( 線性代數(shù))線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

線性方程組解的結(jié)構(gòu)(一)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)(二)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)(一)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組的矩陣形式齊次線性方程組解的性質(zhì)

(1)如果

1

2是齊次線性方程組Ax

0的兩個解

則

1

2也是它的解

因為

1

2都是方程組Ax

0的解

所以

A

1

0

A

2

0

證

即

1

2是方程組Ax

0的解

A(

1

2)

A

1

A

2

0

齊次線性方程組解的性質(zhì)

(1)如果

1

2是齊次線性方程組Ax

0的兩個解

則

1

2也是它的解

(2)如果

是齊次線性方程組Ax

0的解

則c

也是它的解(c為常數(shù))

即c

是方程組Ax

0的解

證

由A

0

得

A(c

)

c(A

)

0齊次線性方程組解的性質(zhì)

(1)如果

1

2是齊次線性方程組Ax

0的兩個解

則

1

2也是它的解

(2)如果

是齊次線性方程組Ax

0的解

則c

也是它的解(c為常數(shù))

(3)如果

1

2

s都是齊次線性方程組Ax

0的解

則其線性組合

c1

1

c2

2

cs

s也是它的解

其中c1

c2

cs都是任意常數(shù)

定義3

10(基礎解系)

如果

1

2

s是齊次線性方程組Ax

0的解向量組的一個極大無關組

則稱

1

2

s是方程組Ax

0的一個基礎解系

定理3

13(基礎解系中解向量的個數(shù))

如果齊次線性方程組Ax

0的系數(shù)矩陣A的秩r(A)

r

n

則方程組的基礎解系存在

且每個基礎解系中

恰含有n

r個解

如果一個齊次線性方程組有非零解

則它有基礎解系

方程組的全部解就可以用基礎解系的線性組合來表示

對增廣矩陣(A|0)施以初等行變換

得

解

即原方程組與下面的方程組同解

其中x3

x4為自由未知量

與原方程組同解的方程組為

解

(其中x3

x4為自由未知量)

1

2就是所給方程組的一個基礎解系

對增廣矩陣(A|0)施以初等行變換

得

解

即原方程組與方程組同解

其中x3

x4

x5為自由未知量

與原方程組同解的方程組為

解

(其中x3

x4

x5為自由未知量)

讓自由未知量(x3

x4

x5)T分別取值

(1

0

0)T

(0

1

0)T

(0

0

1)T

得方程組的一個基礎解系

1

(

2

1

1

0

0)T

1

(2

1

0

0

1)T

2

(

1

3

0

1

0)T

因此

方程組的全部解為

c1(

2

1

1

0

0)T

c2(

1

3

0

1

0)T

c3(2

1

0

0

1)T其中c1

c2

c3為任意常數(shù)

因為r(A)

r

所以方程組Ax

0的任一基礎解系所含向量個數(shù)為n

r個

例3

設矩陣A

(aij)m

n

B

(bij)n

s滿足AB

O

并且r(A)

r

試證

r(B)

n

r

設矩陣B

(

1

2

s)

其中

j

(b1j

b2j

bnj)T(j

1

2

s)則AB

A(

1

2

s)

(A

1

A

2

A

s)

證

由AB

O可得

A

j

0(j

1

2

s)

考慮齊次線性方程組Ax

0

其中

x

(x1

x2

xn)T不難看出

矩陣B的列向量

1

2

s都是方程組Ax

0的解向量

r(B)

r(

1

2

s)

n

r由此可得(二)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組及其導出組取b

0

得到的齊次線性方程組

Ax

0稱為非齊次線性方程組Ax

b的導出組

非齊次線性方程組解的性質(zhì)(1)如果

是非齊次線性方程組Ax

b的一個解

是其導出組Ax

0的一個解

則

也是方程組Ax

b的一個解

因為

是非齊次線性方程組Ax

b的一個解

所以有A

b

同理A

0

則由

證

可知

是非齊次線性方程組Ax

b的解

A(

)

A

A

b

0

b非齊次線性方程組解的性質(zhì)(1)如果

是非齊次線性方程組Ax

b的一個解

是其導出組Ax

0的一個解

則

也是方程組Ax

b的一個解

(2)如果

1

2是非齊次線性方程組Ax

b的兩個解

則

1

2是其導出組Ax

0的解

由A

1

b

A

2

b

得

證

即

1

2為導出組Ax

0的解

A(

1

2)

A

1

A

2

b

b

0

非齊次線性方程組解的性質(zhì)(1)如果

是非齊次線性方程組Ax

b的一個解

是其導出組Ax

0的一個解

則

也是方程組Ax

b的一個解

(2)如果

1

2是非齊次線性方程組Ax

b的兩個解

則

1

2是其導出組Ax

0的解

定理3

14(通解的結(jié)構(gòu))

設

是非齊次線性方程組Ax

b的一個解

是其導出組Ax

0的全部解

則x

是非齊次線性方程組Ax

b的全部解

求非齊次線性方程組全部解的方法求出它的一個解

并求出導出組的基礎解系

1

2

n

r

把方程組的全部解表示為

x

c1

1

c2

2

cn

r

n

r

(c1

c2

cn

r為任意常數(shù))

對增廣矩陣(A|b)施以初等行變換

得

解

即原方程組與方程組

同解

其中x3

x4為自由未知量

與原方程組同解的方程組為

解

(x3

x4為自由未知量)

讓自由未知量(x3

x4)T取值(0

0)T

得方程組的一個解

(13/7

4/7

0

0)T與原方程組的導出組同解的方程組為

(x3

x4為自由未知量)

對自由未知量(x3

x4)T取值(1

0)T

(0

1)T

即得導出組的基礎解系

1

(

3/7

2/7

1

0)T

2