勾股定理建模教學案例

GBC,7GBC,7F勾股定理的應(yīng)用專題教學案例一、教材分析勾股定理是我國古代數(shù)學的一項偉大成就，它為我們提供了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系,其逆定理又為我們提供了判斷三角形是否為直角三角形的依據(jù)，這些成果被廣泛地應(yīng)用于數(shù)學和實際生活的各個方面。本節(jié)是在學生學完勾股定理的基礎(chǔ)上的一節(jié)應(yīng)用專題課，把勾股定理的應(yīng)用歸納為三類：1、已知兩邊求第三邊；2、已知一邊和另外兩邊的關(guān)系求邊長；3、已知有公共邊（或相等邊）的兩個直角三角形求邊長。通過這節(jié)課的學習，學生進一步理解勾股定理的應(yīng)用方法，同時也為學生對數(shù)學與生活之間的聯(lián)系有一個更深層次的體會。二、教學目標1、能利用建模的思想構(gòu)造出直角三角形解決問題；2、已知兩邊利用勾股定理構(gòu)造直角三角形求第三邊；3、已知一邊和另外兩邊的關(guān)系利用勾股定理列方程求邊長；4、已知有公共邊（或相等的邊）的兩個直角三角形求邊長。三、教學重點準確的判斷出題目屬于三大類型中的哪一類并熟練地解決實際問題。四、教學難點根據(jù)實際情形準確的構(gòu)造出（或找出）直角三角形，把實際問題抽象出相應(yīng)的數(shù)學模型。五、教法啟發(fā)引導，合作交流、構(gòu)建模型。六、教學過程1、情境導入引用數(shù)學大師華羅庚的一句話“把勾股定理送到外星球，與外星人進行數(shù)學交流！-華羅庚”，讓學生感受勾股定理的我們實際生活中起著舉足輕重的作用。設(shè)計意圖：讓學生感受勾股定理的重要性。2、教學新知（1）展示圖片“斜拉橋”，索塔、橋面與索拉組成許多直角三角形。提問：已知橋面以上索塔AB的高，你能計算AC、AD、AE、AF、AG的長嗎.設(shè)計意圖：從學生身邊的熟悉的例子入手，讓學生體會：已知一條邊的長度是不能求出其他邊的長度的。從而順利的引導出還需要再添加條件才行。（2）例1、上圖，斜拉橋問題，已知橋面以上索塔AB=4米，BC=3米，求AC的長.設(shè)計意圖：從最簡單的出發(fā)，總結(jié)出勾股定理應(yīng)用的第一種類型：已知兩條邊的長度求其三條邊，學生迅速的利用勾股定理解決了問題。（3）例2、上圖，斜拉橋問題，已知橋面以上索塔AB=4米，AC比BC長2米，求AC的長.設(shè)計意圖：讓學生總結(jié)出勾股定理應(yīng)用的第二種類型：已知一條邊的長和另外兩條邊的關(guān)系，利用勾股定理列方程來解決問題。順便強調(diào)出“勾股定理”也是列方程的等量關(guān)系式。練習1、如圖一直角三角形紙片，兩直角邊AC=3cm, /BC=4cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在 .斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于多少？2、如圖，一張長方形紙片寬AB=8cm,長BC=10cm現(xiàn)將紙片折疊，使頂點D落在BC邊上的點F處（折痕為AE）,求EC的長.設(shè)計意圖：通過從三角形的折疊再到矩形的折疊，讓學生學會兩點：一是學會正確的找到用來列方程的那個直角三角形；二是再次強調(diào)己知一邊和另外兩組邊的關(guān)系通過利用勾股定理列方程來解決。（4）例3、如圖，鐵路上A、B兩點相距25km,C、D為兩村莊，DA_LAB于A,CB_LAB于B,已知DA=15km,CB=10km,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E,使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站多少千米處？分析:題目要求EA的長度，在哪個直角三角形里面？屬于上面我們學過的兩種類型嗎？不是上面兩種類型怎么辦？有沒有其他的等量關(guān)系？可以討論一下。設(shè)計意圖：讓學生發(fā)現(xiàn)例3不屬于例1和例2講的兩種類型，但發(fā)現(xiàn)有兩個直角三角形，并且他們有兩條相等的邊，可以利用相等的邊作為等量關(guān)系式來列方程解決問題。從而歸納出利用勾股定理解決問題的第三種類型：已知有相等邊的兩個直角三角形，利用相等的邊作為等量關(guān)系式來列方程。練習1：有一名碼頭工人站在碼頭上拉動一艘小船，此時鄉(xiāng)AC長20米，收取繩子5米時，小船向碼頭靠近了7米，此時船距碼頭幾米？碼頭距水面有多高設(shè)計意圖：總結(jié)出具有公共邊的兩個直角三角形也可以利用公共邊作為等量關(guān)系式來列方程解決問題。并補充第三種類型：已知有相等邊（或公共邊的）的兩個直角三角形，利用相等的邊（或公共邊）作為等量關(guān)系式來列方程。練習2、如圖所示，等腰三角形ABC的底邊BC為8cm,腰長為5cm,一動點P在底邊上從點B向點C以lcm/s的速度移動，（1）求三角形ABC的面積。（2）請你探究：當P運動幾秒時，P點與頂點A的連線PA與腰垂直？分析：第一問請學生自己獨立完成。第二問，有沒有公共邊的兩個直角三角形？如何構(gòu)造直角三角形？（學生分組討論）設(shè)計意圖:通過作輔助線構(gòu)造有公共邊的兩個直角三角形利用相等關(guān)系來列方程解決問題。當然這里也涉及到分類討論的思想：PA分別于BA和CA兩個邊垂直。七、教學反思本節(jié)課從索拉橋引入，通過提問學生,“已知一條邊的長度能不能求另外兩邊的長度？”感受已知一條邊的長度還需要再添加條件。接著從再添加一條邊的長度或再添加兩外兩組邊的關(guān)系來解決問題，最后再拋出具有相等邊或公共邊的兩個直角三角形。從而歸納勾股定理應(yīng)用的三種類型：1、已知兩條邊的長度利用勾股定理求第三條邊的長度；2、已知一條邊的長度和另外兩條邊的關(guān)系利用勾股定理來列方程求出未知邊；3、已知有公共邊（或相等邊）的兩個直角三角形利用公共邊（或相等邊）作為等量關(guān)系式來列方程。三種類型由易到難，層層推進，例題與講解相結(jié)合，使學生在輕松的學習氛圍中利用用勾股定理解決問題，體現(xiàn)數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，幫助學生理解數(shù)學中的化歸思想、分類討論和建模思想。在教學中注重以小組合作的形式設(shè)計，讓學生人人參與，提高學習興趣，通過教師的引導，盡可能多的給學生提供積極思考，交流的機會，達到合作交流的目的，使不同的學生在交流合作的過程中得到不同的發(fā)展。本節(jié)課下來學生基本掌握三種類型，并能較