2022-2023學(xué)年江蘇省淮安市高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省淮安市高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角和的正弦公式計算可得；【詳解】解：故選：C2．在中，A＝30°，C＝45°，c＝，則a的值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】由正弦定理即可求解.【詳解】解：因為在中，A＝30°，C＝45°，c＝，所以由正弦定理可得，即，故選：B.3．已知，滿足：，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先對兩邊平方化簡求出的值，從而可求出的值【詳解】解：因為，，，，所以，，得，所以，故選：D4．圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為“圭”）.當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.圖2是一個根據(jù)北京的地理位置設(shè)計的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角（即∠ABC）為29.5°，夏至正午太陽高度角（即∠ADC）為76.5°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a，則表高（即AC的長）為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理結(jié)合條件即可求得正確答案.【詳解】由題可知

，在△BAD中由正弦定理得：，即，又因為在中，，所以.故選：D5．如圖，是上靠近的四等分點，是上靠近的四等分點，是的中點，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合向量線性運算求解即可.【詳解】因為是上靠近的四等分點，是上靠近的四等分點，是的中點，所以.故選：C.6．已知，求的值（用表示），王老師得到的結(jié)果是，葉老師得到的結(jié)果是，對此你的判斷是（

）A．王老師對、葉老師錯 B．兩人都對C．葉老師對、王老師錯 D．兩人都錯【答案】B【分析】利用，展開可驗證王老師正確.由求得，再由二倍角公式求得，由可驗證葉老師正確.【詳解】，所以王老師正確.，，所以葉老師正確.故選：B7．已知，，，則a，b，c的大小順序為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用輔助角法、二倍角余弦公式和兩角和的正弦公式化簡a，b，c，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】因為，，，因為在上遞減，所以，即，故選：B8．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的漢族傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史?久，風(fēng)格獨特，深受國內(nèi)外人士所喜愛．如圖甲是一個正八邊形窗花隔斷，圖乙是從窗花圖中抽象出的幾何圖形示意圖．已知正八邊形的邊長為，是正八邊形邊上任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取AB的中點O，連接MO，通過轉(zhuǎn)化得，則轉(zhuǎn)化為求的最大值，由圖得當(dāng)點M與點F或點E重合時，取得最大值，計算最值即可.【詳解】如圖，取AB的中點O，連接MO，連接，分別過點，點作的垂線，垂足分別為，所以，當(dāng)點M與點F或點E重合時，取得最大值，易得四邊形為矩形，為等腰直角三角形，則，，則，，取得最大值為，所以的最大值為，故選：D.二、多選題9．下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用二倍角的正弦、余弦、正切公式計算可得結(jié)果.【詳解】因為，所以不正確；因為，所以不正確；因為，所以正確；因為，所以正確.故選：CD.【點睛】本題考查了二倍角的正弦、余弦、正切公式的逆用，屬于基礎(chǔ)題.10．下列說法中正確的是（

）A． B．若且，則C．若非零向量且，則 D．若，則有且只有一個實數(shù)，使得【答案】AC【解析】根據(jù)相反向量的概念，可得A正確；根據(jù)向量共線可得B錯；根據(jù)向量數(shù)量積運算，可得C錯；根據(jù)向量共線基本定理，可得D錯.【詳解】由，互為相反向量，則，故A正確；由且，可得或，故B錯；由，則兩邊平方化簡可得，所以，故C正確；根據(jù)向量共線基本定理可知D錯，因為要排除為零向量.故選：AC.【點睛】本題主要考查共線向量、相反向量，以及向量數(shù)量積的運算等知識，屬于基礎(chǔ)題型.11．已知向量，，則（

）A． B．向量在向量上的投影向量為C．與的夾角余弦值為 D．若，則【答案】BCD【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可判斷A選項的正誤；設(shè)向量在向量上的投影向量為，根據(jù)題意得出，求出的值，可判斷B選項的正誤；利用平面向量夾角余弦的坐標(biāo)表示可判斷C選項的正誤；利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，，，所以，與不共線，A選項錯誤；對于B選項，設(shè)向量在向量上的投影向量為，則，即，解得，故向量在向量上的投影向量為，B選項正確；對于C選項，，，C選項正確；對于D選項，若，則，所以，，D選項正確.故選：BCD.12．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．是銳角三角形C．若，則內(nèi)切圓半徑為D．若，則外接圓半徑為【答案】AC【分析】利用正弦定理判定選項A正確；利用邊角關(guān)系和余弦定理判定選項B錯誤；利用三角形的面積公式進而求出內(nèi)切圓半徑判定選項C正確；利用進行求解判定選項D錯誤.【詳解】因為，所以設(shè)，，，且，對于A：由正弦定理，得，即選項A正確；對于選項B：因為，所以角最大，則，即為鈍角，即是鈍角三角形，即選項B錯誤；對于C：若，則，，因為，所以，則，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，解得，即選項C正確；對于D：若，由正弦定理，得，即，即選項D錯誤.故選：AC.三、填空題13．若與是共線向量，則.【答案】【分析】由兩向量共線的坐標(biāo)表示計算即可得出答案.【詳解】因為與共線所以：.故答案為：.14．已知，則.【答案】【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式將變?yōu)椋倮帽督枪娇傻?【詳解】，故答案為：15．1626年，阿貝爾特格洛德最早推出簡寫的三角符號：，，（正割），1675年，英國人奧屈特最早推出余下的簡寫三角符號：??（余割），但直到1748年，經(jīng)過數(shù)學(xué)家歐拉的引用后，才逐漸通用起來，其中，.若，且，則.【答案】/【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)間的關(guān)系對已知等式化簡可求出【詳解】由，得，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，故答案為：16．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，點O為其外接圓的圓心，已知，則當(dāng)角C取到最大值時△ABC的面積為.【答案】【分析】取AC的中點D，得到OD⊥AC，利用向量的數(shù)量積求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，從而得到角C取到最大值時，再使用三角形面積公式進行求解出結(jié)果.【詳解】設(shè)AC的中點為D，因為點O為其外接圓的圓心，所以O(shè)A=OB=OC，連接OD，由三線合一得：OD⊥AC，則即，所以，由知，角C為銳角，故，因為，所以由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時角C取到最大值，，，△ABC的面積為.故答案為：四、解答題17．已知，．(1)若與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的夾角為鈍角，由，且與不共線求解；（2）先得到，再利用向量模的公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）解：因為，，所以，，因為與的夾角為鈍角，所以，且，解得且，所以的取值范圍為；（2）根據(jù)題意，，則，所以，又，則，所以的取值范圍是．18．已知，求：(1)的值；(2)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合，即可求解；（2）利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式和倍角公式，求得的值，得出，再由兩角差的正切公式，即可求解.【詳解】（1）解：由，因為，，所以，（2）解：因為，且，所以，所以，，所以，則.19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間的值域：(2)已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡函數(shù)由函數(shù)，由時，得到，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，由時，求得，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，當(dāng)時，可得，所以，故函數(shù)在區(qū)間的值域為.（2）解：因為，則，所以，設(shè)，若不等式在上恒成立，只需，當(dāng)時，則，所以當(dāng)，即時，，所以.實數(shù)的取值范圍為.20．在中，內(nèi)角，，對邊的邊長分別是，，．已知．（1）求角的大??；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理得，由余弦定理可得答案；（2）依題意及正弦定理可得及，由（1）知，由此可得，再利用二倍角公式可得答案.【詳解】（1）由化簡，得，由正弦定理，得，由余弦定理得，又，所以.（2）因為，，所以由正弦定理，得，因為，所以，所以，所以，所以.21．下面問題的條件①，②，③，④有多余，現(xiàn)請你在①，④中刪去一個，并將剩下的三個作為條件解答這個問題．已知中，是邊的中點，你刪去的條件是_____請寫出用剩余條件解答本題的過程．(1)求的長；(2)的平分線交于點，求的長．注：如果選擇刪去條件①和條件④分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)條件選擇見解析，；(2).【分析】（1）刪①：設(shè)，，在和中，分別應(yīng)用余弦定理列出方程，通過解方程即可求出的長；刪④：設(shè)，在和中，分別應(yīng)用余弦定理，求出和的值，根據(jù)即可求出的長；（2）根據(jù)，利用三角形的面積公式即可求出的長．【詳解】（1）刪①：設(shè)，，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，聯(lián)立，解得，，所以，；刪④：設(shè)，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，∵，所以，解得，所以；（2）由（1）知刪①和刪④都能得出，，，因為，所以所以.22．如圖，A?B是單位圓上的相異兩定點（O為圓心），且（為銳角）.點C為單位圓上的動點，線段交線段于點.

(1)求（結(jié)果用表示）；(2)若①求的取值范圍：②設(shè)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)①②【分析】（1