高中數(shù)學(xué)不等式經(jīng)典練習(xí)題1(含答案)

高中數(shù)學(xué)不等式經(jīng)典練習(xí)題【編著】黃勇權(quán)一、選擇題1、若a∈R，下列不等式恒成立的是（）A、a2+1≥aB、a2+4＞4aC、eq\f(1,a)＞1D、2a＞2a-12、已知x＞y＞0，若x+y=1，則下列數(shù)中最大的是（）A、eq\f(1,2)B、eq\f(x+y,2)C、2xyDx2+y23、a∈R，b∈R，若a2+b2=1，則a+b（）A、有最小值-eq\r(2)B、有最小值-1C、有最小值eq\r(2)D、有最小值14、a，b為任意實(shí)數(shù)，若a＞b，則有（）A、a2＞b2B、（a-1）2＞（b-1）2C、丨a-1丨＞丨b-1丨D、2a-1＞2b-15、實(shí)數(shù)a，b＞0，則的最大值是。A、1B、C、D、26、已知x＞0，y＞0，z＞0，若x+y+z=3，則xy+xz+yz的最大值是。A、3、B、eq\r(3)C、eq\r(2)D、17、已知a，b，c∈R，若a＞b，以下不等式成立的是（）A、ac＞bcB、a3＞b3C、D、8、實(shí)數(shù)a≥1，b≥0，若3a2+6a+2b2=3，則（a+1）的最大值。A、2B、3C、eq\f(5,3)\r(2)D、eq\f(5,2)\r(3)9、已知a、b為正實(shí)數(shù)，且滿足2ab=2a+b+3，則a+的最小值是。A、1B、3C、4D、610、已知x，y，z為正數(shù)，若ab+bc+ca=1，則a+b+c的最小值是A、eq\r(2)B、eq\r(3)C、2D、3二、填空題1、已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\f(1,x)+eq\f(4,y)=2eq\r(xy)，則xy則最小值是。2、已知m＞0，n＞0，且m+n=1，則（eq\f(1,m2)-1）（eq\f(1,n2)-1）的最小值是。3、函數(shù)y=x+eq\r(2-x)的最大值是。4、已知x、y為正數(shù)，若2x+3y=4，則eq\f(3,2x)+eq\f(5,3y)的最小值是。5、函數(shù)f（a）=aeq\r(1-a2)的最大值是。6、m、n均為正數(shù)，若eq\f(2,m)+eq\f(2,n)=1，則mn最小值是。7、已知x，y，z為正數(shù)，若3x+2y+z=2，則9x2+4y2+z2的最小值。8、x+2y=eq\f(1,4)，則eq\f(3,2x)+eq\f(4,3y)的最大值是。9、已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，若a+b+c=1則eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)的最小值為。10、已知x，y，z為實(shí)數(shù)，若x2+y2=2，y2+z2=3，z2+x2=3.則xy+yz+zx的最大值為。三、解答題1、已知x，y，z∈+R，若xyz=1，證明：eq\f(1,x)+eq\f(1,y)+eq\f(1,y)≤x2+y2+z22、已x、y∈R，求（6x2+eq\f(1,2y2)）（eq\f(1,3x2)+4y2）的最小值。3、已知a，b，c∈+R，若abc=1，求（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3的最小值不等式經(jīng)典練習(xí)題【答案】一、選擇題1、選D選項(xiàng)A，a2+1＞a，但a2+1≠a故A錯(cuò)誤選項(xiàng)B，當(dāng)a=0時(shí)，a2+4=4a，故B錯(cuò)誤選項(xiàng)C當(dāng)a為負(fù)數(shù)，eq\f(1,a)＞1肯定不成立，故C錯(cuò)誤。選項(xiàng)D因?yàn)?＞1，故2x是增函數(shù)又因?yàn)閍＞a-1故D正確綜上，選D2、選D解，已知x＞y＞0因?yàn)閤+y=1，所以，eq\f(x+y,2)=eq\f(1,2)-----------------①由基本不等式知，1=x+y≥2eq\r(xy)即2eq\r(xy)≤14xy≤12xy≤eq\f(1,2)--------------------②又x2+y2≥eq\f(1,2)------------------③由①②③知，x2+y2最大，故選D3、選A解：因?yàn)?ab≤a2+b2兩邊同時(shí)加上a2+b2，得a2+b2+2ab≤2（a2+b2）（a+b）2≤2·1（已知a2+b2=1）-eq\r(2)≤a+b≤eq\r(2)所以選A4選D用舉例法：選項(xiàng)A，當(dāng)a=0.1，b=-10，a2=0.01，b2=100，不滿足a2＞b2，所以A錯(cuò)誤選項(xiàng)B，當(dāng)a=0.1，b=-10，（a-1）2=（-0.9）2=0.81，（b-1）2=（-11）2=121不滿足（a-1）2＞（b-1）2，所以B錯(cuò)誤選項(xiàng)C當(dāng)a=0.1，b=-10，丨a-1丨=0.9，丨b-1丨=11不滿足丨a-1丨＞丨b-1丨，所以C錯(cuò)誤選項(xiàng)D當(dāng)a=0.1，b=-10，2a-1=-0.82b-1=-21滿足2a-1＞2b-1，所以D正確故選D5、選B解：令t=兩邊同時(shí)平方，得t2==1+---------①因?yàn)?≤（a+b）≤1-----------------------②把②代入①，得t2≤1+1=2所以，t≤故選B6選A由基本不等式得，x2+y2≥2xyy2+z2≥2yzz2+x2≥2zx三式相加，得2x2+2y2+2z2≥2xy+2yz+2xz兩邊同時(shí)除以2，即：x2+y2+z2≥xy+yz+xz兩邊同時(shí)加上2xy+2yz+2xz，得x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz≥3（xy+yz+xz）（x+y+z）2≥3（xy+yz+xz）----------①又已知：x+y+z=3所以，①式可寫(xiě)為；32≥3（xy+yz+xz）3≥xy+yz+xz所以，xy+xz+yz的最大值是3.故選A7選B用舉例法選項(xiàng)A，當(dāng)a=0.1，b=-10，c=-1ac=-0.1，bc=10，不滿足a2＞b2，所以A錯(cuò)誤選項(xiàng)B，當(dāng)a=0.2，b=0.1，a3=0.08，b3=0.01滿足a3＞b3，所以B正確選項(xiàng)C當(dāng)a=1，b=-0.9，=eq\f(1,11)，=10不滿足，所以C錯(cuò)誤選項(xiàng)D當(dāng)a=10，b=-1，==1不滿足，所以D錯(cuò)誤故選B8、選C解：因?yàn)?a2+6a+2b2=33（a2+2a+1）+（3b2+1）=9（a+1）2+2（eq\r(3b2+1)）2=20等號(hào)左右兩邊的式子互換，即，20=9（a+1）2+2（eq\r(3b2+1)）2≥6eq\r(2)（a+1）eq\r(3b2+1)所以，（a+1）eq\r(3b2+1)≤eq\f(5,3)\r(2)故選C9.選B,解：因?yàn)閍、b為正實(shí)數(shù)所以2a+b≥2兩邊同時(shí)除以2，得a+≥兩邊同時(shí)平方得，（a+）2≥2ab（已知2ab=2a+b+3，故將右邊的2ab替換為2a+b+3）即，（a+）2≥2a+b+3-------------------①令a+=t（t＞0），那么①式變?yōu)?，t2≥2t+3整理得，（t+1）（t-3）≥0解得，t≤-1（因?yàn)閠＞0，舍去）所以，t≥3故，a+的最小值是3.所以，選B10、選B因?yàn)閍2+b2≥2abb2+c2≥2bcc2+a2≥2ca三式相加，得2（a2+b2+c2）≥2ab+2bc+2ca同時(shí)除以2a2+b2+c2≥ab+bc+ca兩邊同時(shí)加上2ab+2bc+2ca，得a2+2ab+b2+2bc+c2+2ca≥3（ab+bc+ca）（a+b+c）2≥3·1（已知ab+bc+ca）=1）同時(shí)開(kāi)方a+b+c≥eq\r(3)故選B二、填空題1、解要使2eq\r(xy)有意義，xy＞0即x,y同時(shí)為正或同時(shí)為負(fù)。又eq\f(1,x)+eq\f(4,y)為正，故x,y只能同時(shí)為正。所以，eq\f(1,x)+eq\f(4,y)≥2eq\r(\f(4,xy))=4eq\r(\f(1,xy))-------------①已知eq\f(1,x)+eq\f(4,y)=2eq\r(xy)，所以將①左邊的eq\f(1,x)+eq\f(4,y)替換為2eq\r(xy)故，2eq\r(xy)≥4eq\r(\f(1,xy))即：xy≥2所以xy則最小值是22、解因?yàn)閙＞0，n＞0m+n≥2eq\r(mn)（已知m+n=1）所以，2eq\r(mn)≤1eq\r(mn)≤eq\f(1,2)（兩邊同時(shí)平方）mn≤eq\f(1,4)所以：eq\f(1,mn)≥4--------①eq\f(1,m2n2)≥16-------②（eq\f(1,m2)-1）（eq\f(1,n2)-1）=eq\f(1,m2n2)-（eq\f(1,m2)+eq\f(1,n2)）+1≥eq\f(1,m2n2)-2（eq\f(1,mn)）2+1將①②代入原式≥16-2·4+1=9故：（eq\f(1,m2)-1）（eq\f(1,n2)-1）的最小值是93、解eq\r(2-x)的定義域?yàn)閤≤2x+eq\r(2-x)=-（2-x）+eq\r(2-x)+2令eq\r(2-x)=t（t≥0）則y=-t2+t+2=-（t-eq\f(1,2)）2+eq\f(9,4)因?yàn)閠≥0，所以y有最大值eq\f(9,4)故，x+eq\r(2-x)的最大值是eq\f(9,4)4解eq\f(3,2x)+eq\f(5,3y)=eq\f(3,8)·eq\f(4,x)+eq\f(5,12)·eq\f(4,y)（因?yàn)?x+3y=4，所以將4替換成2x+3y）=eq\f(3,8)·eq\f(2x+3y,x)+eq\f(5,12)·eq\f(2x+3y,y)=eq\f(3,8)（2+eq3\f(y,x)）+eq\f(5,12)（eq2\f(x,y)+3）=eq\f(3,4)+eq\f(9,8)·eq\f(y,x)+eq\f(5,6)·eq\f(y,x)+eq\f(5,4)=2+eq\f(9,8)·eq\f(y,x)+eq\f(5,6)eq\f(y,x)≥2+2eq\r(\f(9,8)×\f(5,6))eq\r(\f(x,y)×\f(y,x))=eq\f(4+\r(15),2)所以，eq\f(3,2x)+eq\f(5,3y)最小值是eq\f(4+\r(15),2)5、解eq\r(1-a2)的定義域?yàn)?1≤a≤1當(dāng)-1＜a＜0，f（a）為負(fù)數(shù)，沒(méi)有最大值當(dāng)0＜a＜1，a，eq\r(1-a2)均為正數(shù)，故f（a）有最大值。a2+（eq\r(1-a2)）2≥2aeq\r(1-a2)a2+（1-a2）≥2aeq\r(1-a2)1≥2aeq\r(1-a2)即aeq\r(1-a2)≤eq\f(1,2)故，f（a）=aeq\r(1-a2)的最大值是eq\f(1,2)6、1=eq\f(2,m)+eq\f(2,n)≥2eq\r(\f(2,m)×\f(2,n))1≥4eq\r(\f(1,mn))eq\f(1,16)≥eq\f(1,mn)所以，mn≥16故mn的最小值是167、解：因?yàn)閤，y，z為正數(shù)所以，9x2+4y2≥12xy兩邊同時(shí)加上9x2+4y2得2（9x2+4y2）≥9x2+4y2+12xy---------①同理：2（4y2+z）2≥4y2+z2+4yz-------------②2（9x2+z）2≥9x2+z2+6xz--------------③①②③相加，得4（9x2+4y2+z2）≥（9x2+4y2+z）+[（9x2+4y2+z2）+12xy+4yz+6zx]兩邊同時(shí)減去（9x2+4y2+z）3（9x2+4y2+z2）≥（3x+2y+z）2（已知3x+2y+z=2）所以：9x2+4y2+z2≥eq\f(4,3)故，9x2+4y2+z2的最小值是eq\f(4,3)8、解解：eq\f(3,2x)+eq\f(4,3y)=eq\f(12,2)·（eq\f(\f(1,4),x)）+eq\f(16,3)·（eq\f(\f(1,4),y)）（因?yàn)閤+2y=eq\f(1,4)，將eq\f(1,4)替換成x+2y）=6·（1+eq\f(2y,x)）+eq\f(16,3)·（2+eq\f(x,y)）=eq\f(50,3)+（eq\f(12y,x)+eq\f(16,3)·eq\f(x,y)）≥eq\f(50,3)+16故，eq\f(3,2x)+eq\f(4,3y)的最大值eq\f(98,3)9、【方法1】因?yàn)閑q\f(1,a)+a≥2eq\r(a×\f(1,a))=2即：eq\f(1,a)+a≥2同理：eq\f(1,b)+b≥2,eq\f(1,c)+c≥2三式相加得，（eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)）+（a+b+c）≥6而a+b+c=1故eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)≥5所以，eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)有最小值5其實(shí)，這是錯(cuò)誤的【方法2】因?yàn)閍+b+c=1，所以將其帶入eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)則有：eq\f(a+b+c,a)+eq\f(a+b+c,b)+eq\f(a+b+c,c)=1+eq\f(b,a)+eq\f(c,a)+1+eq\f(a,b)+eq\f(c,b)+1+eq\f(a,c)+eq\f(b,c)=3+（eq\f(b,a)+eq\f(a,b)）+（eq\f(c,a)+eq\f(a,c)）+（eq\f(c,b)+eq\f(b,c)）≥3+2+2+2=9即：eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)≥9答案eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)最小值為910、解，【方法1】因?yàn)?=x2+y2≥2xy3=y2+z2≥2yz3=z2+x2≥2zx三式相加，8≥2（xy+yz+zx）4≥xy+yz+zx即xy+yz+zx的最大值是4其實(shí)，方法1是錯(cuò)誤的?！痉椒?】x2+y2=2----------------①y2+z2=3----------------②z2+x2=3----------------③①-②，得x2-z2=-1----④③+④，得，x2=1x=±1將x2=1代入②，得y2=1y=±1將x2=1代入③，得z2=2z=±eq\r(2)xy+yz+zx的結(jié)果如下：x111-1-1-1y1-1-11-1-1zeq\r(2)eq\r(2)-eq\r(2)eq\r(2)eq\r(2)-eq\r(2)xy+yz+zx1+2eq\r(2)-1-1-11-2eq\r(2)1+2eq\r(2)故，xy+yz+zx的最大值是1+2eq\r(