2022-2023學(xué)年江西省吉安市高一下學(xué)期7月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省吉安市高一下學(xué)期7月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，，則等于A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式,可得集合A與集合B,根據(jù)交集運算即可得解.【詳解】集合，解不等式,可得，所以所以選C【點睛】本題考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集運算,注意分式不等式分母不為0的限制要求,屬于基礎(chǔ)題.2．“關(guān)于x的不等式對恒成立”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出不等式對恒成立所滿足的條件，再尋找一個集合，使它包含即可【詳解】對恒成立，則，解得：，要想找到一個必要不充分條件，只需找到一個集合，使得是它的子集，顯然C選項符合.故選：C3．與角終邊相同的角的集合是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)弧度制和角度制的互化、終邊相同的角的表示方法可判斷出結(jié)果.【詳解】對于AB，弧度和角度屬于不同度量單位，不能混用，A錯誤，B錯誤；對于CD，換算成弧度制為，與角終邊相同的角的集合為或，C錯誤，D正確.故選：D.4．已知向量與的夾角，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義可直接求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義可得，故選：B.5．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)已知條件求出，，從而求出，進(jìn)而利用二倍角的余弦公式求出結(jié)論.【詳解】因為，所以，又，所以，，所以，所以.故選：C.6．已知圓錐的母線與底面所成角為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由給定條件可得圓錐軸截面是正三角形，再由側(cè)面積求出底面圓半徑及高即可求解作答.【詳解】因為圓錐的母線與底面所成角為，則該圓錐的軸截面是正三角形，令圓錐底面圓半徑為，則母線，圓錐側(cè)面積，解得，圓錐的高，所以該圓錐的體積為.故選：B7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則=A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，因此，選C.8．已知正四面體的棱長為12，先在正四面體內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及正四面體的三個側(cè)面都相切，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正四面體的性質(zhì)，推得球心的位置，求出正方體的高與斜高.根據(jù)相似三角形，得出方程，即可求出球的半徑，得出答案.【詳解】

如圖，正四面體，設(shè)點是底面的中心，點是的中點，連接.則由已知可得，平面，球心在線段上，球切平面的切點在線段上，分別設(shè)為.則易知，，設(shè)球的半徑分別為.因為，根據(jù)重心定理可知，.，，，，.由可得，，即，解得，，所以.由可得，，即，解得，所以，球的體積為.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)已知，判斷出球心的位置，構(gòu)造直角三角形.二、多選題9．下列化簡正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】由和差角公式，二倍角公式求值逐項判斷即可.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確；故選：ACD.10．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算即可判斷A,由模長公式以及共軛的性質(zhì)即可判斷BCD.【詳解】由題意，得正確；因為，所以錯誤；因為，所以，C正確；由題意，得，因為，，所以，D正確．故選：ACD11．將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖像向左平移個單位，得到的圖像對應(yīng)的解析式為（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的圖像變換即可得到變換之后的函數(shù)解析式，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）可得函數(shù)，再將所得的圖像向左平移個單位，可得函數(shù)，即，且.故選：BC12．如圖，四棱錐的底面是正方形，平面ABCD，，是線段的中點，是線段上的動點，則以下結(jié)論正確的是（

）

A．平面平面B．直線與平面所成角正切值的最大值為C．二面角余弦值的最小值為D．線段上不存在點，使得平面【答案】ABC【分析】對于A，利用線面垂直與面面垂直的判定定理證明即可；對于BC，利用線面角與面面角的定義，結(jié)合的取值范圍求解即可；對于D，找特殊點與重合時，證得平面，由此得解.【詳解】對于A，因為底面，平面，所以．因為為正方形，所以，又，平面，平面，所以平面．因為平面，所以．因為，為線段的中點，所以，又因為，平面，平面，所以平面．又因為平面，所以平面平面，故A正確；對于B，由選項A可知平面，所以為直線與平面所成角，則，不妨設(shè)，則在中，，在中，，因為是線段上的動點，故，則，所以直線與平面所成角正切值的最大值為，故B正確；對于C，由選項A可知平面，平面，所以，則為二面角的平面角，因為，所以二面角余弦值的最小值為，故C正確；對于D，當(dāng)與重合時，連接，連接，如圖，

因為底面是正方形，所以是的中點，又為線段的中點，所以，又平面，平面，所以平面，即線段上存在點，使得平面，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用線面垂直的判定定理證得平面與平面，從而得到直線與平面所成角與二面角的平面角，由此得解.三、填空題13．已知i是虛數(shù)單位，則．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方運算，即可求解．【詳解】．故答案為：．14．已知，，則.【答案】【分析】由半角公式求解.【詳解】，則，由半角公式可得.故答案為：15．已知空間中兩個角，且，若，則.【答案】或【分析】根據(jù)空間中兩個角的邊分別平行時，兩個角相等或互補(bǔ)即可得解.【詳解】因為兩個角，且，則的兩邊分別平行，所以相等或互補(bǔ)，又，所以或故答案為：或16．已知，，若對，恒有，且點滿足，為的中點，則．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律得到對恒成立，即可得到對恒成立，根據(jù)求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】因為，，因為對，恒有，所以對恒成立，即對恒成立，即對恒成立，所以，即，所以，又，所以.故答案為：四、解答題17．如圖，矩形是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形的形狀是什么？面積是多少？【答案】原圖形是平行四邊形，面積．【分析】設(shè)與交于點，線段及的長度不變，平行關(guān)系不變，把線段的長度變?yōu)樵瓉淼?倍并改為與底邊垂直，再依次連接各頂點就可以得到一個平行四邊形，即可求出面積．【詳解】在直觀圖中，若與交于點，則，，．在原圖形中，，，．∵，，∴原圖形是平行四邊形，如圖，其面積．18．已知:復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位.(1)求及；(2)若，求實數(shù)a，b的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法和除法運算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式計算即可；（2）先根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算化簡左邊，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義即可得解.【詳解】（1），；（2），得:，解得.19．甲、乙兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的成績（環(huán)數(shù)）如下：甲

7

8

7

9

5

4

9

10

7

4乙

9

5

7

8

7

6

8

6

7

7(1)求甲運動員的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和第85百分位數(shù)；(2)分別計算這兩位運動員射擊成績的方差；(3)如果選一位成績穩(wěn)定的運動員參加比賽，選誰較好？說明理由.注：一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，它的方差為【答案】(1)眾數(shù)是7，第85百分位數(shù)為9(2)4；1.2(3)選乙參加比賽，理由見解析【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)和百分位數(shù)求解方法直接計算求解；（2）根據(jù)公式先計算平均數(shù)，再運用公式計算方差即可；（3）根據(jù)（2）中方差計算結(jié)果結(jié)合方差實際意義進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，甲的數(shù)據(jù)里的眾數(shù)是7；把甲的數(shù)據(jù)按從小到大排列如下：4

4

5

7

7

7

8

9

9

10

因為85%10=8.5所以第9個數(shù)據(jù)是第85百分位數(shù)，所以第85百分位數(shù)為9.（2），；.（3）由（2）知，，即甲的成績離散程度大，乙的成績離散程度小，乙的成績較穩(wěn)定，所以選乙參加比賽.20．已知在中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，且滿足．(1)判斷角B與角C的關(guān)系，并說明理由；(2)若，求的范圍．【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】（1）利用二倍角公式，和差公式化簡，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得；（2）利用（1）中結(jié)論和正弦定理，將所求轉(zhuǎn)化為正切函數(shù)，利用正切函數(shù)性質(zhì)可得.【詳解】（1）∵，，∴或，∴，∴，∴.∵，，∴.∵，∴或，∵，∴.（2）由（1）知：，∴，∴∵，，∴，∴21．如圖，平行六面體的棱長均相等，，點分別是棱的中點．

(1)求證：平面；(2)求直線與底面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)的中點為，連接，證明四邊形是平行四邊形，可得，進(jìn)而可得答案；（2）證明在平面ABCD上的射影Q落在AC上，求出到平面ABCD的距離，可得到平面ABCD的距離，根據(jù)是棱的中點，可得到平面的距離，結(jié)合可得直線與底面所成角的正弦值．【詳解】（1）設(shè)的中點為，連接，因為點分別是棱的中點，所以，，所以與平行且相等，四邊形是平行四邊形，則，又因為平面，平面，所以平面

（2）如圖，設(shè)AC，BD交于點O，連接．因為平行六面體中，設(shè)各棱長均為2，因為，所以為邊長為2等邊三角形，四邊形ABCD為菱形，所以O(shè)為BD的中點，．所以．因為，平面，所以平面．等邊三角形中，故．解可得．因為平面，平面，所以平面平面，故在平面ABCD上的射影Q落在AC上，連接，所以即到平面ABCD的距離為所以到平面ABCD的距離為因為是棱的中點，所以到平面ABCD的距離因為，所以直線與底面所成角的正弦值為22．已知函數(shù)，（，）(1)若，，證明：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有個零點；(2)若對于任意的，恒成立，求的最大值和最小值.【答案】(1)證明見解析(2)最小值為，最大值為【分析】（1）代入的值，化簡，即可求得，根據(jù)單調(diào)性即可求解；（2）令，問題轉(zhuǎn)化為時，，要求的最值，則需要和的系數(shù)相等進(jìn)行求解.【詳解】（1