高二(理)數學《離散型隨機變量的均值》

離散型隨機變量的均值高中數學選修2-3主講：胡波復習提問的分布列是什么概念？若離散型隨機變量的所有可能取值為1，2，…，i，…，n，取每一個值ii＝1，2，…，n的概率P

＝i＝pi，則下列表格稱為的分布列pn…pi…p2p1Pxn…xi…x2x1XX01…k…nP……3對于離散型隨機變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機變量相關事件的概率。但在實際問題中，有時我們需要知道隨機變量的平均取值。因此，如何根據離散型隨機變量的分布列，計算隨機變量的均值，就成為一個研究課題探究（一）：隨機變量均值的概念思考1：某商場將單價分別為18元/g，24元/g，36元/g的三種糖果按3︰2︰1的比例混合銷售，則在1g混合糖果中，這三種糖果的質量分別為多少？思考2：如何確定每1g混合糖果的合理定價？思考3：如果混合糖果中每一顆糖果的質量都相等，從

中任取一顆糖果對應的單價為，則隨機變量的分布列是

什么？每1g混合糖果的合理定價與這個分布列有什么關系？P362418合理定價＝隨機變量的每個取值與其對應的概率的乘積之和思考4：若某射手射擊所得的環(huán)數的分布列為如何估計該射手在n次射擊中每次射擊的平均環(huán)數？0.220.290.280.110.1P109876X平均環(huán)數＝隨機變量的每個取值與其對應的概率的乘積之和定義：一般地，若離散型隨機變量的分布列為則稱E＝1p1＋2p2＋…＋ipi＋…＋npn為隨機變量的均值或數學期望。它反映了離散型隨機變量取值的平均水平。pn…pi…p2p1Pxn…xi…x2x1X探究（二）：隨機變量均值的性質思考1：若Y＝a＋b，其中a，b為常數，則Y也是隨機變量，那么PY＝ai＋b與P＝ii＝1，2，…，n有什么關系？PY＝ai＋b＝P＝i思考2：若隨機變量的分布列為P＝i＝pi，i＝1，2，…，n，則隨機變量Y＝a＋b的分布列是什么？··················思考3：若Y＝a＋b，則EY與E的關系如何？由此可得Ea＋b等于什么？EY＝aE＋b，Ea＋b＝aE＋b【例1】籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為07。 1求他罰球1次得到的分數的均值； 2求他罰球3次得到的分數Y的期望。思考4：若隨機變量服從兩點分布P＝＝p1-p1-，＝0，1，則E等于什么？E＝p思考5：若～Bn，p，則E等于什么？E＝np【例2】一次單元測驗由20個選擇題構成，每個選擇題有4個選項，其中僅有一個選項正確。每題選對得5分，不選或選錯得0分，滿分100分。學生甲選對任意一題的概率都為09，學生乙則在測驗中對每題都從各選項中隨機地選擇一個，分別求甲、乙兩個學生在這次測驗中所得成績的期望值學生甲：90分；學生乙：25分【例3】一個袋子里裝有大小相同的5個白球和5個黑球，求下列取法中所含白球個數的數學期望1從中任取4個球；2每次取1個球并放回，連續(xù)取4次（1）E＝2

（2）Y～B4，05，EY＝4×05＝2【例4】有一批數量很大的產品，其次品率是10%，對這批產品進行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品，但抽查次數最多不超過4次求抽查次數ξ的期望【例5】08湖南卷甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約，乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約。設每人面試合格的概率都是05，且面試是否合格互不影響，求：1至少有1人面試合格的概率；2簽約人數ξ的分布列和數學期望Eξ＝1【例6】【2017天津】從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為（Ⅰ）設表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量的分布列和數學期望；（Ⅱ）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到2個紅燈的概率【例7】09全國卷甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束假設在一局中，甲獲勝的概率為06，乙獲勝的概率為04，各局比賽結果相互獨立，已知前2局中，甲、乙各勝1局1求甲獲得這次比賽勝利的概率；2設ξ表示從第3局開始到比賽結束所進

行的局數，求ξ的分布列及數學期望0648Eξ＝248【例8】18年理I卷某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為p0<p<1，且各件產品是否為不合格品相互獨立．（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為fp,求fp的最大值點p0．【例8】（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定p0的作為p的值．已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求E;【例8】（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定p0的作為p的值．已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？1某射手共有5發(fā)子彈，起命中率是09，假定射中目標就停止射擊，求射擊次數ξ的期望課堂練習2已知ξ的分布列為:ξ

101P且設=2ξ3，則的期望值是3已知兩門火炮各自擊中目標的概率都是09，當兩門火炮同時射擊同一目標時，若至少有一發(fā)炮彈命中目標，稱為一次成功發(fā)射，則兩門火炮同時向同一目標發(fā)射10次，求成功發(fā)射的次數ξ的期望Eξ小結作業(yè)1離散型隨機變量的分布列只反映隨機變量在各取值點的概率，離散型隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平2離散型隨機變量的均值由隨機變量的分布列所惟一確定，且隨機變量的均值與隨機變量有相同的單位3離散型隨機變量的均值是常數，樣本數據的平均值隨著樣本的不同而變化，它是一個隨機變量。樣本數據均值隨著樣本容量的增加而趨近于隨機變量的均值，即總體的均值（如拋擲骰子所得點數的均值）4隨機變量均值的性質反映了幾個重要結論，特別是對于二項分布，利用E＝np求數學期望十分簡單【例4