2023-2024學(xué)年人教B版選擇性必修第一冊 2-4　曲線與方程 學(xué)案

2．4曲線與方程新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系數(shù)學(xué)抽象2.通過具體實(shí)例理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念直觀想象笛卡爾是被譽(yù)為“近代科學(xué)的始祖”“近代哲學(xué)之父”，是17世紀(jì)的歐洲哲學(xué)界和科學(xué)界最有影響的巨匠之一，他在哲學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)、心理學(xué)、神學(xué)等方面都有研究且成就頗高．其中有一個很有名的故事，笛卡爾給他的戀人寫的一封信內(nèi)容只有短短的一個公式：r＝a(1－sinθ)．你知道這是何意？其實(shí)這就是笛卡爾的愛心函數(shù)，圖形是心形線(如圖所示)，是一個圓上的固定一點(diǎn)在它繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周滾動時所形成的軌跡，因其形狀像心形而得名．[問題]你能舉例說出一條曲線和它對應(yīng)的方程有怎樣的關(guān)系嗎？知識點(diǎn)曲線與方程1．曲線的方程、方程的曲線在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C與方程F(x，y)＝0之間具有如下關(guān)系：(1)曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上．則稱曲線C為方程F(x，y)＝0的曲線，方程F(x，y)＝0為曲線C的方程．2．求曲線的方程的步驟1．從集合角度怎樣理解曲線與方程的關(guān)系？提示：設(shè)A是曲線C上的所有點(diǎn)組成的點(diǎn)集，B是所有以方程F(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的點(diǎn)集，那么集合A與集合B具有一一對應(yīng)關(guān)系．即A中任一元素在B中都有唯一一個元素與之對應(yīng)，并且B中任一元素在A中都有唯一一個元素與之對應(yīng)．2．怎樣判斷曲線F(x，y)＝0與G(x，y)＝0是否有交點(diǎn)？提示：轉(zhuǎn)化為方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F（x，y）＝0，,G（x，y）＝0))是否有實(shí)數(shù)解．1．方程(3x－y＋1)(y－eq\r(1－x2))＝0表示的曲線為()A．兩條線段 B．一條直線和半個圓C．一條線段和半個圓 D．一條射線和半個圓解析：C由1－x2≥0，解得－1≤x≤1.因?yàn)?3x－y＋1)(y－eq\r(1－x2))＝0，所以3x－y＋1＝0或y＝eq\r(1－x2).故3x－y＋1＝0表示一條線段．因?yàn)閥＝eq\r(1－x2)，所以x2＋y2＝1，y≥0，即y＝eq\r(1－x2)表示以原點(diǎn)為圓心的半個圓．故選C．2．平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)到兩坐標(biāo)軸距離之差等于1的點(diǎn)的軌跡方程是()A．|x|－|y|＝1 B．|x－y|＝1C．||x|－|y||＝1 D．|x±y|＝1解析：C設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由題意可知，平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)到兩坐標(biāo)軸距離之差等于1的點(diǎn)的軌跡方程是||x|－|y||＝1，故選C．3．曲線x2＋y2＋2x＝0與曲線y＋|x|＝0的交點(diǎn)個數(shù)是________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x＝0，,y＋|x|＝0))可得x2＋x＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))所以交點(diǎn)個數(shù)是2.答案：2題型一曲線與方程關(guān)系的應(yīng)用【例1】(鏈接教科書第124頁例1)分析下列曲線上的點(diǎn)與相應(yīng)方程的關(guān)系：(1)過點(diǎn)A(2，0)平行于y軸的直線與方程|x|＝2之間的關(guān)系；(2)與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)與方程xy＝5之間的關(guān)系；(3)第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)與方程x＋y＝0之間的關(guān)系．解(1)過點(diǎn)A(2，0)平行于y軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不一定都在過點(diǎn)A(2，0)且平行于y軸的直線上．因此，|x|＝2不是過點(diǎn)A(2，0)平行于y軸的直線的方程．(2)與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)的坐標(biāo)不一定滿足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解為坐標(biāo)的點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸的距離之積一定等于5.因此，與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)的軌跡方程不是xy＝5.(3)第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在第二、四象限兩軸夾角的平分線上．因此，第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)的軌跡方程是x＋y＝0.|通性通法|判定曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系的策略(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解，即直觀地說“點(diǎn)不比解多”，稱為純粹性；(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，即直觀地說“解不比點(diǎn)多”，稱為完備性．[注意]只有點(diǎn)和解一一對應(yīng)，才能說曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程．1．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲線是()解析：D因?yàn)閤2＋y2＝1表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓，又xy<0，說明圖像在二、四象限，故選D．2．已知條件甲：曲線C是方程f(x，y)＝0的曲線，條件乙：曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解，則甲是乙的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：A因?yàn)槿羟€是方程f(x，y)＝0的曲線，則曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的根；但若曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的根，曲線不一定是方程f(x，y)＝0的曲線．故甲是乙的充分不必要條件．故選A．題型二由方程研究曲線的性質(zhì)【例2】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如圖)．給出下列三個結(jié)論：①曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過eq\r(2)；②曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3；③曲線C恰好經(jīng)過6個整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))．其中，所有正確結(jié)論的序號是()A．①② B．①③C．②③ D．①②③解析因?yàn)閤2＋y2＝1＋|x|y≤1＋|xy|≤1＋eq\f(x2＋y2,2)，所以x2＋y2≤2，故曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過eq\r(2)，①正確；當(dāng)x＝0時，y＝±1，當(dāng)x＝±1時，y＝0或1，故曲線過(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(1，1)，(－1，0)，(－1，1)6個整數(shù)點(diǎn)，③正確；當(dāng)把曲線的6個整數(shù)點(diǎn)連接后，可求出矩形加三角形的面積和為3，顯然曲線面積大于3，故②錯誤．答案B|通性通法|討論曲線的幾何性質(zhì)一般包括以下幾個方面(1)研究曲線的組成和范圍，即看一下所求的曲線是由哪一些基本的曲線組成的，在某些情況下可以根據(jù)方程求得方程所表示曲線的大致范圍；(2)研究曲線與坐標(biāo)軸是否相交，如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)榍€與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是確定曲線位置的關(guān)鍵點(diǎn)；(3)研究曲線的對稱性(關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn))；(4)研究曲線的變化趨勢，即y隨x的增大或減小的變化情況；(5)根據(jù)方程畫出曲線的大致形狀，在畫曲線時，可充分利用曲線的對稱性，通過列表、描點(diǎn)的方法先畫出曲線在一個象限的圖像，然后根據(jù)對稱性畫出整條曲線．(多選)如圖A(2，0)，B(1，1)，C(－1，1)，D(－2，0)，eq\o(CD,\s\up8(︵))是以O(shè)D為直徑的圓上一段圓弧，eq\o(CB,\s\up8(︵))是以BC為直徑的圓上一段圓弧，eq\o(BA,\s\up8(︵))是以O(shè)A為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構(gòu)成曲線W.則下述正確的是()A．曲線W與x軸圍成的面積等于2πB．曲線W上有5個整點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))C．eq\o(CB,\s\up8(︵))所在圓的方程為x2＋(y－1)2＝1D．eq\o(CB,\s\up8(︵))與eq\o(BA,\s\up8(︵))的公切線方程為x＋y＝eq\r(2)＋1解析：BCD如圖所示，連接BC，過點(diǎn)C作CK⊥x軸于K，BL⊥x軸于L并取點(diǎn)E(0，2)．則面積S＝π＋2，故A錯誤；曲線W上有A，B，C，D，E5個整點(diǎn)，故B正確；eq\o(CB,\s\up8(︵))所在圓的圓心為(0，1)，半徑為1，故圓的方程為x2＋(y－1)2＝1，C正確；設(shè)eq\o(CB,\s\up8(︵))與eq\o(BA,\s\up8(︵))的公切線方程為y＝kx＋b，根據(jù)圖像知k<0，則eq\f(|k＋b|,\r(1＋k2))＝1，eq\f(|1－b|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－1，b＝eq\r(2)＋1，即x＋y＝eq\r(2)＋1，D正確；故選B、C、D．題型三求曲線方程角度一直接法求曲線方程【例3】(鏈接教科書第126頁例3)已知圓C：x2＋(y－3)2＝9，過原點(diǎn)作圓C的弦OP，求OP的中點(diǎn)Q的軌跡方程．解如圖所示，連接QC，因?yàn)镼是OP的中點(diǎn)，所以∠OQC＝90°.設(shè)Q(x，y)，由題意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋x2＋(y－3)2＝9，所以O(shè)P的中點(diǎn)Q的軌跡方程為x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,4)(去掉原點(diǎn))．|通性通法|直接法求軌跡方程的2種常見類型及解題策略直接法求軌跡方程，就是設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)，然后根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出x，y之間的關(guān)系并化簡．主要有以下兩類常見題型；(1)題目給出等量關(guān)系，求軌跡方程，可直接代入即可得出方程；(2)題中未明確給出等量關(guān)系，求軌跡方程．可利用已知條件尋找等量關(guān)系，得出方程．[注意]求出曲線的方程后要注意驗(yàn)證方程的純粹性和完備性．已知點(diǎn)A(－4，0)，B(－1，0)，動點(diǎn)M(x，y)滿足|MA|＝2|MB|，則動點(diǎn)M軌跡方程為()A．x2＋y2＝4 B．eq\f(x2,4)＋y2＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D．y2＝4x解析：A∵M(jìn)(x，y)，A(－4，0)，B(－1，0)，∴|MA|＝eq\r(（x＋4）2＋y2)，|MB|＝eq\r(（x＋1）2＋y2)，又∵動點(diǎn)M(x，y)滿足|MA|＝2|MB|，∴eq\r(（x＋4）2＋y2)＝2eq\r(（x＋1）2＋y2)，兩邊平方后可得x2＋8x＋16＋y2＝4x2＋8x＋4＋4y2，整理后可得x2＋y2＝4，故選A．角度二代入法求曲線方程【例4】已知動點(diǎn)M在曲線x2＋y2＝1上移動，M和定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程．解設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，∵P為MB的中點(diǎn)．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))又∵M(jìn)在曲線x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，∴P點(diǎn)的軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1.1．(變條件)本例中把條件“M和定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為P”改為“eq\o(MP,\s\up6(―→))＝2eq\o(PB,\s\up6(―→))”，求P點(diǎn)的軌跡方程．解：設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則eq\o(MP,\s\up6(―→))＝(x－x0，y－y0)，eq\o(PB,\s\up6(―→))＝(3－x，－y)，由eq\o(MP,\s\up6(―→))＝2eq\o(PB,\s\up6(―→))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－x0＝（3－x）×2，,y－y0＝－2y，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝3x－6，,y0＝3y，))又∵M(jìn)在曲線x2＋y2＝1上，∴(3x－6)2＋9y2＝1，∴點(diǎn)P的軌跡方程為(3x－6)2＋9y2＝1.2．(變條件)本例中把條件“M和定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為P”改為“一動點(diǎn)P和定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為M”，試求動點(diǎn)P的軌跡方程．解：設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，∵M(jìn)為PB的中點(diǎn)．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x＋3,2)，,y0＝\f(y,2)，))又∵M(jìn)在曲線x2＋y2＝1上，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(2)＝1，即(x＋3)2＋y2＝4，∴P點(diǎn)軌跡方程為(x＋3)2＋y2＝4.|通性通法|代入法求解曲線方程的步驟(1)設(shè)動點(diǎn)P(x，y)，相關(guān)動點(diǎn)M(x0，y0)；(2)利用條件求出兩動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝f（x，y），,y0＝g（x，y）；))(3)代入相關(guān)動點(diǎn)的軌跡方程；(4)化簡、整理，得所求軌跡方程．1．下列四個圖形中，圖形下面的方程是圖形中曲線的方程的是()解析：D對于A，點(diǎn)(0，－1)滿足方程，但不在曲線上，排除A；對于B，點(diǎn)(1，－1)滿足方程，但不在曲線上，排除B；對于C，曲線上第三象限的點(diǎn)，由于x＜0，y＜0，不滿足方程，排除C，故選D．2．若M(1，2)在曲線x2＋ay2＝2上，則a的值為()A．eq\f(1,4) B．4C．eq\f(1,3) D．3解析：A因?yàn)镸(1，2)在曲線x2＋ay2＝2上，代入曲線方程可得a＝eq\f(1,4).3．方程eq\r(x－2)＋(y＋2)2＝0表示的圖形是()A．圓 B．兩條直線C．一個點(diǎn) D．兩個點(diǎn)解析：C由已知得eq\b\lc\{(\