩種水果的進價；(2)銷售完前兩次購進的水果后，該水果店決定回饋顧客，開展促銷活動．第三次購進甲、乙兩種水果共200千克，且投入的資金不超過3360元．將其中的m千克甲種水果和3m千克乙種水果按進價銷售，剩余的甲種水果以每千克17元、乙種水果以每千克30元的價格銷售．若第三次購進的200千克水果全部售出后，獲得的最大利潤不低于800元，求正整數(shù)m的最大值．【答案】(1)甲種水果的進價為每千克12元，乙種水果的進價為每千克20元(2)正整數(shù)m的最大值為22【提示】（1）設(shè)甲種水果的進價為每千克a元，乙種水果的進價為每千克b元，根據(jù)總費用列方程組即可；（2）設(shè)水果店第三次購進x千克甲種水果，根據(jù)題意先求出x的取值范圍，再表示出總利潤w與x的關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．（1）設(shè)甲種水果的進價為每千克a元，乙種水果的進價為每千克b元．根據(jù)題意，得解方程組，得答：甲種水果的進價為每千克12元，乙種水果的進價為每千克20元．（2）設(shè)水果店第三次購進x千克甲種水果，則購進千克乙種水果，根據(jù)題意，得．解這個不等式，得．設(shè)獲得的利潤為w元，根據(jù)題意，得．∵，∴w隨x的增大而減?。喈敃r，w的最大值為．根據(jù)題意，得．解這個不等式，得．∴正整數(shù)m的最大值為22．【名師點撥】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、解一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的二元一次方程，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值．題型6-1．（2022·安徽·中考真題）某地區(qū)2020年進出口總額為520億元．2021年進出口總額比2020年有所增加，其中進口額增加了25%，出口額增加了30%．注：進出口總額＝進口額＋出口額．(1)設(shè)2020年進口額為x億元，出口額為y億元，請用含x，y的代數(shù)式填表：年份進口額/億元出口額/億元進出口總額/億元2020xy52020211.25x1.3y(2)已知2021年進出口總額比2020年增加了140億元，求2021年進口額和出口額度分別是多少億元？【答案】(1)1.25x+1.3y(2)2021年進口額億元，出口額億元．【提示】（1）根據(jù)進出口總額＝進口額＋出口額計算即可；（2）根據(jù)2021年進出口總額比2020年增加了140億元，列方程1.25x+1.3y=520+140，然后聯(lián)立方程組，解方程組即可．（1）解：年份進口額/億元出口額/億元進出口總額/億元2020xy52020211.25x1.3y1.25x+1.3y故答案為：1.25x+1.3y；（2）解：根據(jù)題意1.25x+1.3y=520+140，∴，解得：，2021年進口額1.25x=億元，2021年出口額是億元．【名師點撥】本題考查列二元一次方程組解應(yīng)用題，列代數(shù)式，掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題的方法與步驟是解題關(guān)鍵．題型6-2．（2022·四川瀘州·中考真題）某經(jīng)銷商計劃購進，兩種農(nóng)產(chǎn)品．已知購進種農(nóng)產(chǎn)品2件，種農(nóng)產(chǎn)品3件，共需690元；購進種農(nóng)產(chǎn)品1件，種農(nóng)產(chǎn)品4件，共需720元．(1)，兩種農(nóng)產(chǎn)品每件的價格分別是多少元？(2)該經(jīng)銷商計劃用不超過5400元購進，兩種農(nóng)產(chǎn)品共40件，且種農(nóng)產(chǎn)品的件數(shù)不超過B種農(nóng)產(chǎn)品件數(shù)的3倍．如果該經(jīng)銷商將購進的農(nóng)產(chǎn)品按照種每件160元，種每件200元的價格全部售出，那么購進，兩種農(nóng)產(chǎn)品各多少件時獲利最多？【答案】(1)A每件進價120元，B每件進價150元；(2)A農(nóng)產(chǎn)品進20件，B農(nóng)產(chǎn)品進20件，最大利潤是1800元．【提示】（1）根據(jù)“購進種農(nóng)產(chǎn)品2件，種農(nóng)產(chǎn)品3件，共需690元；購進種農(nóng)產(chǎn)品1件，種農(nóng)產(chǎn)品4件，共需720元”可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以求得A、B兩種農(nóng)產(chǎn)品每件的價格分別是多少元；（2）根據(jù)題意可以得到利潤與購買甲種商品的函數(shù)關(guān)系式，從而可以解答本題．（1）設(shè)A每件進價x元，B每件進價y元，由題意得，解得：，答：A每件進價120元，B每件進價150元；（2）設(shè)A農(nóng)產(chǎn)品進a件，B農(nóng)產(chǎn)品（40-a）件，由題意得，解得，設(shè)利潤為y元，則，∵y隨a的增大而減小，∴當a=20時，y最大，最大值y=2000-10×20=1800，答：A農(nóng)產(chǎn)品進20件，B農(nóng)產(chǎn)品進20件，最大利潤是1800元．【名師點撥】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．題型6-3．（2022·山東濟南·中考真題）為增加校園綠化面積，某校計劃購買甲、乙兩種樹苗．已知購買20棵甲種樹苗和16棵乙種樹苗共花費1280元，購買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費10元．(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？(2)若購買甲、乙兩種樹苗共100棵，且購買乙種樹苗的數(shù)量不超過甲種樹苗的3倍，則購買甲、乙兩種樹苗各多少棵時花費最少？請說明理由．【答案】(1)甲種樹苗每棵40元，乙種樹苗每棵30元(2)當購買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75棵時，花費最少，理由見解析【提示】（1）設(shè)每棵甲種樹苗的價格為x元，每棵乙種樹苗的價格y元，由“購買20棵甲種樹苗和16棵乙種樹苗共花費1280元，購買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費10元”列出方程組，求解即可；（2）設(shè)購買甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，購買兩種樹苗總費用為元得出一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）設(shè)甲種樹苗每棵元，乙種樹苗每棵元．由題意得，，解得，答：甲種樹苗每棵40元，乙種樹苗每棵30元．（2）設(shè)購買甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，購買兩種樹苗總費用為元，由題意得，，由題意得，解得，因為隨的增大而增大，所以當時取得最小值．答：當購買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75棵時，花費最少．【名師點撥】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是本題的關(guān)鍵．題型6-4．（2022·遼寧大連·中考真題）2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩和冬殘奧會吉祥物雪容融深受大家喜愛．已知購買1個冰墩墩毛絨玩具和2個雪容融毛絨玩具用了400元，購買3個冰墩墩毛絨玩具和4個雪容融毛絨玩具用了1000元．這兩種毛絨玩具的單價各是多少元？【答案】冰墩墩毛絨玩具和雪容融毛絨玩具的單價分別為每個200元，100元．【提示】設(shè)冰墩墩毛絨玩具和雪容融毛絨玩具的單價分別為每個元，y元，再根據(jù)購買1個冰墩墩毛絨玩具和2個雪容融毛絨玩具用了400元，購買3個冰墩墩毛絨玩具和4個雪容融毛絨玩具用了1000元，列方程組，再解方程組即可．【詳解】解：設(shè)冰墩墩毛絨玩具和雪容融毛絨玩具的單價分別為每個元，y元，則②-①得把代入①得：解得：答：冰墩墩毛絨玩具和雪容融毛絨玩具的單價分別為每個200元，100元．【名師點撥】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．題型6-5．（2022·遼寧阜新·中考真題）某公司引入一條新生產(chǎn)線生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，其中A產(chǎn)品每件成本為元，銷售價格為元，B產(chǎn)品每件成本為元，銷售價格為元，A，B兩種產(chǎn)品均能在生產(chǎn)當月全部售出．(1)第一個月該公司生產(chǎn)的A，B兩種產(chǎn)品的總成本為元，銷售總利潤為元，求這個月生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品各多少件？(2)下個月該公司計劃生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共件，且使總利潤不低于元，則B產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？【答案】(1)這個月生產(chǎn)產(chǎn)品件，產(chǎn)品件(2)140件【提示】（1）設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品件，產(chǎn)品件，根據(jù)題意列出方程組，求出即可；（2）設(shè)產(chǎn)品生產(chǎn)件，則產(chǎn)品生產(chǎn)件，根據(jù)題意列出不等式組，求出即可．（1解：設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品件，產(chǎn)品件，根據(jù)題意，得解得，∴這個月生產(chǎn)產(chǎn)品件，產(chǎn)品件，答：這個月生產(chǎn)產(chǎn)品件，產(chǎn)品件；（2）解：設(shè)產(chǎn)品生產(chǎn)件，則產(chǎn)品生產(chǎn)件，根據(jù)題意，得，解這個不等式，得．∴產(chǎn)品至少生產(chǎn)件，答：產(chǎn)品至少生產(chǎn)件．【名師點撥】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，能根據(jù)題意列出方程組和不等式是解此題的關(guān)鍵．題型6-6．（2022·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）某商店決定購進A、B兩種北京冬奧會紀念品．若購進A種紀念品10件，B種紀念品5件，需要1000元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品3件，需要550元．(1)求購進A、B兩種紀念品的單價；(2)若該商店決定拿出1萬元全部用來購進這兩種紀念品，考慮市場需求，要求購進A種紀念品的數(shù)量不少于B種紀念品數(shù)量的6倍，且購進B種紀念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進貨方案？(3)若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．【答案】(1)購進A、B兩種紀念品的單價分別為50元、100元(2)共有6種進貨方案(3)當購進A種紀念品160件B種紀念品20件時，可獲得最大利潤，最大利潤是3800元【提示】（1）根據(jù)題意列出二元一次方程組進行求解即可；（2）根據(jù)題意列出一元一次不等式組進行求解即可；（3）設(shè)總利潤為W元，求出W和x之間的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．（1）設(shè)A種紀念品單價為a元，B種紀念品單價為b元根據(jù)題意，得

解得∴購進A、B兩種紀念品的單價分別為50元、100元.（2）設(shè)該商店購進A種紀念品x個，購進B種紀念品y個根據(jù)題意，得變形得由題意得：由①得：由②得：∴∵x，y均為正整數(shù)∴x可取的正整數(shù)值是150，152，154，156，158，160與x相對應(yīng)的y可取的正整數(shù)值是25，24，23，22，21，20∴共有6種進貨方案.（3）設(shè)總利潤為W元則∵∴W隨x的增大而增大∴當時，W有最大值：（元）∴當購進A種紀念品160件，B種紀念品20件時，可獲得最大利潤，最大利潤是3800元．【名師點撥】本題考查二元一次方程組、一元一次不等式組和一次函數(shù)的實際應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列出二元一次方程組，一元一次不等式組，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進行求解，是解題的關(guān)鍵．考查題型七利用二元一次方程組解決和差倍分問題題型7．（2021·北京·中考真題）某企業(yè)有兩條加工相同原材料的生產(chǎn)線．在一天內(nèi)，生產(chǎn)線共加工噸原材料，加工時間為小時；在一天內(nèi)，生產(chǎn)線共加工噸原材料，加工時間為小時．第一天，該企業(yè)將5噸原材料分配到兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時間相同，則分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為______________．第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分配結(jié)果分配了5噸原材料后，又給生產(chǎn)線分配了噸原材料，給生產(chǎn)線分配了噸原材料．若兩條生產(chǎn)線都能在一天內(nèi)加工完各自分配到的所有原材料，且加工時間相同，則的值為______________．【答案】

2∶3

【提示】設(shè)分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)為x噸，則分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為（5-x）噸，依題意可得，然后求解即可，由題意可得第二天開工時，由上一問可得方程為，進而求解即可得出答案．【詳解】解：設(shè)分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)為x噸，則分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為（5-x）噸，依題意可得：，解得：，∴分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為5-2=3（噸），∴分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為2∶3；∴第二天開工時，給生產(chǎn)線分配了噸原材料，給生產(chǎn)線分配了噸原材料，∵加工時間相同，∴，解得：，∴；故答案為，．【名師點撥】本題主要考查一元一次方程、二元一次方程的應(yīng)用及比例的基本性質(zhì)，熟練掌握一元一次方程的應(yīng)用及比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型7-1．（2022·湖南衡陽·中考真題）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分別是2022年北京冬奧會、冬殘奧會的吉祥物．冬奧會來臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國．小雅在某網(wǎng)店選中兩種玩偶，決定從該網(wǎng)店進貨并銷售，第一次小雅用1400元購進了冰墩墩玩偶15個和雪容融玩偶5個，已知購進1個冰墩墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元，銷售時每個冰墩墩玩偶可獲利28元，每個雪容融玩偶可獲利20元．(1)求兩種玩偶的進貨價分別是多少？(2)第二次小雅進貨時，網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進貨數(shù)量的1.5倍．小雅計劃購進兩種玩偶共40個，應(yīng)如何設(shè)計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？【答案】(1)冰墩墩進價為72元/個，雪容融進價為64元/個(2)冰墩墩進貨24個，雪容融進貨16個時，利潤取得最大值為992元【提示】（1）設(shè)冰墩墩進價為元，雪容融進價為元，列二元一次方程組求解；（2）設(shè)冰墩墩進貨個，雪容融進貨個，利潤為元，列出與的函數(shù)關(guān)系式，并提示的取值范圍，從而求出的最大值．（1）解：設(shè)冰墩墩進價為元/個，雪容融進價為元/個．得，解得．∴冰墩墩進價為72元/個，雪容融進價為64元/個．（2）設(shè)冰墩墩進貨個，雪容融進貨個，利潤為元，則，∵，所以隨增大而增大，又因為冰墩墩進貨量不能超過雪容融進貨量的1.5倍，得，解得．∴當時，最大，此時，．答：冰墩墩進貨個，雪容融進貨個時，獲得最大利潤，最大利潤為元．【名師點撥】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．考查題型八利用二元一次方程組解決古代程問題題型8．（2022·湖北武漢·中考真題）幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，例如圖（1）就是一個幻方．圖（2）是一個未完成的幻方，則與的和是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【提示】根據(jù)題意設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，然后列出等式化簡求值即可．【詳解】解：設(shè)如圖表所示：根據(jù)題意可得：x+6+20=22+z+y，整理得：x-y=-4+z，x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，整理得：x=-2+z，y=2z-22，∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，解得：z=12，∴x+y=3z-24=12故選：D．【名師點撥】題目主要考查方程的應(yīng)用及有理數(shù)加法的應(yīng)用，理解題意，列出相應(yīng)方程等式然后化簡求值是解題關(guān)鍵．題型8-1．（2022·四川成都·中考真題）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個題目：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，四文錢買苦果七，十一文錢九個甜，甜苦兩果各幾個？其大意是：用九百九十九文錢共買了一千個苦果和甜果，其中四文錢可以買苦果七個，十一文錢可以買甜果九個．問：苦、甜果各有幾個？設(shè)苦果有個，甜果有個，則可列方程組為（

）A．B．C． D．【答案】A【提示】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題．【詳解】解：設(shè)苦果有個，甜果有個，由題意可得，故選：A．【名師點撥】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組的有關(guān)知識，正確找到相等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．題型8-2．（2022·四川達州·中考真題）中國清代算書《御制數(shù)理精蘊》中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（‘兩’為我國古代貨幣單位）；馬二匹、牛五頭，共價三十八兩，閥馬、牛各價幾何？”設(shè)馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可列方程組為（

）A． B． C． D．【答案】B【提示】設(shè)馬每匹x兩，牛每頭y兩，由“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩”可得，根據(jù)“馬二匹、牛五頭，共價三十八兩，”可得，即可求解．【詳解】解：設(shè)馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可得故選B【名師點撥】本題考查了列二元一次方程組，理解題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．題型8-3．（2022·四川眉山·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊三，直金十二兩．問牛、羊各直金幾何？”題目大意是：5頭牛、2只羊共19兩銀子；2頭牛、3只羊共12兩銀子，每頭牛、每只羊各多少兩銀子？設(shè)1頭牛兩銀子，1只羊兩銀子，則可列方程組為（

）A． B． C． D．【答案】A【提示】根據(jù)“5頭牛、2只羊共19兩銀子；2頭牛、3只羊共12兩銀子”，得到兩個等量關(guān)系，即可列出方程組．【詳解】解：設(shè)1頭牛兩銀子，1只羊兩銀子，由題意可得：，故選：A．【名師點撥】本題考查由實際問題抽象初二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．題型8-4．（2022·貴州貴陽·中考真題）“方程”二字最早見于我國《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第八章名為“方程”如：從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)，的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項，即可表示方程，則表示的方程是_______．【答案】【提示】根據(jù)橫著的算籌為10，豎放的算籌為1，依次表示的系數(shù)與等式后面的數(shù)字，即可求解．【詳解】解：表示的方程是故答案為：【名師點撥】本題考查了列二元一次方程組，理解題意是解題的關(guān)鍵．題型8-5．（2022·江蘇徐州·中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，問禽、獸各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸與鳥共有76個頭與46只腳．問獸、鳥各有多少？根據(jù)譯文，解決下列問題：(1)設(shè)獸有x個，鳥有y只，可列方程組為；(2)求獸、鳥各有多少．【答案】(1)(2)獸有8只，鳥有7只．【提示】（1）根據(jù)“獸與鳥共有76個頭與46只腳”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組；（2）解方程組，即可得出結(jié)論．（1）解：∵獸與鳥共有76個頭，∴6x+4y=76；∵獸與鳥共有46只腳，∴4x+2y=46．∴可列方程組為．故答案為：；（2）解：原方程組可化簡為，由②可得y=23-2x③，將③代入①得3x+2（23-2x）=38，解得x=8，∴y=23-2x=23-2×8=7．答：獸有8只，鳥有7只．【名師點撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．考查題型九利用二元一次方程組解決其它問題題型9．（2022·浙江舟山·中考真題）上學(xué)期某班的學(xué)生都是雙人同桌，其中男生與女生同桌，這些女生占全班女生的，本學(xué)期該班新轉(zhuǎn)入4個男生后，男女生剛好一樣多，設(shè)上學(xué)期該班有男生x人，女生y人，根據(jù)題意可得方程組為（

）A． B． C． D．【答案】A【提示】設(shè)上學(xué)期該班有男生x人，女生y人，則本學(xué)期男生有（x+4）人，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解．【詳解】解：設(shè)上學(xué)期該班有男生x人，女生y人，則本學(xué)期男生有（x+4）人，根據(jù)題意得：．故選：A【名師點撥】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，明確題意，準確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型9-1．（2022·廣東深圳·中考真題）張三經(jīng)營了一家草場，草場里面種植上等草和下等草．他賣五捆上等草的根數(shù)減去11根，就等于七捆下等草的根數(shù)；賣七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆下等草的根數(shù)．設(shè)上等草一捆為根，下等草一捆為根，則下列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【提示】設(shè)上等草一捆為根，下等草一捆為根，根據(jù)“賣五捆上等草的根數(shù)減去11根，就等于七捆下等草的根數(shù)；賣七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆下等草的根數(shù)．”列出方程組，即可求解．【詳解】解：設(shè)上等草一捆為根，下等草一捆為根，根據(jù)題意得：．故選：C【名師點撥】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，明確題意，準確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型9-2．（2022·浙江衢州·中考真題）某班環(huán)保小組收集廢舊電池，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表．問1節(jié)5號電池和1節(jié)7號電池的質(zhì)量分別是多少？設(shè)1節(jié)5號電池的質(zhì)量為克，1節(jié)7號電池的質(zhì)量為克，列方程組，由消元法可得的值為（

）5號電池（節(jié)）7號電池（節(jié)）總質(zhì)量（克）第一天2272第二天3296A．12 B．16 C．24 D．26【答案】C【提示】根據(jù)表格建立二元一次方程組，用消元法即可得到答案．【詳解】解：設(shè)1