數(shù)字圖像處理幾何變換

第五章數(shù)字圖像處理中的基本運(yùn)算本章主要內(nèi)容和基本要求數(shù)字圖像的基本代數(shù)運(yùn)算數(shù)字圖像的幾何運(yùn)算5.1數(shù)字圖像處理基本運(yùn)算的分類一、圖像處理算法的分類：單幅圖像————單幅圖像多幅圖像————單幅圖像多幅圖像或單幅圖像————數(shù)值/符號（圖像分析）二、根據(jù)基本運(yùn)算分類點(diǎn)運(yùn)算鄰域運(yùn)算5.2點(diǎn)運(yùn)算一、數(shù)字圖像的代數(shù)運(yùn)算1、基本代數(shù)運(yùn)算基礎(chǔ)：設(shè)圖像其運(yùn)算可以分為圖像自身的運(yùn)算和圖像間的運(yùn)算，從根本上而言可以看成對圖像位置的運(yùn)算或?qū)υ撐恢蒙匣叶燃壍倪\(yùn)算?；敬鷶?shù)運(yùn)算：圖像象素幾何位置不變圖像灰度級的加、減、乘、除等運(yùn)算。幾何運(yùn)算：圖像象素位置變換后，經(jīng)過計(jì)算，確定該象素灰度的運(yùn)算。例如圖像f和g：代數(shù)運(yùn)算就是二者點(diǎn)對點(diǎn)的加、減、乘、除運(yùn)算。對f圖所有灰度加c級灰度可作如下處理：J=f+c給整幅圖像增加灰度級會使圖像亮度得到提高整體偏亮，給個(gè)別象素加灰度值可以使目標(biāo)景物突出，例如：給一幅圖像乘以一個(gè)系數(shù)，可以改變圖像的灰度級范圍如：原來是20－200的灰度級范圍，乘以2則有40－400的灰度級范圍兩幅連續(xù)的圖像運(yùn)算可以有基本運(yùn)算組合而成如：K＝af＋bg：二、代數(shù)運(yùn)算的用途可以對同一場景的多幅圖像求平均，以降低加性零值平穩(wěn)噪聲。兩幅圖像疊加達(dá)到二次曝光的效果。減去圖中不需要的加性噪聲。計(jì)算兩幅場景的變化。檢測輪廓，確定輪廓現(xiàn)。5.3圖像的幾何運(yùn)算幾何運(yùn)算也叫幾何變換：包括圖象的平移，旋轉(zhuǎn)，鏡象變換，轉(zhuǎn)置，放縮等。一．平移(translation)

將圖像沿水平或垂直方向移動位置后，獲得新的圖像的變換方式。例如：圖像坐標(biāo)中象素點(diǎn)（x0,y0)移動到（x1,y1)位置灰度不變。（x0,y0)點(diǎn)，經(jīng)過平移（tx,ty），變?yōu)辄c(diǎn)（x1,y1）兩點(diǎn)之間的關(guān)系為：x1=x0+tx;y1=y0+ty.以矩陣的形式表示為:我們更關(guān)心的是它的逆變換：因?yàn)椋何覀兿胫赖氖瞧揭坪蟮膱D象中每個(gè)像素的顏色。x0=x1-tx,y0=y1-ty例如：新圖中左上角點(diǎn)的RGB值是多少？很顯然，該點(diǎn)是原圖中的某一點(diǎn)經(jīng)過平移后得到的，這兩點(diǎn)的顏色肯定是一樣的，所以只要知道了原圖那點(diǎn)的RGB值即可。那么到底新圖中的左上角點(diǎn)對應(yīng)原圖中的哪一點(diǎn)呢？將左上角點(diǎn)的坐標(biāo)（0,0）代入公式(2)，得到x0=-tx；y0=-ty；所以新圖中的(0,0)點(diǎn)的顏色和原圖中（-tx,-ty）的一樣。設(shè)用表示新圖，用

表示原圖。在新圖的坐標(biāo)系中是左上角的象素，原圖中的象素在新坐標(biāo)系中的位置變成了f（－tx,-ty)，新的坐標(biāo)系中g(shù)(0,0)＝f(-tx,-ty)。例如：平移后出現(xiàn)的問題1、如果新圖中有一點(diǎn)（x1,y1），按照公式(2)得到的(x0,y0)不在原圖中該怎么辦？通常的做法是，把該點(diǎn)的RGB值統(tǒng)一設(shè)成(0,0,0)或者(255,255,255)。2、平移后的圖象是否要放大？一種做法是不放大，移出的部分被截?cái)?，如下圖所示，圖2為原圖，圖3為移動后的圖。這種處理，文件大小不會改變。

平移前的圖平移后的圖像還有一種做法是：將圖象放大，使得能夠顯示下所有部分

移動后被放大圖像這種處理，文件大小要改變。設(shè)原圖的寬和高分別是w1,h1則新圖的寬和高變?yōu)閣1+|tx|和h1+|ty|，加絕對值符號是因?yàn)閠x,ty有可能為負(fù).下面給出Translation的源代碼。算法的思想是先將所有區(qū)域填成白色，然后找平移后顯示區(qū)域的左上角點(diǎn)(x0,y0)和右下角點(diǎn)(x1,y1)。分幾種情況：

先看x方向(width指圖象的寬度)

1.tx≤-width

很顯然，圖象完全移出了屏幕，不用做任何處理

2．-width<tx≤0，如圖5所示圖像向左上方移動

圖象區(qū)域的x范圍從0到width-|tx|,對應(yīng)原圖的范圍從|tx|到width

圖53．0<tx<width,如圖6所示,圖像向右下方平移0<tx<width,0<ty<height的情況圖象區(qū)域的x范圍從tx到width,對應(yīng)原圖的范圍從0到width-tx圖64．tx≥width,圖象完全移出了屏幕，不用做任何處理。y方向是對應(yīng)的（height表示圖象的高度1．ty≤-height，圖象完全移出了屏幕，不用做任何處理

2．-height<ty≤0，圖象區(qū)域的y范圍從0到height-|ty|,對應(yīng)原圖的范圍從|ty|到height

3．0<ty<height，圖象區(qū)域的y范圍從ty到height,對應(yīng)原圖的范圍從0到height-ty

4．ty≥height，圖象完全移出了屏幕，不用做任何處理）這種做法利用了位圖存儲的連續(xù)性，即同一行的像素在內(nèi)存中是相鄰的。利用memcpy函數(shù)，從(x0,y0)點(diǎn)開始，一次可以拷貝一整行（寬度為x1-x0），然后將內(nèi)存指針移到(x0,y0+1)處，拷貝下一行，這樣拷貝(y1-y0)行就完成了全部操作，避免了一個(gè)一個(gè)像素的計(jì)算，提高了效率。二、旋轉(zhuǎn)(rotation)圖像旋轉(zhuǎn)是指圖像以某一點(diǎn)作為軸轉(zhuǎn)過一定的角度。通常的做法是以圖象的中心為圓心旋轉(zhuǎn)。例如：圖7旋轉(zhuǎn)30度（順時(shí)針方向）后的圖象如圖8所示.可以看出，旋轉(zhuǎn)后圖象變大了。

圖－8旋轉(zhuǎn)后的圖圖－7原圖若要使旋轉(zhuǎn)后保持原尺寸圖像就要進(jìn)行裁切有些內(nèi)容就會損失。我們采用第一種做法圖像旋轉(zhuǎn)變換矩陣

先來看一下，將一個(gè)點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角后的坐標(biāo)變換公式，如圖10所示，r為該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，在旋轉(zhuǎn)過程中，r保持不變。b為r與x軸之間的角度。x0=r*cos(b)；y0=r*sin(b)圖10旋轉(zhuǎn)前：x0=r*cos(b)；y0=r*sin(b)

旋轉(zhuǎn)a角度后：以矩陣的形式表示

其逆矩陣的形式表示為上面的公式中，坐標(biāo)系I是以圖象的中心為原點(diǎn)，向右為x軸正方向，向上為y軸正方向。它和以圖象左上角點(diǎn)，向右為x軸正方向，向下為y軸正方向的坐標(biāo)系II之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如何呢？

兩種坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系逆變換為：按照上面的公式，我們可以把變換分成3步：第一：將坐標(biāo)系II變成I；

第二：將該點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角；

第三：將坐標(biāo)系I變回II，這樣，我們就得到了變換矩陣，是上面三個(gè)矩陣的級聯(lián)。

上面公式中Wold表示原圖的寬,Hold表示原圖的高,Wnew新圖的寬,Hnew新圖的高，可以看出

Wnew=max(|x4-x1|,|x3-x2|);Hnew=max(|y4-y1|,|y3-y2|).可以根據(jù)以上公式，求出對應(yīng)的原圖中的點(diǎn)，得到它的灰度，如果超出原圖范圍則填成白色。要注意的是，由于有浮點(diǎn)運(yùn)算，計(jì)算出來點(diǎn)的坐標(biāo)可能不是整數(shù)，采用取整處理，即找最接近的點(diǎn)，這樣會帶來一些誤差（圖象可能會出現(xiàn)鋸齒），更精確的方法是采用插值。插值算法后面詳細(xì)介紹。三、鏡象(mirror)

鏡象分水平鏡象和垂直鏡象兩種

原圖水平鏡像垂直鏡像鏡象的變換矩陣很簡單，設(shè)原圖寬為w，高為h，變換后，圖的寬和高不變.

水平鏡象為：

垂直鏡象為

四、轉(zhuǎn)置(transpose)

轉(zhuǎn)置是指將x,y坐標(biāo)對換原圖轉(zhuǎn)制后的圖要注意的是，轉(zhuǎn)置和旋轉(zhuǎn)90度是有區(qū)別的，不信你可以試試，你怎么轉(zhuǎn)，也轉(zhuǎn)不出圖15度來。另外，轉(zhuǎn)置后圖的寬高對換了。

轉(zhuǎn)置的變換矩陣很簡單:五、縮放（zoom）

圖像比例縮放是指將給定的圖像在x軸方向按比例縮放fx倍，沿y軸方向比例縮放fy。當(dāng)fx＝fy時(shí)，稱為圖像的全比例縮放。當(dāng)fx?fy時(shí)，圖像象素間的相對位置會發(fā)生畸變。設(shè)原圖像中的點(diǎn)P(x0,，y0),比例縮放后在新的圖像中對應(yīng)點(diǎn)P(x,y)，P(x0,，y0)和P(x,y)之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示：比例縮放前后兩點(diǎn)之間的關(guān)系用矩陣表示為：其逆矩陣為：插值算法（Interpolation）

比例縮放所產(chǎn)生的圖像中有可能在原圖中找不到相應(yīng)的象素點(diǎn),我們采用的做法是找與之最臨近的點(diǎn)，我們采用的做法是找與之最臨近的點(diǎn)。即利用鄰域的像素來估計(jì)新的像素值的處理方法就是插值算法。常用的插值算法有：最鄰近插值（NearestNeighbourInterpolation）。

線形插值(LinearInterpolation)。雙線形插值（BilinearIntrepolation）曲線插值（CurvilinearInterpolation）（1）最臨近插值圖像變換后找不到相應(yīng)的象素點(diǎn)時(shí)，直接賦值為和它最相近的的象素值的插值算法。例如：在圖像的縮放中，將一幅6×6的圖像按比例縮小，fx＝fy＝1/2,圖像的長和寬均縮小到原來的一半，成為一幅3×3的圖像。原圖像的象素從（0，0）到（5，5），新圖像的象素從（0，0）到（2，2）。如下圖：6×6的原圖f新圖中的灰度值利用縮放公式計(jì)算得到X0=0/0.5=0y0=0X1=1/0.5=2y1=2X2=2/0.5=4y2=4g(0,0)=f(0,0),g(0,1)=f(0,2),g(0,2)=f(0,4),g(1,0)=f(2,0),g(1,1)=f(2,2),g(1,2)=f(2,4)g(2,0)=f(4,0),g(2,1)=f(4,2),g(2,2)=f4,4)3×3的新圖g6×6的原圖f圖像縮小，可以在原圖像中挑選信息，縮小之后的圖與原圖像比較丟失了很多信息。圖像放大處理中，需要對放大后多出來的空格填入適當(dāng)?shù)南笏刂?，采用最臨近插值法舉例如下：4×4的以原圖f長和寬各放大2倍，利用公式得到8×8的新圖像。新圖像中各象素位置X0=0Y0=0X1=0.5Y1=0.5X2=1Y2=1X3＝1.5Y3=1.5X4=2Y4=2X5=2.5Y5=2.5X6=3Y6=3X7=3.5Y7=3.5g(0,0)=f(0,0)g(0,1)=f(0,0.5)g(0,2)=f(0,1)g(0,3)=f(0,1.5)g(0,4)=f(0,2)g(0,5)=f(0,2.5)g(0,6)=f(0,3)g(0,7)=f(0,3.5)g(1,0)=f(0.5,0)g(1,1)=f(0.5,0.5)g(1,2)=f(0.5,1)g(1,3)＝f(0.5,1.5)g(1,4)=f(0.5,2)g(1,5)=f(0.5,2.5)g(1,6)=f(0.5，3）g(1,7)=f(0.5,3.5)g(2,0)=f(1,0)g(2,1)=f(1,0.5)g(2,2)=f(1,1）g(2,3)=f(1,1.5)g(2,4)=f(1,2)g(2,5)=f(1,2.5)g(2,6)=f(2,3）g(2,7)=f(1,3.5)g(3,0)=f(1.5,0)g(3,1)=f(1.5,0.5)g((3,2)=f(f(1.5,1)g(3,3)=f(1.5,1.5)g(3,4)=f(1.5,2)g(3,5)=f(1.5,2.5）g(3,6)=f(1.5,3)g(3,7)=f(1.5,3.5)g(4,0)=f(2,0)g(4,1)＝f(2,0.5)g(4,2)=f(2,1)g(4,3)=f(2,1.5）g(4,4)=f(2,2)g(4,5)=f(2,2.5)g(4,6)=f(2,3)g(4,7)=f(2,3.5)g(5,0)=f(2.5,0)g(5,1)＝f(2.5,0.5)g(5,2)=f（2.5,1)g(5,3)=f(2.5,1.5）g(5,4)=f(2.5,2)g(5,5)=f(2.5,2.5)g(5,6)=f(2.5,3)g(5,7)=f(2.5,3.5)g(6,0)=f(3,0)g(6,1)＝f(3,0.5)g(6,2)=f（3,1)g(6,3)=f(3,1.5）g(6,4)=f(3,2)g(6,5)=f(3,2.5)g(6,6)=f(3,3)g(6,7)=f(3,3.5)g(7,0)=f(3.5,0)g(7,1)f(3.5,0.5)g(7,2)=f(3.5,1)g(7,3)=f(3.5,1.5）g(7,4)=f(3.5,2)g(7,5)=f(3.5,2.5)g(7,6)=f(3.5,3)g(7,7)=f(3.5,3.5)

放大后8×8的新圖(2)線形插值線形插值是使用原圖中兩個(gè)值來構(gòu)造所求坐標(biāo)處的值。例如：如圖所示，如果已經(jīng)知道了兩點(diǎn)x0,x2處的函數(shù)值f(x0),f(x2)，現(xiàn)在要求x1處的函數(shù)值f(x1)。我們假設(shè)函數(shù)是線性的，利用幾何知識可以知道:

雙線性插值在圖象處理中需要將線形插值擴(kuò)展到二維的情況，即采用雙線形插值（BilinearIntrepolation）例如：已知四點(diǎn)f(x0,y0),f(x