2009年廣東省中考數學試卷

PAGE12009年廣東省中考數學試卷一、選擇題（共5小題，每小題3分，滿分15分）1．（3分）4的平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．162．（3分）計算（a3）2的結果是（）A．a5 B．a6 C．a8 D．a﹣13．（3分）如圖所示，幾何體的主（正）視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）《廣東省2009年重點建設項目計劃（草案）》顯示，港珠澳大橋工程估算總投資726億元，用科學記數法表示正確的是（）A．7.26×1010元 B．72.6×109元 C．0.726×1011元 D．7.26×1011元5．（3分）如圖所示的矩形紙片，先沿虛線按箭頭方向向右對折，接著將對折后的紙片沿虛線剪下一個小圓和一個小三角形，然后將紙片打開是下列圖中的哪一個（）A． B． C． D．二、填空題（共5小題，每小題4分，滿分20分）6．（4分）分解因式：2x3﹣8x=．7．（4分）已知⊙O的直徑AB=8cm，C為⊙O上的一點，∠BAC=30°，則BC=cm．8．（4分）一種商品原價120元，按八折（即原價的80%）出售，則現售價應為元．9．（4分）在一個不透明的布袋中裝有2個白球和n個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球，它是黃球的概率是，則n=．10．（4分）用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下圖方式鋪地板，則第（3）個圖形中有黑色瓷磚塊，第n個圖形中需要黑色瓷磚塊（用含n的代數式表示）．三、解答題（共12小題，滿分85分）11．（6分）計算：|﹣|+﹣sin30°+（π+3）0．12．（6分）解方程：．13．（6分）如圖所示，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+1的圖象與反比例函數y=的圖象在第一象限相交于點A，過點A分別作x軸、y軸的垂線，垂足為點B、C．如果四邊形OBAC是正方形，求一次函數的關系式．14．（6分）如圖所示，△ABC是等邊三角形，D點是AC的中點，延長BC到E，使CE=CD．（1）用尺規(guī)作圖的方法，過D點作DM⊥BE，垂足是M；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）求證：BM=EM．15．（6分）如圖所示，A、B兩城市相距100km，現計劃在這兩座城市間修建一條高速公路（即線段AB），經測量，森林保護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保護區(qū)的范圍在以P點為圓心，50km為半徑的圓形區(qū)域內，請問計劃修建的這條高速公路會不會穿越保護區(qū)，為什么？（參考數據：≈1.732，≈1.414）16．（7分）某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？17．（7分）某中學學生會為了解該校學生喜歡球類活動的情況，采取抽樣調查的方法，從足球、乒乓球、籃球、排球等四個方面調查了若干名學生的興趣愛好，并將調查的結果繪制成如下的兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖1，圖2要求每位同學只能選擇一種自己喜歡的球類；圖中用乒乓球、足球、排球、籃球代表喜歡這四種球類中的某一種球類的學生人數），請你根據圖中提供的信息解答下列問題：（1）在這次研究中，一共調查了多少名學生？（2）喜歡排球的人數在扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角是多少度？（3）補全頻數分布折線統(tǒng)計圖．18．（7分）在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=5，AC=6．過D點作DE∥AC交BC的延長線于點E．（1）求△BDE的周長；（2）點P為線段BC上的點，連接PO并延長交AD于點Q．求證：BP=DQ．19．（7分）如圖所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，兩條對角線相交于點O．以OB、OC為鄰邊作第1個平行四邊形OBB1C，對角線相交于點A1；再以A1B1、A1C為鄰邊作第2個平行四邊形A1B1C1C，對角線相交于點O1；再以O1B1、O1C1為鄰邊作第3個平行四邊形O1B1B2C1…依此類推．（1）求矩形ABCD的面積；（2）求第1個平行四邊形OBB1C，第2個平行四邊形和第6個平行四邊形的面積．20．（9分）（1）如圖1，圓內接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點F，OE⊥AC于點G，求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的．（2）如圖2，若∠DOE保持120°角度不變，求證：當∠DOE繞著O點旋轉時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的．21．（9分）小明用下面的方法求出方程2﹣3=0的解，請你仿照他的方法求出下面另外兩個方程的解，并把你的解答過程填寫在下面的表格中．方程換元法得新方程解新方程檢驗求原方程的解2﹣3=0令=t，則2t﹣3=0t=t=＞0=，所以x=x﹣2+1=0x+2+=022．（9分）正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直．（1）證明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）設BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數關系式；當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；（3）當M點運動到什么位置時Rt△ABM∽Rt△AMN，求此時x的值．

2009年廣東省中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共5小題，每小題3分，滿分15分）1．（3分）（2011?呼倫貝爾）4的平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．16【考點】平方根．【分析】根據平方根的定義，求數a的平方根，也就是求一個數x，使得x2=a，則x就是a的一個平方根．【解答】解：∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2．故選：A．【點評】本題主要考查平方根的定義，解題時利用平方根的定義即可解決問題．2．（3分）（2009?上海）計算（a3）2的結果是（）A．a5 B．a6 C．a8 D．a﹣1【考點】冪的乘方與積的乘方．【分析】根據冪的乘方（am）n=amn，即可求解．【解答】解：原式=a3×2=a6．故選B．【點評】本題主要考查了冪的乘方法則，正確理解法則是解題關鍵．3．（3分）（2010?常州）如圖所示，幾何體的主（正）視圖是（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖．【分析】根據三視圖畫法規(guī)則：（1）高平齊：正視圖和側視圖的高保持平齊；（2）寬相等：側視圖的寬和俯視圖的寬相等；（3）長對正：正視圖和俯視圖的長對正．【解答】解：由圖可得，主視圖應該是三列，正方體的數目分別是：1、2、1．故選B．【點評】本題考查的是三視圖中主視圖的確定，注意三視圖的規(guī)律．4．（3分）（2009?中山）《廣東省2009年重點建設項目計劃（草案）》顯示，港珠澳大橋工程估算總投資726億元，用科學記數法表示正確的是（）A．7.26×1010元 B．72.6×109元 C．0.726×1011元 D．7.26×1011元【考點】科學記數法—表示較大的數．【專題】應用題．【分析】數據絕對值大于10或小于1時科學記數法的表示形式為a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于10時，n是正數；當原數的絕對值小于1時，n是負數．【解答】解：726億=7.26×1010元．故選A．【點評】本題考查的是科學記數法．任意一個絕對值大于10或絕對值小于1的數都可寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10．對于絕對值大于10的數，指數n等于原數的整數位數減去1．5．（3分）（2009?廣東）如圖所示的矩形紙片，先沿虛線按箭頭方向向右對折，接著將對折后的紙片沿虛線剪下一個小圓和一個小三角形，然后將紙片打開是下列圖中的哪一個（）A． B． C． D．【考點】剪紙問題．【專題】壓軸題；操作型．【分析】根據長方形的軸對稱性作答．【解答】解：展開后應是C．故選：C．【點評】本題主要考查學生的動手能力及空間想象能力．對于此類問題，學生只要親自動手操作，答案就會很直觀地呈現．二、填空題（共5小題，每小題4分，滿分20分）6．（4分）（2009?恩施州）分解因式：2x3﹣8x=2x（x﹣2）（x+2）．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【分析】先提取公因式2x，再對余下的項利用平方差公式分解因式．【解答】解：2x3﹣8x，=2x（x2﹣4），=2x（x+2）（x﹣2）．【點評】本題考查因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．運用平方差公式進行因式分解的多項式的特征：（1）二項式；（2）兩項的符號相反；（3）每項都能化成平方的形式．7．（4分）（2009?中山）已知⊙O的直徑AB=8cm，C為⊙O上的一點，∠BAC=30°，則BC=4cm．【考點】圓周角定理；含30度角的直角三角形．【分析】根據圓周角定理，可得出∠C=90°；在Rt△ABC中，已知了特殊角∠A的度數和AB的長，易求得BC的長．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠C=90°；在Rt△ACB中，∠A=30°，AB=8cm；因此BC=AB=4cm．【點評】本題主要考查圓周角定理以及特殊直角三角形的性質．8．（4分）（2009?中山）一種商品原價120元，按八折（即原價的80%）出售，則現售價應為96元．【考點】有理數的乘法．【專題】應用題．【分析】本題考查的是商品銷售問題．一種商品原價120元，按八折（即原價的80%）出售，則現售價應為120×80%．【解答】解：根據題意可得：120×80%=96元．故答案為：96．【點評】本題比較容易，考查根據實際問題進行計算．9．（4分）（2009?中山）在一個不透明的布袋中裝有2個白球和n個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球，它是黃球的概率是，則n=8．【考點】概率公式．【分析】根據黃球的概率公式列出方程求解即可．【解答】解：不透明的布袋中的球除顏色不同外，其余均相同，共有n+2個球，其中黃球n個，根據古典型概率公式知：P（黃球）==．解得n=8．故答案為：8．【點評】用到的知識點為：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=．10．（4分）（2009?中山）用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下圖方式鋪地板，則第（3）個圖形中有黑色瓷磚10塊，第n個圖形中需要黑色瓷磚3n+1塊（用含n的代數式表示）．【考點】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】壓軸題．【分析】分析幾何模型，進行合理的運算，圖形的變換作出正確解答．【解答】解：本題考查的是規(guī)律探究問題．從圖形觀察每增加一個圖形，黑色正方形瓷磚就增加3塊，第一個黑色瓷磚有3塊，則第3個圖形黑色瓷磚有10塊，第N個圖形瓷磚有4+3（n﹣1）=3n+1（塊）．故答案為：10；3n+1．【點評】本題考查學生能夠在實際情景中有效的使用代數模型．三、解答題（共12小題，滿分85分）11．（6分）（2009?中山）計算：|﹣|+﹣sin30°+（π+3）0．【考點】特殊角的三角函數值；絕對值；算術平方根；零指數冪．【專題】計算題．【分析】本題要分清運算順序，先把絕對值，乘方計算出來，再進行加減運算．【解答】解：原式==4．【點評】本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟練掌握負整數指數冪、絕對值等考點的運算．12．（6分）（2009?中山）解方程：．【考點】解分式方程．【專題】計算題．【分析】等號左邊的分式的分母因式分解為：（x+1）（x﹣1），那么本題的最簡公分母為：（x+1）（x﹣1）．方程兩邊都乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解．結果需檢驗．【解答】解：方程兩邊都乘（x+1）（x﹣1），得：2=﹣（x+1），解得：x=﹣3．檢驗：當x=﹣3時，（x+1）（x﹣1）≠0．∴x=﹣3是原方程的解．【點評】本題考查分式方程的求解．當分式方程的分母能進行因式分解時一定先進行因式分解，這樣便于找到最簡公分母．13．（6分）（2009?廣東）如圖所示，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+1的圖象與反比例函數y=的圖象在第一象限相交于點A，過點A分別作x軸、y軸的垂線，垂足為點B、C．如果四邊形OBAC是正方形，求一次函數的關系式．【考點】反比例函數綜合題．【專題】綜合題；待定系數法．【分析】若四邊形OBAC是正方形，那么點A的橫縱坐標相等，代入反比例函數即可求得點A的坐標，進而代入一次函數即可求得未知字母k．【解答】解：∵S正方形OBAC=OB2=9，∴OB=AB=3，∴點A的坐標為（3，3）∵點A在一次函數y=kx+1的圖象上，∴3k+1=3，∴k=，∴一次函數的關系式是：y=x+1．【點評】解決本題的關鍵是利用反比例函數求得關鍵點點A的坐標，然后利用待定系數法即可求出函數的解析式．14．（6分）（2009?中山）如圖所示，△ABC是等邊三角形，D點是AC的中點，延長BC到E，使CE=CD．（1）用尺規(guī)作圖的方法，過D點作DM⊥BE，垂足是M；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）求證：BM=EM．【考點】等邊三角形的性質．【專題】作圖題．【分析】（1）按照過直線外一點作已知直線的垂線步驟來作圖；（2）要證BM=EM可證BD=DE，根據三線合一得出BM=EM．【解答】（1）解：作圖如下；（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，D是AC的中點∴BD平分∠ABC（三線合一）∴∠ABC=2∠DBE∵CE=CD∴∠CED=∠CDE又∵∠ACB=∠CED+∠CDE∴∠ACB=2∠E又∵∠ABC=∠ACB∴2∠DBC=2∠E∴∠DBC=∠E∴BD=DE又∵DM⊥BE∴BM=EM．【點評】本題考查了過直線外一點作已知直線的垂線及考查了等邊三角形和等腰三角形的性質；作圖題要注意保留做題痕跡．證得BD=DE是正確解答本題的關鍵．15．（6分）（2009?中山）如圖所示，A、B兩城市相距100km，現計劃在這兩座城市間修建一條高速公路（即線段AB），經測量，森林保護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保護區(qū)的范圍在以P點為圓心，50km為半徑的圓形區(qū)域內，請問計劃修建的這條高速公路會不會穿越保護區(qū)，為什么？（參考數據：≈1.732，≈1.414）【考點】解直角三角形的應用-方向角問題．【專題】應用題．【分析】過點P作PC⊥AB，C是垂足．AC與BC就都可以根據三角函數用PC表示出來．根據AB的長，得到一個關于PC的方程，解出PC的長．從而判斷出這條高速公路會不會穿越保護區(qū)．【解答】解：過點P作PC⊥AB，C是垂足．則∠APC=30°，∠BPC=45°，AC=PC?tan30°，BC=PC?tan45°．∵AC+BC=AB，∴PC?tan30°+PC?tan45°=100km，∴PC=100，∴PC=50（3﹣）≈50×（3﹣1.732）≈63.4km＞50km．答：森林保護區(qū)的中心與直線AB的距離大于保護區(qū)的半徑，所以計劃修筑的這條高速公路不會穿越保護區(qū)．【點評】解一般三角形的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．16．（7分）（2009?中山）某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？【考點】一元二次方程的應用．【專題】其他問題．【分析】本題可設每輪感染中平均一臺會感染x臺電腦，則第一輪后共有（1+x）臺被感染，第二輪后共有（1+x）+x（1+x）即（1+x）2臺被感染，利用方程即可求出x的值，并且3輪后共有（1+x）3臺被感染，比較該數同700的大小，即可作出判斷．【解答】解：設每輪感染中平均每一臺電腦會感染x臺電腦，依題意得：1+x+（1+x）x=81，整理得（1+x）2=81，則x+1=9或x+1=﹣9，解得x1=8，x2=﹣10（舍去），∴（1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+8）3=729＞700．答：每輪感染中平均每一臺電腦會感染8臺電腦，3輪感染后，被感染的電腦會超過700臺．【點評】本題只需仔細分析題意，利用方程即可解決問題．找到關鍵描述語，找到等量關系準確的列出方程是解決問題的關鍵．17．（7分）（2009?中山）某中學學生會為了解該校學生喜歡球類活動的情況，采取抽樣調查的方法，從足球、乒乓球、籃球、排球等四個方面調查了若干名學生的興趣愛好，并將調查的結果繪制成如下的兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖1，圖2要求每位同學只能選擇一種自己喜歡的球類；圖中用乒乓球、足球、排球、籃球代表喜歡這四種球類中的某一種球類的學生人數），請你根據圖中提供的信息解答下列問題：（1）在這次研究中，一共調查了多少名學生？（2）喜歡排球的人數在扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角是多少度？（3）補全頻數分布折線統(tǒng)計圖．【考點】折線統(tǒng)計圖；頻數與頻率；扇形統(tǒng)計圖．【專題】圖表型．【分析】（1）讀圖可知喜歡乒乓球的有20人，占20%．所以一共調查了20÷20%=100（人）；（2）喜歡足球的30人，應占×100%=30%，喜歡排球的人數所占的比例為1﹣20%﹣40%﹣30%=10%，所占的圓心角為360°×10%=36°；（3）進一步計算出喜歡籃球的人數：40%×100=40（人），喜歡排球的人數：10%×100=10（人）．可作出折線圖．【解答】解：（1）20÷20%=100（人），答：一共調查了100名學生；（2）喜歡足球的占×100%=30%，所以喜歡排球的占1﹣20%﹣40%﹣30%=10%，360°×10%=36°．答：喜歡排球的人數在扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角是36度；（3）喜歡籃球的人數：40%×100=40（人），喜歡排球的人數：10%×100=10（人）．【點評】本題考查學生的讀圖能力以及頻率、頻數的計算．利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．18．（7分）（2009?廣東）在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=5，AC=6．過D點作DE∥AC交BC的延長線于點E．（1）求△BDE的周長；（2）點P為線段BC上的點，連接PO并延長交AD于點Q．求證：BP=DQ．【考點】菱形的性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質．【專題】計算題；證明題．【分析】（1）因為菱形的對角線互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB中利用勾股定理求出OB，然后利用平行四邊形的判定及性質就可以求出△BDE的周長；（2）容易證明△DOQ≌△BOP，再利用它們對應邊相等就可以了．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=3∴OB==4，BD=2OB=8，∵AD∥CE，AC∥DE，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴CE=AD=BC=5，DE=AC=6，∴△BDE的周長是：BD+BC+CE+DE=8+10+6=24．（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠QDO=∠PBO，∵在△DOQ和△BOP中，∴△DOQ≌△BOP（ASA），∴BP=DQ．【點評】本題主要利用菱形的對角線互相垂直平分及勾股定理來解決，也考查了全等三角形的判定及性質．19．（7分）（2009?中山）如圖所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，兩條對角線相交于點O．以OB、OC為鄰邊作第1個平行四邊形OBB1C，對角線相交于點A1；再以A1B1、A1C為鄰邊作第2個平行四邊形A1B1C1C，對角線相交于點O1；再以O1B1、O1C1為鄰邊作第3個平行四邊形O1B1B2C1…依此類推．（1）求矩形ABCD的面積；（2）求第1個平行四邊形OBB1C，第2個平行四邊形和第6個平行四邊形的面積．【考點】矩形的性質；勾股定理；平行四邊形的判定；菱形的性質．【專題】規(guī)律型．【分析】（1）直角三角形ABC中，有斜邊的長，有直角邊AB的長，BC的值可以通過勾股定理求得，有了矩形的長和寬，面積就能求出了．（2）不難得出OCB1B是個菱形．那么它的對角線垂直，它的面積=對角線積的一半，我們發(fā)現第一個平行四邊形的對角線正好是原矩形的長和寬，那么第一個平行四邊形的面積是原矩形的一半，依此類推第n個平行四邊形的面積就應該是×原矩形的面積．由此可得出第2個和第6個平行四邊形的面積．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，AC=20，AB=12∴∠ABC=90°，BC===16∴S矩形ABCD=AB?BC=12×16=192．（2）∵OB∥B1C，OC∥BB1，∴四邊形OBB1C是平行四邊形．∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OC，∴四邊形OBB1C是菱形．∴OB1⊥BC，A1B=BC=8，OA1=OB1==6；∴OB1=2OA1=12，∴S菱形OBB1C=BC?OB1=×16×12=96；同理：四邊形A1B1C1C是矩形，∴S矩形A1B1C1C=A1B1?B1C1=6×8=48；‥‥‥第n個平行四邊形的面積是：∴S6==3．【點評】本題綜合考查了平行四邊形的性質，菱形的性質和勾股定理等知識點的綜合運用，本題中找四邊形的面積規(guī)律是個難點．20．（9分）（2009?中山）（1）如圖1，圓內接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點F，OE⊥AC于點G，求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的．（2）如圖2，若∠DOE保持120°角度不變，求證：當∠DOE繞著O點旋轉時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的．【考點】三角形的外接圓與外心；全等三角形的判定；等邊三角形的性質．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）本題要依靠輔助線的幫助．連接OA，OC，證明Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA后求得S△OAC=S△ABC，易證SOFCG=S△ABC．（2）本題有多種解法．連接OA，OB和OC，證明△AOC≌△COB≌△BOA，求出∠AOC以及∠DOE之間的關系即可．【解答】證明：（1）如圖1，連接OA，OC；∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∵點O是等邊三角形ABC的外心，∴CF=CG=AC，∠OFC=∠OGC=90°，∴在Rt△OFC和Rt△OGC中，，∴Rt△OFC≌Rt△OGC．同理：Rt△OGC≌Rt△OGA．∴Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，S四邊形OFCG=2S△OFC=S△OAC，∴S△OAC=S△ABC，∴S四邊形OFCG=S△ABC．（2）證法一：連接OA，OB和OC，則△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2；設OD交BC于點F，OE交AC于點G，∠AOC=∠3+∠4=120°，∠DOE=∠5+∠4=120°，∴∠3=∠5；在△OAG和△OCF中，∴△OAG≌△OCF，∴S△OAG=S△OCF，∴S△OAG+S△OGC=S△OCF+S△OGC，即S四邊形OFCG=S△OAC=S△ABC；證法二：設OD交BC于點F，OE交AC于點G；作OH⊥BC，OK⊥AC，垂足分別為H、K；在四邊形HOKC中，∠OHC=∠OKC=90°，∠C=60°，∴∠HOK=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，即∠1+∠2=120度；又∵∠GOF=∠2+∠3=120°，∴∠1=∠3，∵AC=BC，∴OH=OK，∴△OGK≌△OFH，∴S四邊形OFCG=S四邊形OHCK=S△ABC．【點評】本題涉及三角形的外接圓知識及全等三角形的判定，難度偏難．21．（9分）（2009?中山）小明用下面的方法求出方程2﹣3=0的解，請你仿照他的方法求出下面另外兩個方程的解，并把你的解答過程填寫在下面的表格中．方程換元法得新方程解新方程檢驗求原方程的解2﹣3=0令=t，則2t﹣3=0t=t=＞0=，所以x=x﹣2+1=0令=t，則t2﹣2t+1=0t1=t2=1t1=t2=1＞0=1，所以x=1x+2+=0令=t，則t2+t=0t1=0，t2=﹣1t1=0≥0，t2=1＜0=0，所以x=﹣2，【考點】換元法解一元二次方程；無理方程．【分析】此方程可用換元法解方程．（1）令=t，則原方程可化為t2+2t﹣3=0；（2）令=t，則原方程可化為t2+t=0．【解答】解：填表如下：方程換元法得新方程解新方程檢驗求原方程的解x﹣2+1=0令=t，則t2﹣2t+1=0t1=t2=1t1=t2=1＞0=1，所以x=1．x+2+=0令=t，則t2+t=0t1=0，t2=﹣1t1=0≥0，t2=﹣1＜0=0，所以x=﹣2．【點評】本題主要考查了換元法，即把某個式子看作一個整體，用一個字母去代替它，實行等量替換．22．（9分）（2009?中山）正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直．（1）證明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）設BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數關系式；當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；（3）當M點運動到什么位置時Rt△ABM∽Rt△AMN，求此時x的值．【考點】二次函數綜合題．【專題】壓軸題．【分析】（1）要證△ABM和△MCN相似，就需找出兩組對應相等的角，已知了這兩個三角形中一組對應角為直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此這兩個角也相等，據此可得出兩三角形相似．（2）根據（1）的相似三角形，可得出AB，BM，MC，NC的比例關系式，已知了AB=4，BM=x，可用BC和BM的長表示出CM，然后根據比例關系式求出CN的表達式．這樣直角梯形的上下底和高都已得出，可根據梯形的面積公式得出關于y，x的函數關系式．然后可根據函數的性質得出y的最大值即四邊形ABCN的面積的最大值，以及此時對應的x的值，也就可得出BM的長．（3）已知了這兩個三角形中相等的對應角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN，那么兩組直角邊就應該對應成比例，即，根據（1）的相似三角形可得出，因此BM=MC，M是BC的中點．即x=2．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，∵AM⊥MN，∴∠AMN=90°，∴∠CMN+∠AMB=90°．在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，∴∠CMN=∠MAB，∴Rt△ABM∽Rt△MCN．（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴，即，∴，∴y=S梯形ABCN=（+4）?4=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，∴當點M運動到離B點的長度為2時，y取最大值，最大值為10．（3）解：∵∠B=∠AMN=90°，∴要使△ABM∽△AMN，必須有，由（1）知，∴=，∴BM=MC，∴當點M運動到BC的中點時，△ABM∽△AMN，此時x=2．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質以及二次函數的綜合應用，根據相似三角形得出與所求的條件相關的線段成比例是解題的關鍵．

考點卡片1．絕對值（1）概念：數軸上某個數與原點的距離叫做這個數的絕對值．①互為相反數的兩個數絕對值相等；②絕對值等于一個正數的數有兩個，絕對值等于0的數有一個，沒有絕對值等于負數的數．③有理數的絕對值都是非負數．（2）如果用字母a表示有理數，則數a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當a是正有理數時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數時，a的絕對值是它的相反數﹣a；③當a是零時，a的絕對值是零．即|a|={a（a＞0）0（a=0）﹣a（a＜0）2．有理數的乘法（1）有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．（2）任何數同零相乘，都得0．（3）多個有理數相乘的法則：①幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正．②幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0．（4）方法指引：①運用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘．②多個因數相乘，看0因數和積的符號當先，這樣做使運算既準確又簡單．3．科學記數法—表示較大的數（1）科學記數法：把一個大于10的數記成a×10n的形式，其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數，這種記數法叫做科學記數法．【科學記數法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數．】（2）規(guī)律方法總結：①科學記數法中a的要求和10的指數n的表示規(guī)律為關鍵，由于10的指數比原來的整數位數少1；按此規(guī)律，先數一下原數的整數位數，即可求出10的指數n．②記數法要求是大于10的數可用科學記數法表示，實質上絕對值大于10的負數同樣可用此法表示，只是前面多一個負號．4．平方根（1）定義：如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根．（2）求一個數a的平方根的運算，叫做開平方．一個正數a的正的平方根表示為“a”，負的平方根表示為“﹣a”．正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根，記作a．零的算術平方根仍舊是零．平方根和立方根的性質1．平方根的性質：正數a有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．2．立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0．5．算術平方根（1）算術平方根的概念：一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x叫做a的算術平方根．記為a．（2）非負數a的算術平方根a有雙重非負性：①被開方數a是非負數；②算術平方根a本身是非負數．（3）求一個非負數的算術平方根與求一個數的平方互為逆運算，在求一個非負數的算術平方根時，可以借助乘方運算來尋找．6．規(guī)律型：圖形的變化類圖形的變化類的規(guī)律題首先應找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯想來解決這類問題．7．冪的乘方與積的乘方（1）冪的乘方法則：底數不變，指數相乘．（am）n=amn（m，n是正整數）注意：①冪的乘方的底數指的是冪的底數；②性質中“指數相乘”指的是冪的指數與乘方的指數相乘，這里注意與同底數冪的乘法中“指數相加”的區(qū)別．（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．（ab）n=anbn（n是正整數）注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數字因數的乘方應根據乘方的意義，計算出最后的結果．8．提公因式法與公式法的綜合運用提公因式法與公式法的綜合運用．9．零指數冪零指數冪：a0=1（a≠0）由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）注意：00≠1．10．換元法解一元二次方程1、解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現．把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的．11．一元二次方程的應用1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設未知數，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．2、列一元二次方程解應用題中常見問題：（1）數字問題：個位數為a，十位數是b，則這個兩位數表示為10b+a．（2）增長率問題：增長率=增長數量原數量×100%．如：若原數是a，每次增長的百分率為a，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數×（1+增長百分率）2=后來數．（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應比例關系，列比例式，通過兩內項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構成直角三角形，可運用直角三角形的性質列方程求解．【規(guī)律方法】列一元二次方程解應用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數量關系．2．設：根據題意，可以直接設未知數，也可以間接設未知數．3．列：根據題中的等量關系，用含所設未知數的代數式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準確求出方程的解．5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．6．答：寫出答案．12．無理方程（1）定義：方程中含有根式，且開方數是含有未知數的代數式，這樣的方程叫做無理方程．（2）有理方程和根式方程（無理方程）合稱為代數方程．（3）解無理方程關鍵是要去掉根號，將其轉化為整式方程．解無理方程的基本思想是把無理方程轉化為有理方程來解，在變形時要注意根據方程的結構特征選擇解題方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設輔助元素法，利用比例性質法等．（4）注意：用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號）來解無理方程，往往會產生增根，應注意驗根．13．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．14．反比例函數綜合題（1）應用類綜合題能夠從實際的問題中抽象出反比例函數這一數學模型，是解決實際問題的關鍵一步，培養(yǎng)了學生的建模能力和從實際問題向數學問題轉化的能力．在解決這些問題的時候我們還用到了反比例函數的圖象和性質、待定系數法和其他學科中的知識．（2）數形結合類綜合題利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關鍵所在．已知點在圖象上，那么點一定滿足這個函數解析式，反過來如果這點滿足函數的解析式，那么這個點也一定在函數圖象上．還能利用圖象直接比較函數值或是自變量的大?。畬敌谓Y合在一起，是分析解決問題的一種好方法．15．二次函數綜合題（1）二次函數圖象與其他函數圖象相結合問題解決此類問題時，先根據給定的函數或函數圖象判斷出系數的符號，然后判斷新的函數關系式中系數的符號，再根據系數與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數與方程、幾何知識的綜合應用將函數知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數在實際生活中的應用題從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數模型．關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數圖象，然后數形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數的取值范圍要使實際問題有意義．16．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．17．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．18．等邊三角形的性質（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．19．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結論是由等邊三角形的性質推出，體現了直角三角形的性質，它在解直角三角形的相關問題中常用來求邊的長度和角的度數．（3）注意：①該性質是直角三角形中含有特殊度數的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．20．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的變形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2及c=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．21．平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB=DC，AD=BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AB=DC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四邊行ABCD是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵OA=OC，OB=OD∴四邊行ABCD是平行四邊形．22．平行四邊形的判定與性質平行四邊形的判定與性質的作用平行四邊形對應邊相等，對應角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或對角的位置上，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的．運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單．凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應直接運用平行四邊形的性質和判定去解決問題．23．菱形的性質（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．（2）菱形的性質①菱形具有平行四邊形的一切性質；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（3）菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=ab．（a、b是兩條對角線的長度）24．矩形的性質（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質①平行四邊形的性質矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質，可以得到直角三角形的一個重要性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．25．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①定點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）