有理式因式分解

主要內(nèi)容一

多項(xiàng)式的因式分解基本概念二

提公因式的因式分解三

公式法的因式分解四

因式分解提高篇

把寫成的形式，叫做把因式分解

概念：

一般地，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．(也叫分解因式）即：一個(gè)多項(xiàng)式→幾個(gè)整式的積一多項(xiàng)式的因式分解的基本概念整數(shù)乘法3×7=2121=3×7因數(shù)分解類比體驗(yàn)我們把x+1叫做x2－1的一個(gè)因式，同理，x－1也是x2－1

的一個(gè)因式．領(lǐng)悟概念x+1,x-1都叫做多項(xiàng)式x2－1的一個(gè)因式，x,x－y都叫做多項(xiàng)式x2－xy

的一個(gè)因式．概念1：一般地，對(duì)于兩個(gè)整數(shù)f與g，如果有多項(xiàng)式h，使得h=f·g,那么f,g都叫做h的一個(gè)因式。3x(x-1)=__,3x2-3x3x2-3x=_________3x(x-1)整式的積多項(xiàng)式多項(xiàng)式整式的積整式乘法因式分解因式分解與整式乘法有什么關(guān)系？因式分解與整式乘法是互逆過程例1.下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是，為什么？解（1）：是.解（2）：不是.試一試1:判斷下列各式是不是因式分解1.4.2.3.因式分解:

一個(gè)多項(xiàng)式幾個(gè)整式的乘積下列各式從左邊到右邊的變形是因式分解的用Yes，否則用No。（１）（２）（３）（４）（５）（６）（）（）（）（）（）（）YesNoNoNoYesNo判一判23、比較下面的兩個(gè)等式，然后回答后面的問題：

A、

B、（1）、從左到右看，A式是________,B式是_______（2）、_______是把幾個(gè)整式的積展開成一個(gè)多項(xiàng)式（3）、_______是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式（4）、整式乘法和因式分解都是_____變形，但變形的過程正好_______。整式乘法整式乘法因式分解因式分解恒等互逆注意：1.因式分解必須在整式范圍內(nèi)進(jìn)行，否則不屬于因式分解；2.利用整式的乘法可以驗(yàn)證因式分解是否正確.3.因式分解必須分解到不能再分解為止例2.檢驗(yàn)下列因式分解是否正確.分析：檢驗(yàn)因式分解是否正確，只要看等式右邊的幾個(gè)多項(xiàng)式的積與左邊的多項(xiàng)式是否相等.①②有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因數(shù)為進(jìn)而很容易把分?jǐn)?shù)約分：分子與分母同除以6，得例如

同樣地，每一個(gè)多項(xiàng)式可以表示成若干個(gè)最基本的多項(xiàng)式的乘積的形式，從而為許多問題的解決架起了橋梁．例如，以后要學(xué)習(xí)的分式的約分，解一元二次方程等，常需要把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.為什么要把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解呢？本課小結(jié)這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了因式分解的概念一般地，把一個(gè)含字母的多項(xiàng)式表示成若干個(gè)均含字母的多項(xiàng)式的乘積的形式，稱為把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解f=gh要明白因式分解其實(shí)是以前所學(xué)單項(xiàng)式,多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算以下幾個(gè)多項(xiàng)式有什么共同的特征：（2）ma＋mb（3）cx－cy＋cz共同特征：各式中的每一項(xiàng)都含有一個(gè)相同的因數(shù)或因式想一想二

提公因式法多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。（1）2πR＋2πr（2）ma＋mb（1）2πR＋2π（3）cx－cy＋cz過關(guān)秘密武器：正確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)公因式的關(guān)鍵是：公因式的系數(shù)是各項(xiàng)整數(shù)系數(shù)的最大公約數(shù)。定系數(shù)：取各項(xiàng)的相同的字母。相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的，即相同字母最低次冪。定字母：定指數(shù)：多項(xiàng)式公因式8x+12y8ax+12ay8a3bx+12a2b2y2x2+6x3合作探究用心觀察，找出下列多項(xiàng)式的公因式44a4a2b2x2←不能漏掉例1：

8ab-12abc+ab323=ab(8ab-12bc+1)22×解:原式=ab當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)和公因式相同時(shí)，提公因式后剩余的項(xiàng)是1知識(shí)儲(chǔ)備(8a2b-12b2c)知識(shí)儲(chǔ)備例2：2a(b+c)-3(b+c)解：原式=(b+c)注意：公因式既可以是一個(gè)單項(xiàng)式的形式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式的形式整體思想是數(shù)學(xué)中一種重要而且常用的思想方法(2a-3)例3：–

24x3+12x2–28x解：原式==當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)成為正數(shù)，在提出“”時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。知識(shí)儲(chǔ)備小亮解的有誤嗎？試說明理由，并給出正解當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)和公因式相同時(shí)，提公因式后剩余的項(xiàng)是1錯(cuò)誤注意：某項(xiàng)提出莫漏1。解：原式=x(3x-6y)把3x2-6xy+x分解因式正確解：原式=3x.x-6y.x+1.x=x(3x-6y+1)若多項(xiàng)式(a+b)xy+(a+b)x要分解因式,則要提取的公因式是

.把分解因式后得_________________

應(yīng)用拓展先分解因式,再求解：已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.解：三公式法利用完全平方公式因式分解利用平方差公式因式分解復(fù)習(xí)回顧還記得學(xué)過的兩個(gè)最基本的乘法公式嗎？平方差公式：完全平方公式：計(jì)算：=(999+1)(999–1)此處運(yùn)用了什么公式?新課引入試計(jì)算：9992–112=1000×998=998000平方差公式逆用因式分解:（1）x2–;（2）y2–4252252=(x+2)(x–2)=(y+5)(y–5)

這些計(jì)算過程中都逆用了平方差公式即：此即運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解用文字表述為：

兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。

嘗試練習(xí)(對(duì)下列各式因式分解)：①a2–9=___________________②49–n2=__________________③5s2–20t2=________________④100x2–9y2=_______________(a+3)(a–3)(7+n)(7–n)5(s+2t)(s–2t)(10x+3y)(10x–3y)=y2–4x2=(y+2x)(y–2x)=(x2)2–12

=(x2+1)(x2–1)②–4x2+y2③x4–1(x2–1)=–(4x2–y2)=–(2x+y)(2x–y)(x+1)(x–1)將前面②~⑥各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)因式分解一定要分解徹底!④x2–x6=x2–(x3)2=(x+x3)(x–x3)=x·(1+x2)·x·(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)將前面②~⑥各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)④x2–x6=x2(1–x4)=x2

(1+x2)(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)更簡(jiǎn)便！

在我們現(xiàn)學(xué)過的因式分解方法中，先考慮提取公因式，再考慮用公式法。⑤6x3–54xy2=6x(x2–9y2)=6x

(x+3y)(x–3y)⑥(x+p)2–(x–q)2=[(x+p)+(x–q)]·[(x+p)–(x–q)]=(2x+p–q)(p+q)將前面②~⑥各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)YXYXYX復(fù)習(xí)回顧還記得前面學(xué)的完全平方公式嗎？計(jì)算：新課引入試計(jì)算：9992+1998+12×999×1=(999+1)2

=106此處運(yùn)用了什么公式?完全平方公式逆用

就像平方差公式一樣，完全平方公式也可以逆用，從而進(jìn)行一些簡(jiǎn)便計(jì)算與因式分解。即：這個(gè)公式可以用文字表述為：

兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的兩倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方。

牛刀小試(對(duì)下列各式因式分解)：①a2+6a+9=_________________②n2–10n+25=_______________③4t2–8t+4=_________________④4x2–12xy+9y2=_____________(a+3)2(n–5)24(t–1)2(2x–3y)2完全平方式的特點(diǎn)：

1、必須是三項(xiàng)式（或可以看成三項(xiàng)的）

2、有兩個(gè)同號(hào)的平方項(xiàng)

3、有一個(gè)乘積項(xiàng)（等于平方項(xiàng)底數(shù)的±2倍）簡(jiǎn)記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央。將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進(jìn)行因式分解例(2)①16x2+24x+9②–4x2+4xy–y2④4x2–8xy+4y2=(4x+3)2=–(4x2–4xy+y2)=–(2x–y)2=4(x2–2xy+y2)=4(x–y)2–2a2+⑥(p+q)2–12(p+q)+36將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進(jìn)行因式分解例(2)a41=(a2–1)2=(a+1)2(a–1)2=[(a+1)

(a–1)]2=(p+q–6)2XXX四因式分解（高級(jí)篇）——因式分解的其他常用方法知識(shí)結(jié)構(gòu)因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分組分解法拆項(xiàng)添項(xiàng)法配方法待定系數(shù)法求根法……一、提公因式法

只需找到多項(xiàng)式中的公因式，然后用原多項(xiàng)式除以公因式，把所得的商與公因式相乘即可。往往與其他方法結(jié)合起來用。提公因式法隨堂練習(xí)：1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合。接下來是一些常用的乘法公式，可以逆用進(jìn)行因式分解。常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)及

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導(dǎo)這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推導(dǎo)過程不要與(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆公式法隨堂練習(xí)：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合。三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個(gè)公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我們可以用它進(jìn)行因式分解（適用于二次三項(xiàng)式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常數(shù)項(xiàng)3=1×3而一次項(xiàng)系數(shù)4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暫且稱為p、q型因式分解例2：因式分解x2–7x+10可以看出常數(shù)項(xiàng)10=(–2)×(–5)而一次項(xiàng)系數(shù)–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)這個(gè)公式簡(jiǎn)單的說，就是把常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)數(shù)的乘積，而這兩個(gè)數(shù)的和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)十字相乘法①隨堂練習(xí)：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2。這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項(xiàng)式）。既然是二次式，就可以寫成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

所以，需要將二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別拆成兩個(gè)數(shù)的積，而這四個(gè)數(shù)中，兩個(gè)數(shù)的積與另外兩個(gè)數(shù)的積之和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)，那么因式分解就成功了。=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x2–6xy–8y2。這里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)簡(jiǎn)記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中。十字相乘法②隨堂練習(xí)：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a

(b–c)+d

(b–c)=(a+d)(b–c)還有別的解法嗎？四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b

(a+d)–c

(a+d)=(a+d)(b–c)例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=

(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式分組分解法隨堂練習(xí)：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1回顧例題：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1–x2)=(x+1)[(x2+1)2–x2]=

(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)五*、拆項(xiàng)添項(xiàng)法怎么結(jié)果與剛才不一樣呢？因?yàn)樗€可以繼續(xù)因式分解

拆項(xiàng)添項(xiàng)法對(duì)數(shù)學(xué)能力有著更高的要求，需要觀察到多項(xiàng)式中應(yīng)拆哪一項(xiàng)使得接下來可以繼續(xù)因式分解，要對(duì)結(jié)果有一定的預(yù)見性，嘗試較多，做題較繁瑣。最好能根據(jù)現(xiàn)有多項(xiàng)式內(nèi)的項(xiàng)猜測(cè)可能需要使用的公式，有時(shí)要根據(jù)形式猜測(cè)可能的系數(shù)。五*、拆項(xiàng)添項(xiàng)法例因式分解x4+4解：原式

=x4

+

4x2+4–4x2=(x2+2)2–(2x)2=(x2+2x+2)(x2–2x+2)都是平方項(xiàng)猜測(cè)使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆項(xiàng)添項(xiàng)法隨堂練習(xí)：1）x4–23x2y2+y42）(m2–1)(n2–1)+4mn配方法

配方法是一種特殊的拆項(xiàng)添項(xiàng)法，將多項(xiàng)式配成完全平方式，再用平方差公式進(jìn)行分解。因式分解a2–b2+4a+2b+3。解：原式=(a2+4a+4)–(b2–2b+1)=(a+2)2–(b–1)2=(a+b+1)(a–b+3)配方法(拆項(xiàng)添項(xiàng)法)分組分解法完全平方公式平方差公式