七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題03 絕對(duì)值壓軸題（最值與化簡）專項(xiàng)講練-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難題型全歸納及技巧提升專項(xiàng)精練（人教版）（解析版）

/專題03絕對(duì)值壓軸題（最值與化簡）專項(xiàng)講練專題1.最值問題最值問題一直都是初中數(shù)學(xué)中的最難點(diǎn)，但也是高分的必須突破點(diǎn)，需要牢記絕對(duì)值中的最值情況規(guī)律，解題時(shí)能達(dá)到事半功倍的效果。題型1.兩個(gè)絕對(duì)值的和的最值【解題技巧】目的是在數(shù)軸上找一點(diǎn)x，使x到a和b的距離和的最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當(dāng)時(shí)無法確定當(dāng)時(shí)的值為定值，即為當(dāng)無法確定結(jié)論：式子在時(shí)，取得最小值為。例1.（2021·珠海市初三二模）閱讀下面材料：數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物．有了數(shù)軸以后，可以用數(shù)軸上的點(diǎn)直觀地表示實(shí)數(shù)，這樣就建立起了“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系．在數(shù)軸上，若點(diǎn)，分別表示數(shù)，，則，兩點(diǎn)之間的距離為．反之，可以理解式子的幾何意義是數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)3兩點(diǎn)之間的距離．則當(dāng)有最小值時(shí)，的取值范圍是（）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意將可以理解為數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)x與實(shí)數(shù)-2的距離，實(shí)數(shù)x與實(shí)數(shù)5的距離，兩者的和，分三種情況分別化簡，根據(jù)解答即可得到答案.【解析】方法一：代數(shù)法（借助零點(diǎn)分類討論）當(dāng)x<-2時(shí)，=（-2-x）+（5-x）=3-2x；當(dāng)時(shí)，=（x+2）+（5-x）=7；當(dāng)x>5時(shí)，=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴有最小值，最小值為7，此時(shí)，故選：D.方法二：幾何法（根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義）可以理解為數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)x與實(shí)數(shù)-2的距離，實(shí)數(shù)x與實(shí)數(shù)5的距離，兩者的和，通過數(shù)軸分析反現(xiàn)當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為7。【點(diǎn)睛】此題考查依據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡絕對(duì)值，正確理解題意，得到表示的意義，再利用分類思想解答問題.變式1．（2022·江蘇蘇州·七年級(jí)階段練習(xí)）同學(xué)們都知道，|5－（－2）|表示5與－2之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為5與－2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：（1）求|5－（－2）|＝_______．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7這樣的負(fù)整數(shù)是_____________．（3）由以上探索猜想對(duì)于任何有理數(shù)x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有寫出最小值，如果沒有說明理由．【答案】（1）7；（2）﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）最小值是3【分析】（1）根據(jù)題目中的式子和絕對(duì)值可以解答本題；（2）分別討論當(dāng)x＞2時(shí)，當(dāng)﹣5≤x≤2時(shí)，當(dāng)x＜﹣5時(shí)去絕對(duì)值進(jìn)行求解即可；（3）同（2）利用分類討論的思想進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7．故答案為：7；（2）當(dāng)x＞2時(shí)，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2與x＞2矛盾，故此種情況不存在；當(dāng)﹣5≤x≤2時(shí)，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2時(shí)，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整數(shù)是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；當(dāng)x＜﹣5時(shí)，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5與x＜﹣5矛盾，故此種情況不存在．故答案為：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．理由如下：當(dāng)x＞6時(shí)，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3；當(dāng)3≤x≤6時(shí)，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3；當(dāng)x＜3時(shí)，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3．故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸、絕對(duì)值，解答本題的關(guān)鍵是明確數(shù)軸的特點(diǎn)和絕對(duì)值，利用數(shù)軸和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．例2.（2022·河南·鄭州外國語中學(xué)七年級(jí)期末）數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．例如：從“形”的角度看：可以理解為數(shù)軸上表示3和1的兩點(diǎn)之間的距離；可以理解為數(shù)軸上表示3與﹣1的兩點(diǎn)之間的距離．從“數(shù)”的角度看：數(shù)軸上表示4和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離可用代數(shù)式表示為：4-（-3）．根據(jù)以上閱讀材料探索下列問題：(1)數(shù)軸上表示3和9的兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示2和﹣5的兩點(diǎn)之間的距離是；（直接寫出最終結(jié)果）(2)①若數(shù)軸上表示的數(shù)x和﹣2的兩點(diǎn)之間的距離是4，則x的值為；②若x為數(shù)軸上某動(dòng)點(diǎn)表示的數(shù)，則式子的最小值為．【答案】(1)6，7；(2)①－6或2；②4【分析】（1）直接根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求解即可；（2）①根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式列絕對(duì)值方程，然后解方程即可；②由于所給式子表示x到－1和3的距離之和，當(dāng)x在－1和3之間時(shí)和最小，故只需求出－1和3的距離即可．(1)解：數(shù)軸上表示3和9的兩點(diǎn)之間的距離是｜9－3｜=6，數(shù)軸上表示2和﹣5的兩點(diǎn)之間的距離是｜2－（－5）｜=7，故答案為：6，7；(2)解：①根據(jù)題意，得：｜x－(－2)｜=4，∴｜x+2｜=4，∴x+2=－4或x+2=4，解得：x=－6或x=2，故答案為：－6或2；②∵表示x到－1和3的距離之和，∴當(dāng)x在－1和3之間時(shí)距離和最小，最小值為｜－1－3｜=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離，會(huì)靈活運(yùn)用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離解決問題是解答的關(guān)鍵．變式2.（2022?思明區(qū)校級(jí)期末）同學(xué)們都知道|5﹣（﹣2）|表示5與（﹣2）之差的絕對(duì)值，也可理解為5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離，試探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整數(shù)是．（3）由以上探索猜想，對(duì)于任何有理數(shù)x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．【分析】（1）直接去括號(hào)，再按照去絕對(duì)值的方法去絕對(duì)值就可以了．（2）要x的整數(shù)值可以進(jìn)行分段計(jì)算，令x+5＝0或x﹣2＝0時(shí)，分為3段進(jìn)行計(jì)算，最后確定x的值．（3）根據(jù)（2）方法去絕對(duì)值，分為3種情況去絕對(duì)值符號(hào)，計(jì)算三種不同情況的值，最后討論得出最小值．【解答】解：（1）原式＝|5+2|＝7故答案為：7；（2）令x+5＝0或x﹣2＝0時(shí)，則x＝﹣5或x＝2當(dāng)x＜﹣5時(shí)，∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7，﹣x﹣5﹣x+2＝7，x＝5（范圍內(nèi)不成立）當(dāng)﹣5＜x＜2時(shí)，∴（x+5）﹣（x﹣2）＝7，x+5﹣x+2＝7，7＝7，∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1當(dāng)x＞2時(shí)，∴（x+5）+（x﹣2）＝7，x+5+x﹣2＝7，2x＝4，x＝2，x＝2（范圍內(nèi)不成立）∴綜上所述，符合條件的整數(shù)x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；故答案為：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（3）由（2）的探索猜想，對(duì)于任何有理數(shù)x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值為3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了去絕對(duì)值和數(shù)軸相聯(lián)系的綜合試題以及去絕對(duì)值的方法和去絕對(duì)值在數(shù)軸上的運(yùn)用，難度較大，去絕對(duì)值的關(guān)鍵是確定絕對(duì)值里面的數(shù)的正負(fù)性．題型2.兩個(gè)絕對(duì)值的差的最值【解題技巧】目的是在數(shù)軸上找一點(diǎn)x，使x到a和b的距離差的最大值和最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當(dāng)時(shí)的值為定值，即為—當(dāng)時(shí)當(dāng)?shù)闹禐槎ㄖ?，即為結(jié)論：式子在時(shí)，取得最小值為；在時(shí)，取得最大值。例1.（2022·浙江·溫州七年級(jí)開學(xué)考試）代數(shù)式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝0B．a(chǎn)＝0，b＝﹣3C．a(chǎn)＝3，b＝﹣3D．a(chǎn)＝3，b不存在【答案】C【分析】分三種情況：當(dāng)x≥1時(shí)；當(dāng)-2＜x＜1時(shí)；當(dāng)x≤-2時(shí)；進(jìn)行討論可求代數(shù)式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a與b的值．【詳解】解：當(dāng)x≥1時(shí)，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；當(dāng)﹣2＜x＜1時(shí)，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；當(dāng)x≤﹣2時(shí)，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．∵代數(shù)式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，∴a＝3，b＝﹣3．故選：C．【點(diǎn)睛】考查了絕對(duì)值，如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對(duì)值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它的相反數(shù)-a；③當(dāng)a是零時(shí)，a的絕對(duì)值是零．注意分類思想的運(yùn)用．變式1．（2022·上海七年級(jí)期中）代數(shù)式，當(dāng)時(shí)，可化簡為______；若代數(shù)式的最大值為與最小值為，則的值______．【答案】

3

-9【分析】當(dāng)時(shí)，可得x-1＜0，x+2＜0，利用絕對(duì)值的性質(zhì)即可化簡，分別化簡當(dāng)時(shí)以及當(dāng)x＞1時(shí)，根據(jù)當(dāng)時(shí)，，求出a，b即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，x-1＜0，x+2＜0，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x＞1時(shí)，∵當(dāng)時(shí)，，∴代數(shù)式的最大值為3，最小值為-3，∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案為：3，-9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的化簡，解題的關(guān)鍵是對(duì)x進(jìn)行分類討論，再化簡代數(shù)式．例2.（2022·湖北十堰·七年級(jí)期中）設(shè)﹣1≤x≤3，則|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值與最小值之和為__．【答案】8.5．【分析】先根據(jù)-1≤x≤3，確定x-3與x+2的符號(hào)，再對(duì)x的符號(hào)進(jìn)行討論即可．【詳解】∵﹣1≤x≤3，當(dāng)﹣1≤x≤0時(shí)，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值為5，最小值為4.5；當(dāng)0≤x≤3時(shí)，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值為5，最小值為3.5，∴最大值與最小值之和為8.5；故答案為：8.5．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的化簡，掌握求絕對(duì)值的法則以及分類討論的思想方法，是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·湖北武漢·七年級(jí)期中）我們知道，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，一般地，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，那么A，B之間的距離可表示為|a-b|，請(qǐng)根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：（1）數(shù)軸上的數(shù)x與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為__，數(shù)x與-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為__；（2）求的最大值；（3）直接寫出的最大值為______．【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20【分析】（1）根據(jù)題意即可列式解答；（2）由x的取值范圍分三種情況：①當(dāng)x≤-1時(shí)，②當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，③當(dāng)x≥1時(shí)，分別化簡絕對(duì)值，再計(jì)算整式的值即可得到答案；（3）根據(jù)（2）得到規(guī)律，依次進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）由題意得到：數(shù)軸上的數(shù)x與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為，數(shù)x與-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為，故答案為：，；（2）表示x到1之間的距離，表示x到-1之間的距離，①當(dāng)x≤-1時(shí)，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2；②當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2；③當(dāng)x≥1時(shí)，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值為2（3）由（2）知：的最大值為2，由此可得：的最大值為4，的最大值是6，的最大值是8，∴的最大值是2+4+6+8=20【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的計(jì)算，絕對(duì)值的性質(zhì)，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式．題型3.多個(gè)絕對(duì)值的和的最值【解題技巧】最小值規(guī)律：①當(dāng)有兩個(gè)絕對(duì)值相加：若已知，的最小值為，且數(shù)的點(diǎn)在數(shù)，的點(diǎn)的中間；②當(dāng)有三個(gè)絕對(duì)值相加：若已知，的最小值為，且數(shù)的點(diǎn)與數(shù)的點(diǎn)重合；③當(dāng)有（奇數(shù)）個(gè)絕對(duì)值相加：，且，則取中間數(shù)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值為；④當(dāng)有（偶數(shù)）個(gè)絕對(duì)值相加：，且，則取中間段，即當(dāng)時(shí)，取得最小值為。例1.（2022·天津初一月考）若是有理數(shù)，則的最小值是________．【答案】509040【分析】首先判斷出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求數(shù)軸上某點(diǎn)到2、4、6、…、2018的距離和的最小值；然后根據(jù)某點(diǎn)在a、b兩點(diǎn)之間時(shí)，該點(diǎn)到a、b的距離和最小，當(dāng)點(diǎn)x在2與2018之間時(shí)，到2和2018距離和最??；當(dāng)點(diǎn)在4與2016之間時(shí)，到4和2016距離和最??；…，所以當(dāng)x=1010之間時(shí)，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，據(jù)此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|最小值是多少即可．【解析】根據(jù)絕對(duì)值得幾何意義分析，知當(dāng)x=1010時(shí)，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040．【點(diǎn)睛】此題主要考查了絕對(duì)值的幾何意義：|x|表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：|x-a|表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示a的點(diǎn)之間的距離．變式1．（2022?武侯區(qū)校級(jí)月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值為，此時(shí)x的取值為．解：原式可轉(zhuǎn)化為在數(shù)軸上找一個(gè)點(diǎn)到1，2，3，…，2014對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離和最小，故當(dāng)1007≤x≤1008時(shí)，距離和最小，可取x＝1007，則此時(shí)距離和為：1006+1005+1004+…+0+1+2+…+1006+1007＝2×（1+2+3+…+1006）+1007＝1014049，即原式的最小值為1014049；當(dāng)x＝1008時(shí)，最小值也為1014049，故1007≤x≤1008．例2.（2022·北京市第四十四中學(xué)七年級(jí)期中）閱讀下面一段文字：在數(shù)軸上點(diǎn)A，B分別表示數(shù)a，b．A，B兩點(diǎn)間的距離可以用符號(hào)表示，利用有理數(shù)減法和絕對(duì)值可以計(jì)算A，B兩點(diǎn)之間的距離．例如：當(dāng)a＝2，b＝5時(shí)，＝5－2＝3；當(dāng)a＝2，b＝－5時(shí)，＝＝7；當(dāng)a＝－2，b＝－5時(shí)，＝＝3，綜合上述過程，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A、B之間的距離＝（也可以表示為）．請(qǐng)你根據(jù)上述材料，探究回答下列問題：（1）表示數(shù)a和－2的兩點(diǎn)間距離是6，則a＝；（2）如果數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于－4和3之間，則＝（3）代數(shù)式的最小值是．（4）如圖，若點(diǎn)A，B，C，D在數(shù)軸上表示的有理數(shù)分別為a，b，c，d，則式子的最小值為（用含有a，b，c，d的式子表示結(jié)果）【答案】（1）4和-8；（2）7；（3）2；（4）【分析】（1）根據(jù)題意可得：，解出即可求解；（2）根據(jù)題意可得：，從而得到，進(jìn)而得到＝a＋4，＝3－a，即可求解；（3）根據(jù)題意可得：當(dāng)a＝2時(shí)，代數(shù)式存在最小值，化簡即可求解；（4）根據(jù)題意可得：原式表示對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，從而得到當(dāng)時(shí)，有最小值，即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：，∴或，解得：或-8；（2）∵表示數(shù)a的點(diǎn)位于－4和3之間，∴，∴，∴＝a＋4，＝3－a，∴＝a＋4＋3－a＝7；（3）當(dāng)a＝2時(shí)，代數(shù)式存在最小值，∴＝1＋0＋1＝2.所以，最小值是2；（4）根據(jù)題意得：，∴原式表示對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，如圖所示，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，∴原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值得幾何意義，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．變式2.（2022?龍泉驛區(qū)期中）我們知道，在數(shù)軸上，|a|表示數(shù)a到原點(diǎn)的距離．進(jìn)一步地，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，那么A，B兩點(diǎn)之間的距離就表示為|a﹣b|；反過來，|a﹣b|也就表示A，B兩點(diǎn)之間的距離．下面，我們將利用這兩種語言的互化，再輔助以圖形語言解決問題．例，若|x+5|＝2，那么x為：①|(zhì)x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到﹣5的距離等于2．②圖形語言：③答案：x為﹣7和﹣3．請(qǐng)你模仿上題的①②③，完成下列各題：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字語言：②圖形語言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2時(shí)，求x的值：①文字語言：②圖形語言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范圍：①文字語言：②圖形語言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字語言：②圖形語言：③答案：【分析】運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想：圖一圖二圖三圖四【解答】解：（1）文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到﹣4的距離等于到2的距離．圖形語言：答案：x＝﹣1．（2）文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到3的距離比到原點(diǎn)（0）的距離大2．圖形語言：答案：x=12（3）文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到1的距離和它到3的距離大于4．圖形語言：答案：x＞4，x＜0．（4）文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到1，2，3，4，5距離之和最小值．圖形語言：答案：6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合求解問題．課后專項(xiàng)訓(xùn)練：1．（2022·全國·七年級(jí)）若表示數(shù)軸上x與a兩數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，當(dāng)x取任意有理數(shù)時(shí)，代數(shù)式的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據(jù)|x-a|表示數(shù)軸上x與a兩數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，可知當(dāng)x處于2和6中間時(shí)，|x-6|+|x-2|取得最小值，即為數(shù)軸上2和6之間的距離．【詳解】解：∵|x-a|表示數(shù)軸上x與a兩數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，∴|x-6|+|x-2|表示數(shù)軸上數(shù)x與6和數(shù)x與2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離之和，∴當(dāng)2≤x≤6時(shí)，代數(shù)式|x-6|+|x-2|有最小值，最小值為|6-2|=4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的兩點(diǎn)之間的距離，明確|x-a|表示數(shù)軸上x與a兩數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖北·宜昌市第九中學(xué)七年級(jí)期中）最小值為

______．【答案】5【分析】先分區(qū)間確定零點(diǎn)，x+2=0和x-3=0，分三種情況，和分別化去絕對(duì)值符號(hào)，合并化簡，根據(jù)x的范圍確定每個(gè)區(qū)間中絕對(duì)值式子的值的范圍即可確定最小值．【詳解】令x+2=0，x-3=0，求得x=-2與x=3，當(dāng)時(shí)，，∵，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，的最小值為5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查利用絕對(duì)值化簡求最小值問題，掌握絕對(duì)值化簡得技巧，會(huì)根據(jù)絕對(duì)值的個(gè)數(shù)分區(qū)間化去絕對(duì)值符號(hào)是解題關(guān)鍵．3．（2022·陜西·西安交大陽光中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下列材料:我們知道a的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.數(shù)軸上數(shù)a與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，這個(gè)結(jié)論可以推廣為:|a-b|均表示在數(shù)軸上數(shù)a與b對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，例:已知|a-1|=2，求a的值.解:在數(shù)軸上與1的距離為2點(diǎn)的對(duì)應(yīng)數(shù)為3和-1，即a的值為3和-1.仿照閱讀材料的解法，解決下列問題(1)已知，求a的值.(2)若數(shù)軸上表示a的點(diǎn)在-4與2之間，則|a+4|+|a-2|的值為___(3)當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，|a-1|+|a+2|有最小值，最小值是多少?【答案】(1)；(2)，【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸上數(shù)a與數(shù)-2之間的距離等于4即可求得答案；(2)根據(jù)題意，可知當(dāng)﹣4≤a≤2時(shí)，|a+4|+|a-2|的值為6；(3)根據(jù)線段上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)的距離的和最小，可得到答案.【詳解】(1)，得到或a=2；(2)根據(jù)題意，|a+4|表示數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)-4的點(diǎn)之間的距離，|a-2|表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)2的點(diǎn)之間的距離，因?yàn)椹?≤a≤2，畫圖可知∴|a+4|+|a-2|＝6；(3)時(shí)，|a-1|+|a+2|有最小值，最小值是【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)a的絕對(duì)值的意義：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.4．（2021·貴州六盤水·七年級(jí)階段練習(xí)）同學(xué)們都知道，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，|4﹣（﹣2）|表示4與﹣2的差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為4與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離：同理|x﹣3|也可理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之問的距離，試探索：（1）|4﹣（﹣2）|＝；（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使|x﹣4|+|x+2|＝6成立，并說明理由．（3）由以上探索猜想，對(duì)于任何有理數(shù)x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．【答案】（1）6；（2）符合條件的整數(shù)x為-2、-1、0、1、2、3、4；（3）3，理由見解析【分析】（1）可先算出4與-2的差，然后再求出差的絕對(duì)值即可；（2）設(shè)-2、4、x在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、X，則有|x-4|+|x+2|=BX+AX=6，AB=|4-（-2）|=6．然后分X在點(diǎn)A的左邊、X在AB之間、X在點(diǎn)A的右邊三種情況討論，就可解決問題；（3）設(shè)3、6、x在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、X，則|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3．借鑒（2）中的經(jīng)驗(yàn)可得AX+BX≥AB，即|x-3|+|x-6|≥3，當(dāng)X在A、B之間時(shí)取等號(hào)．【詳解】解：（1），故答案為：6；（2）設(shè)-2、4、x在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、X，則|x-4|+|x+2|=BX+AX=6，AB=|4-（-2）|=6．①X在點(diǎn)A的左邊時(shí)，BX+AX=AX+AB+AX=2AX+6=6，∴AX=0與X在點(diǎn)A的左邊矛盾，不符合題意②當(dāng)X在點(diǎn)A、B之間時(shí)，BX+AX=AB=6與AB=6相符，∴此時(shí)X表示的整數(shù)可以為-2、-1、0、1、2、3、4；∴整數(shù)x的值可以為-2、-1、0、1、2、3、4；③X在點(diǎn)B的右邊時(shí)，BX+AX=AB+BX+BX=6+2BX=6，∴BX=0，與X在點(diǎn)B的右邊矛盾，不符合題意綜上所述：符合條件的整數(shù)x為-2、-1、0、1、2、3、4；（3）對(duì)于任何有理數(shù)x，|x-3|+|x-6|有最小值，最小值為3．設(shè)3、6、x在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、X，則|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3．由（2）同理可知，當(dāng)X在點(diǎn)A的左邊時(shí)，BX+AX=AX+AB+AX=2AX+3，當(dāng)X在點(diǎn)A、B之間時(shí)，BX+AX=AB=6，當(dāng)X在點(diǎn)B的右邊時(shí)，BX+AX=AB+BX+BX=6+2BX，∴AX+BX≥AB，∴|x-3|+|x-6|≥3，當(dāng)X在A、B之間時(shí)取等號(hào)．∴|x-3|+|x-6|有最小值3．【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對(duì)值的概念、幾何意義、數(shù)軸等知識(shí)，在解決問題的過程中用到了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，是解決本題的關(guān)鍵．5．（2021·北京市平谷區(qū)峪口中學(xué)七年級(jí)期中）同學(xué)們都知道，|5－（－2）|表示5與－2之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為5與－2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：（1）求|5－（－2）|＝______．（2）若成立，則x＝_________．（3）請(qǐng)你寫出的最小值為________．并確定相應(yīng)的x的取值范圍是______．【答案】（1）7；（2）5或1；（3）3，1≤x≤2【分析】（1）根據(jù)5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離為7得到答案；（2）根據(jù)題意可得方程x-3=±2，再解即可；（3）分情況討論，去絕對(duì)值化簡，從而確定x的最小值．【詳解】解：（1）|5－（－2）|＝|5+2|＝7，故答案為：7；（2）∵|x-3|=2成立，∴x-3=±2，∴x=5或1，故答案為：5或1；（3）當(dāng)x＜1時(shí)，原式=-x+1-x+2=-2x+3＞1；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，原式=x-1-x+2=1；當(dāng)x＞2時(shí)，原式=x-1+x-2=2x-3＞1，∴|x-1|+|x-2|的最小值是1，故答案為：3，1≤x≤2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了去絕對(duì)值和數(shù)軸相聯(lián)系的綜合試題以及去絕對(duì)值的方法，難度較大，去絕對(duì)值的關(guān)鍵是確定絕對(duì)值里面的數(shù)的正負(fù)性．6．（2022·山東·濟(jì)南七年級(jí)期中）唐代文學(xué)家韓愈曾賦詩：“天街小雨潤如酥，草色遙看近卻無”，當(dāng)代印度詩人泰戈?duì)栆矊懙溃骸笆澜缟献钸b遠(yuǎn)的距離，不是瞬間便無處尋覓；而是尚未相遇，便注定無法相聚”．距離是數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)中的熱門話題，唯有對(duì)宇宙距離進(jìn)行測量，人類才能掌握世界尺度．已知點(diǎn)，在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，，，兩點(diǎn)之間的距離表示為．例如，在數(shù)軸上，有理數(shù)3與1對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為；有理數(shù)5與對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為；有理數(shù)與對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為；…解決問題：（1）數(shù)軸上有理數(shù)與3對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離等于_________；數(shù)軸上有理數(shù)與對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離用含的式子表示為________；若數(shù)軸上有理數(shù)與1對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)、之間的距離，求的值；聯(lián)系拓廣：（2）如圖，點(diǎn)表示的數(shù)為4，點(diǎn)表示的數(shù)為，為數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)表示的數(shù)為．①若點(diǎn)在點(diǎn)、兩點(diǎn)之間，則______；若，則點(diǎn)表示的數(shù)為______；由此可得：當(dāng)取最小值時(shí)，求整數(shù)的所有取值的和；②當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離的2倍時(shí)，求的值．【答案】（1），，或；（2），或，；（3）或【分析】（1）理解題意，根據(jù)距離的概念求解即可；（2）①根據(jù)點(diǎn)的位置分情況討論，利用距離求解即可，對(duì)進(jìn)行討論，求出的取值，然后求解即可；②設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】解：（1）數(shù)軸上有理數(shù)與3對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為，數(shù)軸上有理數(shù)與對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離用含的式子表示為若數(shù)軸上有理數(shù)與1對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)、之間的距離，則即或解得或故答案為，，或（2）設(shè)點(diǎn)表示數(shù)為，則，①若點(diǎn)在點(diǎn)、兩點(diǎn)之間，則，，若，即當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，解得即點(diǎn)表示數(shù)為或當(dāng)取最小值時(shí)，可得在和之間（包含端點(diǎn)），所以又∵為整數(shù)∴的取值為整數(shù)的所有取值的和為故答案為，或，②由題意可得：，即可得：或解得或故答案為或【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸的應(yīng)用，涉及了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離以及絕對(duì)值方程，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸的基本知識(shí)，理解數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離．7．（2022·重慶市銅梁區(qū)關(guān)濺初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期末）數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)b的點(diǎn)的距離記作，如表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點(diǎn)與表示數(shù)5的點(diǎn)的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點(diǎn)與表示數(shù)－5的點(diǎn)的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)3的點(diǎn)的距離．根據(jù)以上材料回答下列問題：（將結(jié)果直接填寫在答題卡相應(yīng)位置，不寫過程）（1）若，則_______，若，則_______；（2）若，則x能取到的最小值是_______；最大值是_______；（3）若，則x能取到的最大值是_______；（4）關(guān)于x的式子的取值范圍是_______．【答案】（1）0，1；（2）-1，3；（3）-1；（4）大于或等于3【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值表示的意義和中點(diǎn)計(jì)算方法得出答案；（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意義，得到x的取值范圍，進(jìn)而得到最大值和最小值；（3）若|x-3|-|x+1|=4，所表示的意義，確定x的取值范圍，進(jìn)而求出最大值；（4）根據(jù)|x-2|+|x+1|的意義，求出|x-2|+|x+1|的最小值為3，從而確定取值范圍．【詳解】解：（1）|x-2|=|x+2|表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示2和-2的距離相等，因此到2和-2距離相等的點(diǎn)表示的數(shù)為，|x-3|=|x+1|表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示3和-1的距離相等，因此到3和-1距離相等的點(diǎn)表示的數(shù)為=1，故答案為：0，1；（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示3和-1兩點(diǎn)的距離之和為4，可得-1≤x≤3，因此x的最大值為3，最小值為-1；故答案為：-1，3；（3）|x-3|-|x+1|=4表示的意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)3的點(diǎn)距離比它到表示-1的點(diǎn)的距離大4，根據(jù)數(shù)軸直觀可得，x≤-1，即x的最大值為-1，故答案為：-1；（4）式子|x-2|+|x+1|表示的意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示2和-1兩點(diǎn)的距離之和，由數(shù)軸直觀可得，|x-2|+|x+1|最小值為3，因此|x-2|+|x+1|≥3，故答案為：大于或等于3．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，理解絕對(duì)值的意義和兩點(diǎn)距離的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．8．（2022·云南·昆明七年級(jí)期中）閱讀下面材料并解決有關(guān)問題，我們知道：，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對(duì)值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式時(shí)，可令和，分別求得，，稱，分別為與的零點(diǎn)值在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值，，可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下種情況：①；②；③從而化簡代數(shù)式時(shí)可分以下種情況：①當(dāng)時(shí)，原式；②當(dāng)時(shí)，原式；③當(dāng)時(shí)，原式；綜上所述：原式，通過以上閱讀，請(qǐng)你解決以下問題：（1）當(dāng)時(shí)，______．（2）化簡代數(shù)式：（3）直接寫出的最大值______．【答案】（1）；（2）原式；（3）【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義可得結(jié)論；（2）零點(diǎn)值x=2和x=4可將全體實(shí)數(shù)分為不重復(fù)不遺漏的如下三種情況：、、分該三種情況找出的值；（3）分、、分別化簡，結(jié)合x的取值范圍確定代數(shù)式值的范圍，從而求出代數(shù)式的最大值．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，．故答案為：（2）化簡代數(shù)式：分為以下三種情況討論：當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；綜上所述：原式（3）的最大值：當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式，，當(dāng)時(shí)，原式，則的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了含絕對(duì)值的代數(shù)式化簡問題，注意讀懂題目的解答，以及分類思想的運(yùn)用．9．（2022·全國·七年級(jí)）閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、b．A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為|AB|．則數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離|AB|＝|a﹣b|．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示﹣2和﹣5的兩點(diǎn)之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，如果|AB|＝2，那么x為；（3）當(dāng)|x+1|+|x﹣2|取最小值時(shí)，符合條件的整數(shù)x有；（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，問當(dāng)x取何值時(shí)，y最小，最小值為多少？請(qǐng)求解．【答案】（1）4；3；（2）|x+1|，1或﹣3；（3）﹣1，0，1，2；（4）x=2時(shí)，y最小，最小值為4【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離的求解列式計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離表示列式并計(jì)算即可；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的意義解答；（4）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的意義解答．【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離是：；數(shù)軸上表示﹣2和﹣5的兩點(diǎn)之間的距離是：；（2）∵A，B分別表示的數(shù)為x，﹣1，∴數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是|x+1|，如果|AB|＝2，則|x+1|＝2，解得：x＝1或﹣3；（3）當(dāng)|x+1|+|x﹣2|取最小值時(shí)，﹣1≤x≤2，∴符合條件的整數(shù)x有﹣1，0，1，2；（4）當(dāng)|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值時(shí)，x＝2，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y最小，即最小值為：|2+1|+|2﹣2|+|2﹣3|＝4．故x＝2時(shí)，y最小，最小值為4．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸與絕對(duì)值，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．10．（2021·福建·泉州七中七年級(jí)期中）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”．?dāng)?shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．例如，式子的幾何意義是數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；因?yàn)?，所以的幾何意義就是數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問題：（1）若，則；的最小值是．（2）若，則的值為；若，則的值為．（3）是否存在使得取最小值，若存在，直接寫出這個(gè)最小值及此時(shí)的取值情況；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）5或-1；5；（2）或4；或；（3）的最小值為17，此時(shí)【分析】（1）對(duì)于直接根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；設(shè)A點(diǎn)表示的數(shù)為-2，B點(diǎn)表示的數(shù)為3，P點(diǎn)表示的數(shù)為x，則表示的意義即為數(shù)軸上一點(diǎn)P到A的距離和到B的距離之和，然后分別討論P(yáng)在AB之間，P在A點(diǎn)左側(cè)和P在B點(diǎn)右側(cè)的取值即可得到答案；（2）設(shè)A點(diǎn)表示的數(shù)為-2，B點(diǎn)表示的數(shù)為3，P點(diǎn)表示的數(shù)為x，由（1）可知當(dāng)P在AB之間（包含A、B）時(shí)，，當(dāng)P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，當(dāng)P在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，由此可以確定此時(shí)P點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)或在B點(diǎn)右側(cè)，由此進(jìn)行求解即可；分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，這四種情況去絕對(duì)值進(jìn)行討論求解即可得到答案；（3）分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，這四種情況去絕對(duì)值進(jìn)行討論求解即可得到答案．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴或；設(shè)A點(diǎn)表示的數(shù)為-2，B點(diǎn)表示的數(shù)為3，P點(diǎn)表示的數(shù)為x，∴表示的意義即為數(shù)軸上一點(diǎn)P到A的距離和到B的距離之和，如圖所示，當(dāng)P在AB之間（包含A、B）時(shí)，；當(dāng)P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)；同理當(dāng)P在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)；∴的最小值為5，故答案為：5或-1；5；（2）設(shè)A點(diǎn)表示的數(shù)為-2，B點(diǎn)表示的數(shù)為3，P點(diǎn)表示的數(shù)為x，由（1）可知當(dāng)當(dāng)P在AB之間（包含A、B）時(shí)，，當(dāng)P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，當(dāng)P在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)∵，∴當(dāng)P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)即，∴；同理當(dāng)P在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)即，∴；∴當(dāng)時(shí)，或4；當(dāng)時(shí)，∵，∴，解得符合題意；當(dāng)時(shí)，∵，∴，解得符合題意；當(dāng)時(shí)∵，∴，解得不符合題意；當(dāng)時(shí)∵，∴，解得不符合題意；∴綜上所述，當(dāng)，或；故答案為：或4；或；（3）當(dāng)時(shí)，∴，當(dāng)時(shí)，∴，當(dāng)時(shí)∴，當(dāng)時(shí)∴，∴此時(shí)∴綜上所述，的最小值為17，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的幾何意義，絕對(duì)值方程，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握絕對(duì)值的幾何意義．11．（2021·廣東·西關(guān)外國語學(xué)校七年級(jí)期中）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是________，表示和2兩點(diǎn)之間的距離是________．（2）一般地，數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)之間的距離等于．如果表示數(shù)和的兩點(diǎn)之間的距離是3，那么________．（3）若數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)位于與2之間，則的值為________；（4）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點(diǎn)x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，這些點(diǎn)表示的數(shù)的和是．（5）當(dāng)________時(shí)，的值最小，最小值是________．【答案】（1）3，5；（2）2或-4；（3）6；（4）12；（5）1；7【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于兩點(diǎn)所表示數(shù)的絕對(duì)值進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于兩點(diǎn)所表示數(shù)的絕對(duì)值得到，解得即可；（3）先根據(jù)表示數(shù)的點(diǎn)位于與2之間可知，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)把原式去掉絕對(duì)值符號(hào)求出a的值即可；（4）根據(jù)線段上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離的和最小，可得答案．（5）根據(jù)分類討論的數(shù)學(xué)思想可以解答本題．【詳解】解：（1）由數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式可知：數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是；表示和2兩點(diǎn)之間的距離是；故答案為：3，5；（2）若表示數(shù)和的兩點(diǎn)之間的距離是3，則，解得或，故答案為：2或；（3）∵，∴；故答案為：6；（4）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴使得的所有整數(shù)為：，，0，1，2，3，4，5，∵，故答案為：12；（5）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，由上可得，當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是7，故答案為：1，7．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸、絕對(duì)值等知識(shí)點(diǎn)，明確題意，利用數(shù)軸的特點(diǎn)和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答是解答本題的關(guān)鍵．12．（2022?綿陽市校級(jí)月考）認(rèn)真閱讀下面的材料，完成有關(guān)問題．材料：在學(xué)習(xí)絕對(duì)值時(shí)，老師教過我們絕對(duì)值的幾何含義，如|5﹣3|表示5、3在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離：|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，一般地，點(diǎn)A、點(diǎn)B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么點(diǎn)A、點(diǎn)B之間的距離可表示為|a﹣b|．（1）點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x、﹣2、1，那么點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離與點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離之和可表示為（用含絕對(duì)值的式子表示）；（2）利用數(shù)軸探究：①找出滿足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是．②設(shè)|x﹣3|+|x+1|＝p，當(dāng)x的值取在不小于﹣1且不大于3的范圍時(shí)，P的值是不變的，此時(shí)P取最小值是；|x|+|x﹣2|最小值是．（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值為，此時(shí)x的值為．解：（1）點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離：|x﹣（﹣2）|＝|x+2|；點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離：|x﹣1|；∴距離之和為：|x+2|+|x﹣1|；故答案為：|x+2|+|x﹣1|．（2）①|(zhì)x﹣3|+|x+1|＝6表示x到3和到﹣1的距離之和為6；∵3和﹣1之間的距離為4，故x一定不在3和﹣1之間，∴當(dāng)x＜﹣1時(shí)，x﹣3＜0，x+1＜0，∴|x﹣3|+|x+1|＝﹣（x﹣3）+[﹣（x+1）]＝﹣2x+2，∴﹣2x+2＝6，解得x＝﹣2，當(dāng)x＞3時(shí)，x﹣3＞0，x+1＞0，∴|x﹣3|+|x+1|＝（x﹣3）+（x+1）＝2x﹣2，∴2x﹣2＝6，解得x＝4，綜上所述，x＝﹣2或4．故答案為：﹣2或4．②|x﹣3|+|x+1|＝p，當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，∴x﹣3＜0，x+1＞0，|x﹣3|+|x+1|＝﹣（x﹣3）+（x+1）＝4，∴p取最小值為4，即3到﹣1之間的距離．故答案為：4．∵|x|+|x﹣2|＝|x﹣0|+|x﹣2|，∴|x|+|x﹣2|的最小值即0到2之間的距離．故答案為：2．（3）由前面規(guī)律可知，當(dāng)|x﹣3|+|x+1|取最小值時(shí)，x在3和﹣1之間；∴當(dāng)x＝2時(shí)，|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|有最小值，即最小值為4，此時(shí)x＝2．故答案為：4，2．13．（2022·河南南陽·七年級(jí)期末）|x＋8|＋|x＋1|＋|x﹣3|＋|x﹣5|的最小值等于（

）A．10 B．11 C．17 D．21【答案】C【分析】由|x+8|+|x+1|+|x-3|+|x-5|所表示的意義，得出當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，這個(gè)距離之和最小，再根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)，到表示數(shù)﹣8，﹣1，3，5的點(diǎn)的距離之和，由數(shù)軸表示數(shù)的意義可知，當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，這個(gè)距離之和最小，最小值為|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值，理解絕對(duì)值的定義，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)距離的計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵．14．（2022·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）利用數(shù)軸解決下面的問題：（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是；（2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是；（3）當(dāng)式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍或值是，最小值是．【答案】（1）3；（2）2；（3）1010，1019090【分析】（1）求|x+1|+|x﹣2|的最小值，意思是x到﹣1的距離之和與到2的距離之和最小，那么x應(yīng)在﹣1和2之間的線段上；（2）求|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值，x為中間點(diǎn)時(shí)有最小值，依此即可求解；（3）找到中間點(diǎn)即可求得最小值．【詳解】（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是2﹣(﹣1)=3；（2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是4﹣2=2；（3）當(dāng)式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍或值是：=1010，最小值是(1009+1)×1009÷2×2=1019090．故答案為：3；2；1010，1019090．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，涉及的知識(shí)點(diǎn)為：數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離=兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值．絕對(duì)值是正數(shù)的數(shù)有2個(gè)．找到中間點(diǎn)即可求得最小值．15．（2021·福建省仙游縣楓亭職業(yè)學(xué)校七年級(jí)期中）閱讀理解；我們知道，若A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，A、B兩點(diǎn)間的距離表示為AB，則．所以的幾何意義是數(shù)軸上表示X的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間的距離．根據(jù)上述材料，解答下列問題：（1）若點(diǎn)A表示－2，點(diǎn)B表示3，則AB＝．（2）若，則的值是．（3）如果數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)位于－4和2之間，求的值；（4）點(diǎn)取何值時(shí)，取最小值，最小值是多少？請(qǐng)說明理由；（5）直接回答：當(dāng)式子取最小值時(shí)，相應(yīng)的取值范圍是多少？最小值是多少？【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）當(dāng)時(shí)，最小值為；（5）當(dāng)時(shí)，最小值為【分析】（1）根據(jù)題目中的方法確定出的長即可；（2）原式利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡即可求出的值；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的求法，化簡即可；（4）根據(jù)線段中點(diǎn)到各點(diǎn)的距離的和最小，可得答案；（5）根據(jù)線段中點(diǎn)到各點(diǎn)的距離的和最小，可得答案．【詳解】解：（1），則；（2）∵，∴，故或，故答案為：或；（3）∵數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)位于－4和2之間，∴；（4）∵，代表點(diǎn)到和到之間的距離之和，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；（5）當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為====20．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值，數(shù)軸兩點(diǎn)間的距離，利用了兩點(diǎn)間的距離公式，注意線段上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)的距離的和最?。?6．（2022·四川·安岳縣李家初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）我們知道，|a|表示數(shù)a到原點(diǎn)的距離，這是絕對(duì)值的幾何義．進(jìn)一步地，數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)A、B，分別用a，b表示，那么AB=|a-b|．(思考一下，為什么？)，利用此結(jié)論，回答以下問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是______，數(shù)軸上表示－2和－5的兩點(diǎn)之間的距離是_____，數(shù)軸上表示1和－3的兩點(diǎn)之間的距離是_______；（2）數(shù)軸上表示x和－1的兩點(diǎn)A、B之間的距離是_______，如果|AB|=2，那么x的值為_______；（3）當(dāng)x取何值時(shí)，式子|x－1|+|x－2|+|x－3|+|x－4|+|x－5|的值最小，并求出這個(gè)最小值．【答案】（1）3，3，4；（2）|x+1|，1或-3；（3）x=3，最小值為6【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離的求法列式計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義列式計(jì)算即可得解；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式得到式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的意義，從而分析出x=3時(shí)，式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值最?。驹斀狻拷猓海?）表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是|2-5|=3，表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是|-2-（-5）|=3，表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是|1-（-3）|=4；（2）表示x和-1的兩點(diǎn)A、B之間的距離是|x+1|，∵|AB|=2，∴|x+1|=2，∴x+1=2或x+1=-2，解得x=1或-3；（3）式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|表示x到數(shù)軸上1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)的距離之和，∴當(dāng)x與3重合時(shí)，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|有最小值，最小值為6，此時(shí)x=3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸以及數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．解題時(shí)注意：數(shù)軸上任意兩點(diǎn)分別表示的數(shù)是a、b，則這兩點(diǎn)間的距離可表示為|a-b|．17．（2022·全國·七年級(jí)期中）唐代著名文學(xué)家韓愈曾賦詩：“天街小雨潤如酥，草色遙看近卻無．”當(dāng)代印度著名詩人泰戈?duì)栐凇妒澜缟献钸b遠(yuǎn)的距離》中寫道：“世界上最遙遠(yuǎn)的距離，不是瞬間便無處尋覓；而是尚未相遇，便注定無法相聚．”距離是數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)中的熱門話題，唯有對(duì)宇宙距離進(jìn)行測量，人類才能掌握世界尺度．已知P、Q在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)p、q，P、Q兩點(diǎn)的距離表示為．閱讀上述材料，回答下列問題：（1）若數(shù)軸上表示x與3的兩點(diǎn)之間的距離是4，則___________．（2）當(dāng)x的取值范圍是多少時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值是多少？（3）若未知數(shù)x，y滿足，求代數(shù)式的最大值，最小值分別是多少？【答案】（1）或7；（2），5；（3）最大8，最小值1【分析】（1）由距離的表示方法得出，求解即可；（2）根據(jù)若代數(shù)式有最小值，表示在數(shù)軸上找一點(diǎn)x，使其到與3的距離之和最小，據(jù)此求解；（3）由（2）分別求出與有最小值時(shí)x，y的取值范圍，進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）由題意知，，解得或，故答案為：或7；（2）若代數(shù)式有最小值，表示在數(shù)軸上找一點(diǎn)x，使其到與3的距離之和最小，顯然這個(gè)點(diǎn)x在與3之間（包括與3），所以x的取值范圍是，且最小值為5，故答案為：，5；（3）∵，由（2）知的最小值為2，其有最小值的取值范圍為，的最小值為3，其有最小值的取值范圍為，∴的最大值為，最小值為，即的最大值為8，最小值為1．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸，絕對(duì)值的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想，理解絕對(duì)值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．專題2.絕對(duì)值化簡問題絕對(duì)值化簡分為已知范圍的絕對(duì)值化簡與無范圍的絕對(duì)值化簡兩類，屬于重點(diǎn)題型，考卷中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)它的身影，且易錯(cuò)，屬于必掌握類型。希望通過本專題讓大家熟練掌握這兩類壓軸題。題型1.已知范圍的絕對(duì)值化簡【解題技巧】已知范圍的絕對(duì)值化簡步驟：①判斷絕對(duì)值符號(hào)里式子的正負(fù)；兩數(shù)相減：大的數(shù)-小的數(shù)＞0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：右-左＞0；小的數(shù)-大的數(shù)＜0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：左-右＜0.兩數(shù)相加：正數(shù)＋正數(shù)＞0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點(diǎn)右側(cè)兩數(shù)相加＞0；負(fù)數(shù)＋負(fù)數(shù)＜，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點(diǎn)左側(cè)兩數(shù)相加＜0；正數(shù)＋負(fù)數(shù)：取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點(diǎn)兩側(cè)兩數(shù)相加，取離原點(diǎn)遠(yuǎn)的符號(hào).②將絕對(duì)值符號(hào)改為小括號(hào)：若正數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)不變（即本身）；若負(fù)數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)改變（即相反數(shù)）.③去括號(hào)：括號(hào)前是“＋”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)不變；括號(hào)前是“－”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào).④化簡.例1.（2022·湖南長沙·七年級(jí)期末）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上位置如圖，則的值為（

）．A． B． C．0 D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸，確定每個(gè)數(shù)的屬性，每個(gè)代數(shù)式的屬性，后化簡即可．【詳解】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：，且，則，，，則．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸和有理數(shù)的大小比較與絕對(duì)值的化簡，掌握獲取數(shù)軸信息，熟練化簡是解題的關(guān)鍵．變式2.（2022·河南周口·七年級(jí)期末）有理數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，那么代數(shù)式的值是(

)A．-1 B．1 C．3 D．-3【答案】D【分析】先根據(jù)數(shù)軸求出－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，再去掉絕對(duì)值，然后根據(jù)分式的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可知：－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，∴原式．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的化簡、數(shù)軸和去絕對(duì)值的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是注意去掉絕對(duì)值后，要保證得數(shù)是非負(fù)數(shù)．例2.（2021·長郡集團(tuán)郡維學(xué)校初一月考）如果++=-1，那么+++的值為（）A． B． C．0 D．不確定【答案】C【解析】，所以，，中有一個(gè)正數(shù)，二個(gè)負(fù)數(shù)．不妨設(shè)，，，則．故選．點(diǎn)睛：本題考查有理數(shù)的除法，利用得出a、b、c有一個(gè)正數(shù)，二個(gè)負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．變式2．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級(jí)期中）、、是有理數(shù)且，則的值是（

）A． B．3或 C．1 D．或1【答案】D【分析】根據(jù)，則這三個(gè)數(shù)中一定有一個(gè)或三個(gè)數(shù)為負(fù)數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，得出結(jié)果即可．【詳解】∵，∴ｘ、y、z這三個(gè)數(shù)中有一個(gè)或三個(gè)數(shù)為負(fù)數(shù)，當(dāng)這三個(gè)數(shù)中有一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，假設(shè)，，，則；當(dāng)這三個(gè)數(shù)中有三個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，假設(shè)，，，則；故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的意義，正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．題型2.未知范圍的絕對(duì)值化簡【解題技巧】絕對(duì)值的性質(zhì)：①正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，即；②0的絕對(duì)值是0，即；③負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，即；④絕對(duì)值具有非負(fù)性，即。例1.（2022?新都區(qū)校級(jí)月考）已知x為有理數(shù)，且|x﹣3|＝2x+3，則x的值為．解：|x﹣3|＝2x+3，∴2x+3≥0，∴x≥﹣∴x﹣3＝2x+3或x﹣3＝﹣（2x+3）∴x﹣2x＝3+3或x﹣3＝﹣2x﹣3﹣∴x＝6或x+2x＝﹣3+3∴x＝﹣6（舍去）；或3x＝0∴x＝0．變式1．（2022·河北·七年級(jí)期中）若a、b、c是有理數(shù)，|a|＝3，|b|＝10，|c|＝5，且a，b異號(hào)，b，c同號(hào)，求a﹣b﹣（﹣c）的值．解：∵|a|＝3，|b|＝10，|c|＝5，∴a＝±3，b＝±10，c＝±5，∵a，b異號(hào)，b，c同號(hào)，∴a＝3，b＝﹣10，c＝﹣5或a＝﹣3，b＝10，c＝5，∴a﹣b﹣（﹣c）＝a﹣b+c＝8或﹣8．變式2．（2021·江蘇·九年級(jí)）已知，求．【答案】1-x【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，要化簡絕對(duì)值，可以就x≤0，0＜x＜1，x≥1三種情況進(jìn)行分析．【詳解】解：①當(dāng)x≤0時(shí)，|1-x|=1-x，1+|x|=1-x，滿足題意；②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，|1-x|=1-x，1+|x|=1+x，不滿足題意；③當(dāng)x≥1時(shí)，|1-x|=x-1，1+|x|=1+x，不滿足題意．綜上可得：x≤0，故|x-1|=1-x．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，注意要分情況討論，再去絕對(duì)值化簡．例2.（2022·福建福州·七年級(jí)期末）閱讀材料：我們把絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫做“含有絕對(duì)值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有絕對(duì)值的方程．怎樣求含有絕對(duì)值的方程的解呢？基本思路是：含有絕對(duì)值的方程→不含有絕對(duì)值的方程．我們知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我們只要把2x﹣1看成一個(gè)整體就可以根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)一步解決問題．解：根據(jù)絕對(duì)值的意義，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解這兩個(gè)一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．根據(jù)以上材料解決下列問題：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．【答案】(1)x=2或x=(2)x=-2或x=0【分析】先去絕對(duì)值轉(zhuǎn)化成一元一次方程求解．(1)解：根據(jù)絕對(duì)值的意義得：3x-2=4或3x-2=-4．解得：x=2或x=；(2)由絕對(duì)值的意義得：x-2=3x+2或x-2+3x+2=0．解得：x=-2或x=0．【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值的一元一次方程的解法，理解絕對(duì)值的意義是求解本題的關(guān)鍵．變式3．（2022·湖北咸寧·七年級(jí)期末）閱讀下列材料，回答問題：“數(shù)形結(jié)合”的思想是數(shù)學(xué)中一種重要的思想．例如：在我們學(xué)習(xí)數(shù)軸的時(shí)候，數(shù)軸上任意兩點(diǎn)，A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，則A，B兩點(diǎn)的距離可用式子（表示，例如：5和的距離可用或表示．(1)【知識(shí)應(yīng)用】我們解方程時(shí)，可用把看作一個(gè)點(diǎn)x到5的距離，則該方程可看作在數(shù)軸上找一點(diǎn)P（P表示的數(shù)為x）與5的距離為2，所以該方程的解為或所以，方程的解為___（直接寫答案，不離過程）．(2)【知識(shí)拓展】我們?cè)诮夥?，可以設(shè)A表示數(shù)5，B表示數(shù)，P表示數(shù)x，該方程可以看作在數(shù)軸上找一點(diǎn)P使得，因?yàn)?，所以由可知，P在線段AB上都可，所以該方程有無數(shù)解，x的取值范圍是．類似的，方程的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范圍）；(3)【拓展應(yīng)用】解方程【答案】(1)或(2)不唯一；(3)或【分析】（1）將方程的解看作在數(shù)軸上找一點(diǎn)P與的距離為2，進(jìn)而可得方程的解；（2）類比題干中的求解方法，進(jìn)行求解即可；（3）由題意知，設(shè)P點(diǎn)表示的數(shù)為x，分類討論：①若P點(diǎn)在A，B之間，表示出的值，然后列方程求解；②若P點(diǎn)在A點(diǎn)的左邊，表示出的值，然后列方程求解；③若點(diǎn)P在B點(diǎn)的右邊，表示出的值，然后列方程求解．(1)解：方程的解，可以看作在數(shù)軸上找一點(diǎn)P與的距離為2∴或故答案為：或．(2)解：由題意知，設(shè)A表示數(shù)，B表示數(shù)6，P表示數(shù)x，∴該方程可以看作在數(shù)軸上找一點(diǎn)P使得，∵，∴P在線段AB上都可，∴該方程有無數(shù)解，x的取值范圍是故答案為：不唯一；．(3)解：由題意知，設(shè)P點(diǎn)表示的數(shù)為x，分類討論：①若P點(diǎn)在A，B之間則（不合題意，舍去）②若P點(diǎn)在A點(diǎn)的左邊則∴③若點(diǎn)P在B點(diǎn)的右邊∴綜上所述：原方程的解為或．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的意義，數(shù)軸上點(diǎn)的距離．解題的關(guān)鍵在于明確絕對(duì)值的意義．課后專項(xiàng)訓(xùn)練：1．（2022?肇源縣期末）當(dāng)2≤x＜5時(shí)，化簡：|2x﹣10|﹣|x﹣2|的值為．解：∵2≤x＜5，∴4≤2x＜10，0≤x﹣2．∴2x﹣10＜0，|x﹣2|＝x﹣2．∴|2x﹣10|＝10﹣2x．∴|2x﹣10|﹣|x﹣2|＝10﹣2x﹣（x﹣2）＝10﹣2x﹣x+2＝12﹣3x．2．（2022·陜西寶雞·七年級(jí)期末）已知、兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡代數(shù)式的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由數(shù)軸可知b<-1<1<a<2，且，得到a+b>0，b+1<0，化簡絕對(duì)值再合并即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，b<-1<1<a<2，且，∴a+b>0，b+1<0，∴=a+b-b-1=a-1，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了利用數(shù)軸比較數(shù)的大小，判斷式子的正負(fù)，化簡絕對(duì)值，正確理解數(shù)軸上數(shù)的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2021·河南周口·七年級(jí)期中）是有理數(shù)，它在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．則________．【答案】14【分析】由數(shù)軸可知-6<x<0，則x-7<0，x+7>0，再去掉絕對(duì)值，可解．【詳解】由數(shù)軸可知-6<x<0，則x-7<0，x+7>0，∴|x-7|+|x+7|=7-x+x+7=14故答案為14．【點(diǎn)睛】此題綜合考查了數(shù)軸、絕對(duì)值的有關(guān)內(nèi)容，在去掉絕對(duì)值的時(shí)候，要特別細(xì)心．4．（2022·四川廣元·七年級(jí)期末）已知有理數(shù)，則化簡的結(jié)果是_______．【答案】【分析】先根據(jù)已知條件判斷每個(gè)絕對(duì)值里邊的代數(shù)式的值是大于0還是小于0，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，最后去括號(hào)，合并同類項(xiàng)即可．【詳解】∵a<-1，∴a+1<0，1-a>0，∴=(-a-1)+(1-a)=-a-1+1-a=-2a，故答案為：-2a．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值和相反數(shù)的性質(zhì)，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值還是0，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·四川眉山·七年級(jí)期末）已知，有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如下圖所示，化簡：．【答案】-2b【分析】根據(jù)有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置可得∵3＜a＜4，0＜b＜1，?2＜c＜?1，即可得c＋b＜0，a?c＞0，b?a＜0，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：由圖可知，∵3＜a＜4，0＜b＜1，?2＜c＜?1，∴c＋b＜0，a?c＞0，b?a＜0，∴|c＋b|?|a?c|＋|b?a|＝?（c＋b）?（a?c）＋[?（b?a）]＝?c?b?a＋c?b＋a＝?2b．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸的應(yīng)用及絕對(duì)值的性質(zhì)，熟練掌握數(shù)軸的應(yīng)用及絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．6．（2022·云南昭通·七年級(jí)期末）閱讀下面一段文字：在數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間的距離可以用符號(hào)表示，可以利用有理數(shù)減法和絕對(duì)值計(jì)算A，B兩點(diǎn)之間的距離．若點(diǎn)A，B分別用數(shù)a，b表示，則當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，．發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A，B之間的距離（也可以表示為）．請(qǐng)你根據(jù)上述材料，探究回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示和7兩點(diǎn)之間的距離是______；(2)如果數(shù)軸上表示a和1兩點(diǎn)間的距離是7，那么______；(3)如果數(shù)軸上表示的數(shù)a的取值范圍為，求的值．【答案】(1)9(2)或8(3)【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸，求出兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值即可；（2）由題意得出方程，即可得出答案；（3）先去掉絕對(duì)值號(hào)，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解.(1)解：根據(jù)題意，；故答案為：9；(2)解：由題意得：，解得：或；故答案為：或8；(3)解：∵，∴，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值，數(shù)軸，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩個(gè)數(shù)之間的距離的表示方法是解題的關(guān)鍵．7．（2021·山東·夏津縣萬隆實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）數(shù)軸上從左到右的三個(gè)點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為．其中AB=2020，BC=1000，如圖所示．（1）若以B為原點(diǎn)，寫出點(diǎn)A，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)，并計(jì)算的值．

（2）若原點(diǎn)O在A，B兩點(diǎn)之間，求的值．

（3）若O是原點(diǎn)，且OB=20，求的值．【答案】（1）?1020；（2）3020；（3）?3000或?3040【分析】（1）數(shù)軸上原點(diǎn)左側(cè)的數(shù)為負(fù)數(shù)，原點(diǎn)右側(cè)的數(shù)為正數(shù)，可表示出A、C所對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）原點(diǎn)O在A，B兩點(diǎn)之間，|a|＋|b|＝AB，|b?c|＝BC，進(jìn)而求出結(jié)果；（3）若原點(diǎn)O在點(diǎn)B的左邊；若原點(diǎn)O在點(diǎn)B的左邊；分兩種情況討論可求a＋b?c的值．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)B為原點(diǎn)，AB＝2020，BC＝1000，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為a＝?2020，點(diǎn)C表示的數(shù)是c＝1000，∴a＋b＋c＝?2020＋0＋1000＝?1020；（2）∵原點(diǎn)在A，B兩點(diǎn)之間，∴|a|＋|b|＋|b?c|＝AB＋BC＝2020＋1000＝3020．答：|a|＋|b|＋|b?c|的值為3020；（3）若原點(diǎn)O在點(diǎn)B的左邊，則點(diǎn)

A，B，C所對(duì)應(yīng)數(shù)分別是a＝?2000，b＝20，c＝1020，則a＋b?c＝?2000＋17?1017＝?3000；若原點(diǎn)O在點(diǎn)B的右邊，則點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)數(shù)分別是a＝?2040，b＝?20，c＝980，則a＋b?c＝?2040?20?980＝?3040，∴的值為：?3000或?3040．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸與絕對(duì)值的意義，理解絕對(duì)值的意義是解決問題的前提，用數(shù)軸表示則更容易解決問題．8．（2022·重慶一中七年級(jí)期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上表示的點(diǎn)如圖所示，則化簡______．【答案】4a-b【分析】根據(jù)數(shù)軸可以判斷a、b、c的正負(fù)和它們的絕對(duì)值的大小，從而可以化簡題目中的式子．【詳解】解：由數(shù)軸可得，a＜b＜c，|b|＜|c|＜|a|，∴|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|c﹣2a|＝b+c﹣2（