（線性代數(shù)）行列式

線性代數(shù)

歷史上,行列式因線性方程組的求解而提出

G.W.Leibniz[德](1646.7.1~1716.11.14)

S.Takakazu[日]

(1642~1708.10.24)

行列式（Determinant）1.1二階與三階行列式

考慮用消元法解二元一次方程組

(a11a22-a12a21)x2=a11b2-b1a21

(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2第1節(jié)行列式的概念用a22和a12分別乘以兩個(gè)方程的兩端，然后兩個(gè)方程相減，消去x2得

同理，消去x1得二階行列式

當(dāng)時(shí)，方程組的解為當(dāng)時(shí)，方程組的解為為便于敘述和記憶，

引入符號(hào)D=D1=稱D為二階行列式.按照二階行列式定義可得D2=于是，當(dāng)D≠0時(shí)，方程組的解為j=1,2,3.類似引入符號(hào)，其中D1,

D2,D3分別為將D的第1、2、3列換為常數(shù)項(xiàng)后得到的行列式.三階行列式

求解三元方程組稱D為三階行列式.25431是一個(gè)5級(jí)排列.如，3421是4級(jí)排列；例1．寫出所有的3級(jí)全排列.

解：所有的3級(jí)排列為：321.312，231，213，132，123，1.2

排列定義：n個(gè)自然數(shù)1,2,…,n按一定的次序排成的一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列，記為i1i2…in.顯然，n級(jí)排列共有個(gè)n!.其中，排列12…n稱為自然排列.

342

1逆序數(shù)的計(jì)算方法(向前看法)43

21從而得

τ(3421)=5.5逆序及逆序數(shù)定義在一個(gè)n級(jí)排列i1i2

in中，若一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小數(shù)的前面，則稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列中逆序的總數(shù)，稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為τ(i1i2

in).奇排列與偶排列逆序數(shù)是奇數(shù)的排列，稱為奇排列.逆序數(shù)是偶數(shù)或0的排列，稱為偶排列.

如3421是奇排列，1234是偶排列，因?yàn)棣?3421)=5.因?yàn)棣?1234)=0.逆序及逆序數(shù)定義在一個(gè)n級(jí)排列i1i2

in中，若一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小數(shù)的前面，則稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列中逆序的總數(shù)，稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為τ(i1i2

in).定義符號(hào)稱為n階行列式，它表示代數(shù)和

其中和式中的排列j1

j2

jn要取遍所有n級(jí)排列.元素aij列標(biāo)行標(biāo)1.3

n階行列式n階行列式定義a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

(3)n階行列式共有n!項(xiàng).

(-1)τ(j1

j2

jn).之前的符號(hào)是n個(gè)元素的乘積.(1)在行列式中,項(xiàng)是取自不同行不同列的

行列式有時(shí)簡(jiǎn)記為|a

ij|.一階行列式|a|就是a.

=說明：(2)項(xiàng)以三階行列式為例

每一項(xiàng)都是三個(gè)元素的乘積.每一項(xiàng)的三個(gè)元素都位于不同的行和列.行列式的6項(xiàng)恰好對(duì)應(yīng)于1,2,3的6種排列.各項(xiàng)符號(hào)與對(duì)應(yīng)的列標(biāo)的排列的奇偶性有關(guān).a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33=a11

a22

a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32

a12

a21

a33

a13

a22

a31

.a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33j1

j2

j3的逆序數(shù)對(duì)所有不同的三級(jí)排列j1

j2

j3求和

寫出三階行列式的一般形式a14a23a31a44a14a23a31a44

a14a23a31a42

a14a23a31a42再如，四階行列式a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

(-1)τ(4312)

a14a23a31a42為行列式中的一項(xiàng).

表示的代數(shù)和中有4!=24項(xiàng).a14a23a31a42取自不同行不同列,

的列標(biāo)排列為4312不是行列式中的一項(xiàng).中有兩個(gè)取自第四列的元素，所以它(為奇排列)，D=行列式計(jì)算

解：根據(jù)行列式定義例1．計(jì)算2

階行列式D=注：3階行列式的計(jì)算類似，略.

例2．計(jì)算n階下三角形行列式D的值其中aii

0(i=1,2,

,n).D=a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

解：為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零，D=(-1)τ(12

n)a11a22a33

ann第一行只能取a11，第三行只能取a33，第二行只能取a22，第n

行只能取ann.

，

這樣不為零的乘積項(xiàng)只有a11a22a33

ann，所以=a11a22a33

ann.

例3．計(jì)算n階行列式D的值D=00…0bn………bn-1*00…**b1*…**

0b2…**

解：為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零，D=(-1)τ(nn-121)b1b2b3

bn第一行只能取b1，第n-1行只能第二行只能取b2，第n

行只能取bn.

，

這樣不為零的乘積項(xiàng)只有b1b2b3

bn，所以取bn-1，下三角形行列式的值：a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

=a11a22a33

ann.上三角形行列式的值：a1100…0a12a220…0a13a23a33…0a