第7章第40講-立體幾何

課時達標第40講■立體幾何一、選擇題若a,“表示兩個不同的平面，直線加Ua,則"a丄是“加丄0”的（）充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件B解析由面面垂直判定走理得加丄“,"Cana丄“，而a丄0時，a內任意直線不可能都垂直于“,因此“a丄0”是“加丄的必要不充分條件.故選B.已知平而a丄平面?zhèn)鸻CB=l,點AGa,人創(chuàng)，直線AB//1,直線AC丄人直線加〃a,m"B、則下列四種位宜關系中，不一定成立的是（）AB//m B?AC丄加C?AB//p D?ACA.fiD解析如圖所示rABII/IIa??；AC丄/fmWl^AC丄〃？；ABWl^ABWp,只有D項不一走成立.故選D.（2019?忻州二中月考）設皿“是兩條不同的直線，a,Qy是三個不同的平而.下列命題中正確的有（）若加U0,a丄傷則加丄a；②若a〃0, 則加〃0；若"丄a,"丄艮加丄a,則加丄0；④若a丄""丄八則a丄0?A.①③ B.①②C.③④ D.②③D解析由面面垂直的性質走理知若niUR<a丄"，且加垂直于a,“的交線時，加丄a,故①錯誤；若all0,則a,“無交點，又〃?Ua,所以mII",故②正確；若n±a,"丄“，則a110,又加丄a,所以加丄0,故③正確；若a丄）,，“丄y,不能得出a丄8,故④錯誤?4?如圖，在斜三棱柱ABC-AiBiC,中，ZBAC=90SBCiXAC,則C】在底面ABC上的射影H必在（）c兒直線A3上直線BC上直線AC上D?ZVIBC內部A解析因為AC丄ABtAC丄BC】，所以AC丄平面ABC]?又因為ACC平面ABC,所以平面ABCi丄平面ABC,所以Ci在底面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上?5?如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AD=AB.ZBCD=45°,ZBAD=90°>將厶ABD沿BD折起，使平而ABD丄平而BCD,構成三棱錐A-BCD.則在三棱錐A-BCD中，下列命題正確的是（）平而ABD丄平而ABC平而ADC丄平而BDC平而ABC丄平而BDC平而ADC丄平而ABCD解析在平面圖形中CD丄BD.折起后仍有CD丄BD.由于平面ABD丄平面BCDt

故CD丄平面ABD,CD丄AB,又AB丄ADz故AB丄平面ADCr所以平面ABC丄平面ADC.（2019?寶雞質檢）對于四而體ABCD,給出下列四個命題：①若AB=AC,BD=CD.貝\\BC丄AD：②若AB=CD,AC=BD,貝QBC丄AD；③若AB丄AC.BD丄CD,貝ljBC丄AD：④若AB丄CD,AC丄BD,貝ijBC丄AD.其中為真命題的是（）A.①② B.②③C.②④ D.①④D解析①如圖?取BC的中點連接AM,DM?由AB二AC=MM丄BC,同理,DM

丄BC=BC丄平面AMDr而ADU平面AMD,故BC丄AD；④設A在平面BCD內的射影為

Ot連接BO,CO,DOAB丄CD=BO丄CDf由AC丄BD=CO丄BD=O臥BCD的垂心=>DO丄BC=AD丄BC.I)二、填空題如圖，已知用丄平而ABC,BC丄AC,則圖中直角三角形的個數為 解析因為用丄平面ABC,所以PA丄BC,又AC丄BC,所以BC丄平面PAC,所以幾何體中的直角三角形有△刊B,^PAC.馬眈和±PBC,共4個.答案4（2019?合肥三中月考）已知“，b表示兩條不同的直線，a,傷y表示三個不同的平面,給岀下列命題：若 bUa、"丄b,貝9a丄“：若aUa,a垂直于0內的任意一條直線,則a丄“：若a丄艮aC\fi=a,aC\y=b,貝lj"丄b：若“不垂直于平而g則“不可能垂直于平而a內的無數條直線；若“丄a,“丄艮貝Ija〃呂?其中正確命題的序號是 .解析①一個平面內的一條直線與另一個平面內的一條直線垂直，這兩個平面不一走垂直，故①錯誤；②滿足兩個平面垂直的走義,故②正確；③若a丄久aW二"，My二b,則“與b平行或相交（相交時可能垂直匚故③錯誤；④若“不垂直于平面a”但“可能垂直于平面a內的無數條直線，故④錯誤；⑤垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，故⑤正確?答案②⑤9?如圖，在直四棱柱ABCD-A}B}CxDx中，ZADC=90°9RAAi=AD=DC=29MG平面ABCD,當DiM丄平而AiGD時，DM= ?n解析因為DA二DC=AAi二DDi，且DAtDC.DDx兩兩垂直,故當點M使四邊形ADCM為正方形時，DM丄平面AQD,所以DM二2也答案2返三、解答題10.如圖，在四棱柱ABCD-AxBiCiDi中，側ADDiAi和側面CDDiCi都是矩形，BC//AD.AABD是邊長為2的正三角形，E,F分別為AD.AiD的中點.求證：DDi丄平面ABCDx求證：平而A0E丄平而ADDXAX.證明(1)因為側面ADDxAx和側面CDDQ都是矩形，所以DDi±AD，且DD丄CD因為ADCCD二D,所以DD丄平面ABCD.⑵因為乙ABD是正三角形，且E為AD中點r所以BE丄AD,因為DD]丄平面ABCDf而BEU平面ABCDt所以BE丄DD?因為ADC]DDi=D,所以BE丄平面ADD\Ai,又因為BEU平面A\BEt所以平面A\BE丄平面ADD\A\.11.(2019-渭南檢測)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,刊丄平而ABCD.E,F分別是線段AB,BC的中點.證明：PF丄FD；若PA=1,求點E到平而PFD的距離.解析⑴證明：連接AF,則AF=d又DF=￡,AD=2.所以DF2+AF2=AD2.所以DF丄AF?因為用丄平WiABCD,所以DF丄用，^PAQAF=A.所以DF丄平而用八又PFU平面刊F,所以DF丄PF?53⑵連接￡P，ED,EF?因為S“FD=S處彫ABCD—Sa?BEF—S￡ADE—SMDF=2—g=4、所以V1 13 1rtWtP-￡FD=^5a￡￡D-=*^x—X1=毎?設點E到'I'THIPFD的Fli?罔為力，則由V:^tf￡PFD=V??:pEFD得|sapfd-/i=|x^./,=|,解得h書,即點E到平而PFD的距離為爭.12.（2016浙江卷）如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平而BCFE丄平而ABC,ZACB=90°,BE=EF=FC=\,BC=2,AC=3.（1） 求證：BF丄平面ACFD；（2） 求直線BD與平而ACFD所成角的余弦值.解析（1）證明：延長AD,BEtCF相交于一點K,如圖所示?因為平面BCFE丄平面ABC,且AC±BCr所以AC丄平面BCK.因此BF丄AC.又因為EFHBC,BE二EF二FC二—BC二2,所以汕CK為等邊三角形，且F為CK的中點f則BF丄CK,所以丄平面ACFD.⑵因為BF丄平面ACKt所以乙BDF是直線BD與平面ACFD所成的角?3在R2BFD中，BF二心tDF二得coszBDF=DFDFcoszBDF=BD、］bf2十DF?7所以直線BD與平面ACFD所成角的余弦值為警1.13.［選做題］如圖，在直角梯形ABCD中，BC丄DC.AE丄DC,N,M分別是AD,BE的中點，將三角形ADE沿AE折起，下列說法正確的是 （填上所有正確說法的序號）.不論D折至何位置（不在平而ABC內）都有M/V〃平而DEC；不論D折至何位置都有MN丄AE：不論D折至何位置（不在平而ABC內）都有MN//AB.解析①如圖，分別取EC,DE的中點P.