2022-2023學(xué)年江蘇省南京市高一年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．5 C． D．6【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，再計算模即可.【詳解】因為，所以，所以.故選：A2．2023年3月1日，“中國日報視覺”學(xué)習(xí)強(qiáng)國號上線．某黨支部理論學(xué)習(xí)小組抽取了10位黨員在該學(xué)習(xí)平臺的學(xué)習(xí)成績?nèi)缦拢?3，85，88，90，91，91，92，93，96，97，則這10名黨員學(xué)習(xí)成績的分位數(shù)為（

）A．90 B．92 C．93 D．92.5【答案】C【分析】由百分位數(shù)定義可得答案.【詳解】根據(jù)題意，10個數(shù)據(jù)從小到大依次為83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，而，則這10名黨員學(xué)習(xí)成績的分位數(shù)為第8項數(shù)據(jù)93．故選：C．3．甲、乙兩人獨立地解決某個數(shù)學(xué)難題，甲解決出該難題的概率為0.4，乙解決出該難題的概率為0.5，則該難題被解決出的概率為（

）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.2【答案】C【分析】利用獨立事件的概率乘法公式求出該難題沒被解出的概率，然后由對立事件的概率關(guān)系求解.【詳解】該難題沒被解出的概率為，所以該難題被解決出的概率為．故選：C．4．滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世.如圖，若某人在點A測得滕王閣頂端仰角為，此人往膝王閣方向走了42米到達(dá)點B，測得滕王閣頂端的仰角為，則滕王閣的高度最接近于（

）（忽略人的身高）（參考數(shù)據(jù)：）A．49米 B．51米 C．54米 D．57米【答案】D【分析】設(shè)滕王閣的高度為，由題設(shè)可得，即可求滕王閣的高度.【詳解】設(shè)滕王閣的高度為，由題設(shè)知：，所以，則，又，可得米.故選：D5．陀螺是我國民間最早的娛樂工具之一.如圖，一個倒置的陀螺，上半部分為圓錐，下半部分為同底圓柱，其中總高度為，圓柱部分高度為，已知陀螺的總體積為，則此陀螺圓柱底面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，代入求解即可【詳解】由題，圓錐部分高度為，故，即，可解得，故選：B6．已知都是銳角，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由已知條件求出，再由兩邊取余弦函數(shù)化簡可求得結(jié)果【詳解】因為為銳角，，所以，因為都是銳角，所以，因為，所以，所以，故選：B7．如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，因為點在上，則，又，利用平面向量的基本定理求出的值，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．

已知，，，得，，，，，，，，，因為點在上，則，又，且、不共線，可得，且，解得．，．故選：D．8．在銳角中，角的對邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形面積公式及余弦定理得到，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系得到，，由正弦定理得到，且根據(jù)三角形為銳角三角形，得到，求出，利用對勾函數(shù)得到的最值，求出的取值范圍.【詳解】由三角形面積公式可得：，故，，故，因為，所以，解得：或0，因為為銳角三角形，所以舍去，故，，由正弦定理得：，其中，因為為銳角三角形所以，故，所以，，，，令，則為對勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又，因為，所以，則.故選：C【點睛】解三角形中求解取值范圍問題，通常有兩種思路，一是利用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，利用基本不等式進(jìn)行求解，二是利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，結(jié)合三角函數(shù)的圖象，求出答案.二、多選題9．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AB【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示判斷A，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示判斷B，根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示判斷C，D.【詳解】對于A，因為，所以，所以，A正確；對于B，因為，所以，所以，B正確；對于C，因為，所以，所以，C錯誤；對于D，因為，所以，所以或，D錯誤；故選：AB.10．已知函數(shù)，，則（

）A．B．在區(qū)間上只有1個零點C．的最小正周期為D．為圖象的一條對稱軸【答案】AC【分析】將的解析式化為，然后逐一判斷即可.【詳解】所以，故A正確令可得，滿足的有，故B錯誤的最小正周期為，故C正確當(dāng)時，，所以不是圖象的一條對稱軸，故D錯誤故選：AC11．一個質(zhì)地均勻的正四面體4個表面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，拋擲該正四面體兩次，記事件M為“第一次向下的數(shù)字為3或4”，事件N為“兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則下列說法正確的是（）A．事件M發(fā)生的概率為 B．事件M與事件N互斥C．事件M與事件N相互獨立 D．事件發(fā)生的概率為【答案】AC【分析】A應(yīng)用互斥事件加法求概率；B由互斥事件的定義，結(jié)合題設(shè)描述判斷；C判斷是否成立即可；D應(yīng)用對立事件的概率求法求發(fā)生的概率即可判斷.【詳解】由題設(shè)知：，A正確；由：“第一次向下的數(shù)字為3或4”與：“兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，而發(fā)生同時也有可能發(fā)生，故不是互斥事件，B錯誤；因為，而，故，即事件M與事件N相互獨立，C正確；，表示“第一次向下的數(shù)字為1或2”且“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，故，所以，D錯誤.故選：AC.12．已知棱長為1的正方體，以為圓心，為半徑作圓弧為圓弧的三等分點（靠近點），則下列命題正確的是（

）A．B．四棱錐的表面積為C．三棱錐的外接球的體積為D．若為上的動點，則的最小值為【答案】ABD【分析】過作，連接，根據(jù)條件求出、，進(jìn)而可以判斷A正確；分別求出四棱錐五個面的面積即可判斷B正確；根據(jù)條件找到球心，根據(jù)幾何關(guān)系求出球的半徑，即可判斷C錯誤；如圖所示將平面沿著展開，即可判斷D正確.【詳解】如圖所示，過作，連接，因為為圓弧的三等分點（靠近點），所以，則，，由題意可得平面，在中，，，則，故A正確；由題意可得，，則，,,，在中，因為，，，，四棱錐的表面積為；故B正確；取中點，的重心，因為為等腰直角三角形，所以其外接圓圓心為，因為為等邊三角形，所以其外接圓圓心為，過作平面的垂線，過作平面的垂線，、交于點，則為三棱錐的外接球的球心，則，，所以，即外接球的半徑，三棱錐的外接球的體積為，故C錯誤；如圖所示將平面沿著展開，連接，交于點，則根據(jù)兩點之間距離最短可知此時最小，最小值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．某醫(yī)院老年醫(yī)生、中年醫(yī)生和青年醫(yī)生的人數(shù)分別為72，120，160，為了解該醫(yī)院醫(yī)生的出診情況，按年齡采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取樣本，已知抽取青年醫(yī)生的人數(shù)為20，則抽取老年醫(yī)生的人數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)抽樣比相等即可求解.【詳解】由題意可得：抽樣比為，所以抽取老年醫(yī)生的人數(shù)為，故答案為：.四、解答題14．已知，，且，，求角的值．【答案】【分析】利用兩角和的正切公式求出，再根據(jù)的范圍求出.【詳解】，又，故．【點睛】本題考查兩角和的正切公式、已知正切值求角，屬于基礎(chǔ)題.五、填空題15．已知樣本容量為5的樣本的平均數(shù)為3，方差為，在此基礎(chǔ)上獲得新數(shù)據(jù)9，把新數(shù)據(jù)加入原樣本得到樣本容量為6的新樣本，則該新樣本的方差為．【答案】8【分析】根據(jù)均值公式與方差公式計算．【詳解】記原來的數(shù)據(jù)為，新增數(shù)據(jù)為，由題意，，，則，，所以新方差為．故答案為：8.16．已知三棱錐中，平面，，異面直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為．【答案】/【分析】分別取的中點，得到為異面直線與所成的角，得出，設(shè)，由余弦定理求得的值，再找出三棱錐的外接球的球心，利用勾股定理求得外接球的半徑，代入球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖，

分別取、、、的中點、、、，連接、、、、，可得，，則為異面直線與所成角，∴，由面，而，故面，面，則，設(shè)，可得，，，，則，在中，由余弦定理，可得，，解得，設(shè)底面三角形的中心為，三棱錐的外接球的球心為，連接，則平面，由底面三角形是邊長為2的等邊三角形，可得，∴為三棱錐外接球的球心，∴，則，，又，可得，則三棱錐的外接球的半徑．∴三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：．六、解答題17．已知復(fù)數(shù)．(1)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，求m的取值范圍；(2)若z是純虛數(shù)，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)第四象限的復(fù)數(shù)實部為正，虛部為負(fù)求解即可；（2）根據(jù)純虛數(shù)的實部為0，虛部不為0求解即可【詳解】（1）由題意可得，

解得；的取值范圍為；（2）由題意可得，

解得．的值為．18．已知向量，.（1）求；（2）求向量與向量的夾角的余弦值；（3）若，且，求向量與向量的夾角.【答案】（1）；（2）；（3）..【分析】（1）先求出的坐標(biāo)，再求其模；（2）利用向量的夾角公式直接求解即可；（3）由，得化簡結(jié)合已知條件可得答案【詳解】解：（1）因為，，所以.所以.（2）因為，，，所以.（3）因為，所以.即.所以.即，所以.因為，所以.19．北京時間2022年6月5日，搭載神舟十四號載人飛船的長征二號F遙十四運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，約577秒后，神舟十四號載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，順利將陳冬、劉洋、蔡旭哲3名航天員送入太空，順利進(jìn)入天和核心艙．為激發(fā)廣大學(xué)生努力學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識的熱情，某校團(tuán)委舉行了一場名為”學(xué)習(xí)航天精神，致航空英雄”的航天航空科普知識競賽，滿分100分，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名同學(xué)得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；(2)用分層抽樣的方法從得分在[60，70），[70，80），[80，90]這三組中選6名學(xué)生，再從這6名學(xué)生中隨機(jī)選取2名作為代表參加團(tuán)委座談會，求這2名學(xué)生的得分不在同一組的概率．【答案】(1)64.5(2)【分析】（1）首先根據(jù)頻率和為1，求，再根據(jù)平均數(shù)公式，即可求解；（2）首先確定各組抽取的人數(shù)，再通過列舉的方法求古典概型的概率.【詳解】（1）根據(jù)題意知，解得，

所以這100名同學(xué)得分的平均數(shù)是答：平均數(shù)是64.5．（2）由條件知從抽取3名，從中抽取2名，從抽取1名，分別記為，

因此樣本空間可記為用A表示“這2名同學(xué)的得分不在同一組”，則

A包含樣本點的個數(shù)為11，所以答：這2名同學(xué)的成績分別在各一名的概率是20．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，D為AC邊上的一點，，且______，求的面積．①BD是的平分線；②D為線段AC的中點．（從①，②兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面的橫線上并作答）．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化簡，再根據(jù)三角形中角的范圍可求得；（2）若選①：利用三角形面積關(guān)系和余弦定理求得，然后根據(jù)面積公式即可；若選②：根據(jù)中點的向量關(guān)系式并同時平方，結(jié)合余弦定理求得，然后根據(jù)面積公式即可.【詳解】（1）由正弦定理知：又：代入上式可得：，則故有：又，則故的大小為：（2）若選①：由BD平分得：則有：，即在中，由余弦定理可得：又，則有：聯(lián)立可得：解得：（舍去）故若選②：可得：，，可得：在中，由余弦定理可得：，即聯(lián)立解得：故21．如圖，三棱錐的底面是等腰直角三角形，其中，，平面平面，點，，，分別是，，，的中點.（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)與平面所成的角為時，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）首先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，再通過線面垂直證明面面垂直；（2）首先找到直線PF與平面ABC所成角，計算得到PE的長，方法一是由向量法求角，再根據(jù)角是鈍角，進(jìn)而求得角的余弦值；方法二是根據(jù)幾何法找角，再邊長求角的余弦值.【詳解】（1）證明：由題意可得，，點，分別是，的中點，故，故，平面平面，交線為，故平面又在平面內(nèi)，故平面平面；（2）連結(jié)，由，點是的中點，可知，再由平面平面，可知平面，連結(jié)，可知就是直線與平面所成的角，于是，法一：分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則得取，則，即平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，于是注意到二面角是鈍角，所以二面角的余弦值為.法二：取的中點，連結(jié)，，則，得點在平面內(nèi).又因為平面平面，在平面內(nèi)的射影就是，由，得，故二面角的平面角為，是等腰三角形，點，分別是，的中點，故.于是所以所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.22．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若不等式對任意恒成立，求整數(shù)m的最大值；(3)若函數(shù)，將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于x的方程在上有解，求實數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)(2)4(3)【分析】（1）由二倍角公式及輔助角公式求得，從而可求周期；（2）先求函數(shù)的最值，