備戰(zhàn)中考數(shù)學-平行四邊形的綜合壓軸題專題復習含答案

備戰(zhàn)中考數(shù)學一平行四邊形的綜合壓軸題專題復習含答案一、平行四邊形1.四邊形ABCD是正方形，AC與BD,相交于點。，點E、F是直線AD上兩動點，且AE=DF,CF所在直線與對角線BD所在直線交于點G,連接AG,直線AG交BE于點H.（1）如圖1,當點E、F在線段AD上時，①求證：ZDAG=ZDCG；②猜想AG與BE的位置關系，并加以證明；（2）如圖2,在（1）條件下，連接H0,試說明H。平分NBHG；（3）當點E、F運動到如圖3所示的位置時，其它條件不變，請將圖形補充完整，并直接寫出NBHO的度數(shù).圖1 圖2 雷【答案】（1）①證明見解析；@AG±BE.理由見解析；（2）證明見解析；（3）ZBHO=45°.【解析】試題分析：⑴①根據(jù)正方形的性質得DA=DC,ZADB=ZCDB=45°,則可根據(jù)"SAS〃證明AADG^△CDG,所以NDAG=NDCG；②根據(jù)正方形的性質得AB=DC,ZBAD=ZCDA=90°,根據(jù)"SAS〃證明△ABE^△DCF,則NABE=ZDCF,由于NDAG=ZDCG,所以NDAG=ZABE,然后利用NDAG+ZBAG=90。得到NABE+ZBAG=90°,于是可判斷AG_LBE；（2）如答圖1所示，過點。作OM_LBE于點M,ON_LAG于點N,證明△AO心△BOM,可得四邊形。MHN為正方形，因此HO平分NBHG結論成立；（3）如答圖2所示，與（1）同理，可以證明AG_LBE；過點。作OM_LBE于點M,ON_LAG于點N,構造全等三角形△AONM△BOM,從而證明OMHN為正方形，所以HO平分NBHG,即NBHO=45°.試題解析：（1）①;四邊形ABCD為正方形，DA=DC,ZADB=ZCDB=45°,在^ADG和^CDG中AD-CDZDG一“DG【bG-DG,??.△ADG^△CDG(SAS),「.NDAG=NDCG；②AG,BE.理由如下：丁四邊形ABCD為正方形，「.AB=DC,NBAD=NCDA=90°,在^ABE和^DCF中AB=DC^BAF二±CDFIAE=DF.,.△ABEM△DCF(SAS),ZABE=ZDCF,ZDAG=ZDCG,ZDAG=ZABE,ZDAG+ZBAG=90°,ZABE+ZBAG=90°,ZAHB=90°,AG_LBE；(2)由(1)可知AG_LBE.如答圖1所示，過點。作OM_LBE于點M,ON_LAG于點N,則四邊形0MHN為矩形.ZMON=90°,又0A±0B,ZA0N=ZBOM.ZAON+ZOAN=90°,ZBOM+ZOBM=90°,ZOAN=ZOBM.在^AON與ABOM中,LOBM'QA-OB「.△AON^△BOM(AAS).「.OM=ON,.矩形OMHN為正方形，」.HO平分/BHG.(3)將圖形補充完整，如答圖2示，乙BHO=45°.

答圖?與（1）同理，可以證明AG_LBE.過點。作。M_LBE于點M,ON_LAG于點N,與（2）同理，可以證明△AONM△BOM,可得OMHN為正方形，所以H0平分NBHG,ZBHO=45°.考點：1、四邊形綜合題；2、全等三角形的判定與性質；3、正方形的性質2.如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A,B的坐標分別為（4,0）,（4,3）,動點M,N分別從0,B同時出發(fā).以每秒1個單位的速度運動.其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動.過點M作MP_LOA,交AC于P,連接NP,已知動點運動了x秒.P點的坐標為多少（用含x的代數(shù)式表示）；（2）試求ANPC面積S的表達式，并求出面積S的最大值及相應的x值；（3）當x為何值時，△NPC是一個等腰三角形？簡要說明理由.【答案】（1）P點坐標為（x,3--x）.S的最大值為三,此時x=2.x=-,或）＜=亍，或x=11.【解析】試題分析：（1）求P點的坐標，也就是求OM和PM的長，已知了OM的長為x,關鍵是求出PM的長，方法不唯一，①可通過PMIIOC得出的對應成比例線段來求；②也可延長MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根據(jù)CQ的長和NACB的正切值求出PQ的長，然后根據(jù)PM=AB-PQ來求出PM的長.得出0M和PM的長，即可求出P點的坐標.(2)可按(1)②中的方法經(jīng)求出PQ的長，而CN的長可根據(jù)CN=BC-BN來求得，因此根據(jù)三角形的面積計算公式即可得出S,x的函數(shù)關系式.(3)本題要分類討論：①當CP=CN時，可在直角三角形CPQ中，用CQ的長即x和NABC的余弦值求出CP的表達式，然后聯(lián)立CN的表達式即可求出x的值；②當CP=PN時，那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的長，然后根據(jù)QN=CN-CQ求出QN的表達式，根據(jù)題設的等量條件即可得出x的值.③當CN=PN時，先求出QP和QN的長，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN的長，聯(lián)立CN的表達式即可求出x的值.試題解析：(1)過點P作PQ_LBC于點Q,有題意可得：PQIIAB,△CQP-△CBA,OPW3QC~^COP3x4S解得：QP=-x,43PM=3-_x,4由題意可知，C(0,3),M(x,0),N(4-x,3), , 3、P點坐標為(x,3——x).4(2)設ANPC的面積為S,在ANPC中，NC=4-x,NC邊上的高為:工，其中，0<x<4.4TOC\o"1-5"\h\z3 3-S=—(4-x)x_x=_(-x2+4x)4 S3= (X-2)2+—.2S的最大值為三，此時x=2.(3)延長MP交CB于Q,則有PQ±BC.①若NP=CP,;PQ±BC,「.NQ=CQ=x.「.3x=4,4X=—.35 5②若CP=CN,貝ljCN=4-x,PQ=x,CP=—x,4-x=—x,4 416X=—;③若CN=NP,則CN=4-x.3-：PQ=_x,NQ=4-2x,4???在RSPNQ中，PN2=NQ2+PQ2,(4-X)2=(4-2x)2+(—x)2,412SX= .57考點：二次函數(shù)綜合題.3.操作與證明：如圖1,把一個含45°角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合，點E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF.取AF中點M,EF的中點N,連接MD、MN.(1)連接AE,求證：△AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：(2)在(1)的條件下，請判斷MD、MN的數(shù)量關系和位置關系，得出結論.結論1：DM、MN的數(shù)量關系是二結論2：DM、MN的位置關系是_；拓展與探究：(3)如圖2,將圖1中的直角三角板ECF繞點C順時針旋轉180°,其他條件不變，則(2)中的兩個結論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.4 0y D圖3F【答案】（1）證明參見解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由參見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質以及等腰直角三角形的知識證明出CE=CF,繼而證明出AABE^△ADF,得到AE=AF,從而證明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關系是相等，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線定理即可得出結論.位置關系是垂直，利用三角形外角性質和等腰三角形兩個底角相等性質，及全等三角形對應角相等即可得出結論；（3）成立，連接AE,交MD于點G,標記出各個角，首先證明出1 1MNIIAE,MN=，AE,利用三角形全等證出AE=AF,而DM=4f,從而得到DM,MN數(shù)量相等的結論，再利用三角形外角性質和三角形全等，等腰三角形性質以及角角之間的數(shù)量關系得到NDMN=ZDGE=90°.從而得到DM、MN的位置關系是垂直.試題解析：（1）二.四邊形ABCD是正方形，「.AB=AD=BC=CD,ZB=ZADF=90°,;△CEF是等腰直角三角形，ZC=90°,CE=CF,BC-CE=CD-CF,即BE=DF,△ABEM△ADF,「.AE=AF,「.△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關系是相等，DM、MN的位置關系是垂直；二?在RSADF中DM是斜邊AF的中線，/.AF=2DM,〈MN是△AEF的中位線，AE=2MN,丁AE=AF,/.DM=MN；丁NDMF=NDAF+NADM,AM=MD,ZFMN=ZFAE,ZDAF=ZBAE,/.ZADM=ZDAF=ZBAE,ZDMN=ZFMN+ZDMF=ZDAF+ZBAE+ZFAE=ZBAD=90°,/.DM±MN；（3）（2）中的兩個結論還成立，連接AE,交MD于點G,二?點M為AF的中點，點N為EF的中點，1MNIIAE,MN=2AE,由已知得，AB=AD=BC=CD,ZB=ZADF,CE=CF,又BC+CE=CD+CF,即BE=DF,「.△ABE仁△ADF,/.AE=AF,在RSADF中，二.點M為AF的1中點，「.DM=」AF,「.DM=MN,丁△ABEM△ADF,「.N1=N2,丁ABIIDF,「.N1=N3,同理可證：N2=N4,「.N3=N4,丁DM=AM,「.NMAD=N5,「.NDGE=N5+N4=NMAD+N3=90°,丁MNIIAE,「.NDMN=NDGE=90°,「.DM^MN.所以（2）中的兩個結論還成立.考點：1.正方形的性質；2.全等三角形的判定與性質；3.三角形中位線定理；4.旋轉的性質.4.在平面直角坐標系中，四邊形八OBC是矩形，點。(0,0),點八(5,0),點B(0,3).以點八為中心，順時針旋轉矩形八。BC,得到矩形八DEF,點。，B,C的對應點分別為D,E,F.(1)如圖①，當點。落在BC邊上時，求點。的坐標；(2)如圖②，當點。落在線段BE上時，4)與BC交于點從①求證△AOB；②求點H的坐標.(3)記K為矩形AOBC對角線的交點，S為AKDE的面積，求S的取值范圍(直接寫出結果即可).【答案】(1)D(1,3)；(2)①詳見解析；②H(g,3)；(3)30-3734<S<30+37344 —— 4【解析】【分析】(1)如圖①，在Rt△ACD中求出CD即可解決問題；(2)①根據(jù)HL證明即可；②，設AH=BH=m，貝UHC=BC-BH=5-m,在Rt△AHC中，根據(jù)AH2=HC2+AC2，構建方程求出m即可解決問題；(3)如圖③中，當點D在線段BK上時，△DEK的面積最小，當點D在BA的延長線上時，△D'E'K的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題；【詳解】

(1)如圖①中,圖①(5,0),B(0,3),OA=5,(1)如圖①中,圖①(5,0),B(0,3),OA=5,08=3,V四邊形八。BC是矩形，..AC=OB=3,OA=BC=5,ZOBC=ZC=90°,

矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉得到，.'.AD=AO=5,「?D(1,3).圖②在小八"中，CD=AAD2-AC2=4,「.BD=BC-CD=1,由四邊形ADEF是矩形，得到NADE=90°,???點D在線段BE上，「.NADB=90°,由(1)可知，AD=AO,又AB=AB,NAOB=90°,」.Rt△ADB合Rt△AOB(HL).②如圖②中，由△ADB^△AOB,得至l」NBAD=NBAO,又在矩形AOBC中，OAIIBC,「.NCBA=NOAB,「.NBAD=NCBA,「.BH=AH,設AH=BH=m，貝UHC=BC-BH=5-m,丁AH2=HC2+AC2,丁AH2=HC2+AC2,2,「?m2=32+(5-m2,17/.m=一5,17BH=——53).(3)如圖③中，當點D在線段BK上時，△DEK的面積最小，最小值=1?DE?DK=1x3x當點D在BA的延長線上時，△D'E'K的面積最大，最大面積=1xD'E"KD'=1x3x,434、30+3<34(5+ )= 4-^……30-3<34 30+3<34綜上所述，——4--<S<——4--.【點睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質、旋轉變換等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數(shù)構建方程解決問題.5.如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點。，AO=CO,BO=DO，且NABC+NADC=180°.(1)求證：四邊形ABCD是矩形.(2)若NADF：NFDC=3：2,DF±AC,求NBDF的度數(shù).【答案】(1)見解析；(2)18°.【解析】【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，求出NABC=90。，根據(jù)矩形的判定得出即可；(2)求出NFDC的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NDCO,根據(jù)矩形的性質得出OD=OC,求出NCDO,即可求出答案.【詳解】(1)證明：.?.AO=CO,BO=DO「?四邊形ABCD是平行四邊形，ZABC=ZADC,ZABC+ZADC=180°,ZABC=ZADC=90°,「?四邊形ABCD是矩形；(2)解：ZADC=90°,ZADF：ZFDC=3：2,ZFDC=36°,DF±AC,ZDCO=90°-36°=54°,???四邊形ABCD是矩形，OC=OD,ZODC=54°ZBDF=ZODC-ZFDC=18°.【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和判定，矩形的性質和判定的應用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵，注意：矩形的對角線相等，有一個角是直角的平行四邊形是矩形.6.已知：如圖，在平行四邊形八BCD中，。為對角線BD的中點，過點。的直線EF分別交AD,BC于E,F兩點，連結BE,DF.(1)求證：△DOE^△BOF.(2)當NDOE等于多少度時，四邊形BFDE為菱形？請說明理由./— n【答案】(1)證明見解析；(2)當NDOE=90°時，四邊形BFED為菱形，理由見解析.【解析】試題分析：(1)利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定方法得出△DOEM△BOF(ASA)；(2)首先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進而利用垂直平分線的性質得出BE=ED,即可得出答案.試題解析：(1):在。ABCD中，O為對角線BD的中點，「.BO=DO,NEDB=NFBO,在^EOD和^FOB中乙ED。=DO=30“EOD=△FOB.,.△DOE^△BOF(ASA)；(2)當NDOE=90°時，四邊形BFDE為菱形，理由：:△DOEM△BOF,，OE=OF,又＜OB=OD,?.?四邊形EBFD是平行四邊形,■:乙EOD=90°,EF_LBD,「?四邊形BFDE為菱形.考點：平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定.7.已知矩形紙片OBCD的邊0B在x軸上，0D在y軸上，點C在第一象限，且OB=8,0D=6.現(xiàn)將紙片折疊，折痕為EF(點E,F是折痕與矩形的邊的交點)，點P為點D的對應點，再將紙片還原。(I)若點P落在矩形OBCD的邊0B上，①如圖①，當點E與點。重合時，求點F的坐標；②如圖②，當點E在0B上，點F在DC上時，EF與DP交于點G,若。P=7,求點F的坐標：(口)若點P落在矩形OBCD的內(nèi)部，且點E,F分別在邊0D,邊DC上，當0P取最小值時，求點P的坐標(直接寫出結果即可)。用① 圖0一 ，-— (851J861【答案】(I)①點F的坐標為(6,6)；②點F的坐標為—,6；(II)P-,71147 V557【解析】【分析】(I)①根據(jù)折疊的性質可得「./DOF=/POF=45°,再由矩形的性質，即可求出F的坐標；②由折疊的性質及矩形的特點，易得ADGF=APGE，得到DF=PE，再加上平行，可以得到四邊形DEPF是平行四邊形，在由對角線垂直，得出口DEPF是菱形，設菱形的邊長為X,在RtAOOE中，由勾股定理建立方程即可求解;（口）當。出F點共線時0P的長度最短.【詳解】解：（I）①:折痕為EF,點P為點D的對應點ADOF二NPOFZDOF=ZPOF=45°V四邊形OBCD是矩形，:.ZODF=90。ZDFO=ZDOF=45°,\DF=D0=6點F的坐標為(6,6)②;折痕為EF,點P為點D的對應點.:.DG=PG,EF1PDV四邊形OBCD是矩形，.\DCHOB,??.ZFDG=ZEPG；??ZDGF=ZPGE..?ADGF二APGE/.DF=PE.?DFHPE「?四邊形DEPF是平行四邊形.??EFVPD,..□DEPF是菱形.設菱形的邊長為x,則?！?￡?=%?.?op=q,:.OE=7-x,在RtAOD石中，由勾股定理得0。2+。62=。石2/.62+(7—X)2=X285解得x=1414(QC\.??點F的坐標為—,6(14)【點睛】此題考查了幾何折疊問題、等腰三角形的性質、平行四邊形的判定和性質、勾股定理等知識，關鍵是根據(jù)折疊的性質進行解答，屬于中考壓軸題..圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點叫做格點.（1）在圖1中畫出等腰直角三角形MON,使點N在格點上，且NMON=90。；（2）在圖2中以格點為頂點畫一個正方形ABCD,使正方形ABCD面積等于（1）中等腰直角三角形MON面積的4倍，并將正方形ABCD分割成以格點為頂點的四個全等的直角三角形和一個正方形，且正方形ABCD面積沒有剩余（畫出一種即可）.圖1 圖2【答案】（1）作圖參見解析；（2）作圖參見解析.【解析】試題分析：（1）過點。向線段0M作垂線，此直線與格點的交點為N,連接MN即可；（2）根據(jù)勾股定理畫出圖形即可.試題解析：（1）過點。向線段0M作垂線，此直線與格點的交點為N,連接MN,如圖1所示；圖1（2）等腰直角三角形MON面積是5,因此正方形面積是20,如圖2所示；于是根據(jù)勾股定理畫出圖3：A A圖2 圖m考點：1.作圖-應用與設計作圖；2.勾股定理..閱讀下列材料：我們定義：若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，則這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形.如正方形就是和諧四邊形.結合閱讀材料，完成下列問題：4平行四邊形B.矩形C.菱形D.等腰梯形(2)命題："和諧四邊形一定是軸對稱圖形”是命題(填“真”或“假”).(3)如圖，等腰RSABD中，NB4D=90°.若點C為平面上一點，AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC,請求出NABC的度數(shù).【答案】(1)C；(2)NABC的度數(shù)為60°或90°或150°.【解析】試題分析：(1)根據(jù)菱形的性質和和諧四邊形定義，直接得出結論.(2)根據(jù)和諧四邊形定義，分AD=CD,AD=AC,AC=DC討論即可.(1)根據(jù)和諧四邊形定義，平行四邊形，矩形，等腰梯形的對角線不能把四邊形分成兩個等腰三角形，菱形的一條對角線能把四邊形分成兩個等腰三角形夠.故選C.(2);等腰Rt△ABD中，NBAD=90°,，AB=AD.丁AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC,「?分三種情況討論：若AD=CD,如圖1,則凸四邊形ABCD是正方形，NABC=90°；若AD=AC,如圖2,則AB=AC=BC,△ABC是等邊三角形，NABC=60°；若AC=DC,如圖3,則可求NABC=150°.考點：1.新定義；2.菱形的性質；3.正方形的判定和性質；4.等邊三角形的判定和性質；5.分類思想的應用.10.在平面直角坐標系中，O為原點，點A(-6,0)、點C(0,6),若正方形OABC繞點。順時針旋轉，得正方形OABU,記旋轉角為a：(1)如圖①，當a=45。時，求BC與AE的交點D的坐標；(2)如圖②，當a=60。時，求點B7的坐標；(3)若P為線段BU的中點，求AP長的取值范圍(直接寫出結果即可).圖①圖②【答案】(1)(6—6x2,6)；(2)(36—3,3+3V3)；(3)3<2-3<AP<3j2+3.【解析】【分析】(1)當a=45°時，延長OA’經(jīng)過點B,在R3BA'D中，NOBC=45°,A‘B=6<2-6，可求得BD的長，進而求得CD的長，即可得出點D的坐標；(2)過點C'作x軸垂線MN，交x軸于點M，過點B’作MN的垂線，垂足為N,證明△OMC"△C,NB’,可得C'N=OM=3J3,B,N=C'M=3,即可得出點B’的坐標；(3)連接OB,AC相交于點K,則K是OB的中點，因為P為線段30的中點，所以PK=1萬。。=3,即點P在以K為圓心，3為半徑的圓上運動，即可得出AP長的取值范圍.【詳解】解：(1);A(-6,0)、C(0,6),O(0,0),四邊形OABC是邊長為6的正方形，當a=45°時，如圖①，延長OA′經(jīng)過點B,;OB=6%2,OA'=OA=6,NOBC=45°,?二A'B=6<2-6,?二BD=(6j2-6)x%2=12-6<2,CD=6-(12-6；2)=6c2-6,BC與A'B’的交點D的坐標為(6-6j2,6)；圖①(2)如圖②，過點U作x軸垂線MN,交x軸于點M,過點B作MN的垂線，垂足為N,,/ZOC'B'=90°,ZOC'M=90°-ZB,C,N=ZCBN,...OC'=B'C',NOMC'=NC'NB'=90°,/.△OMC竺△C'NB'(AAS),當a=60°時，,/ZA'OC'=90°,OC=6,/.ZC,OM=30°,C'N=OM=3,：3,B'N=C'M=3\??點B'的坐標為〈書—3,3+3<3)圖②（3）如圖③，連接OB,AC相交于點K,則K是OB的中點，:P為線段30的中點，PK=2OC'=3,P在以K為圓心，3為半徑的圓上運動，;ak=3%2,AP最大值為3d2+3,AP的最小值為3<2-3AP長的取值范圍為3j2—3<cAP<：3g+3.以圖③【點睛】本題考查正方形性質，全等三角形判定與性質，三角形中位線定理.（3）問解題的關鍵是利用中位線定理得出點P的軌跡.11.定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形〃.性質：如果兩個三角形是“友好三角形〃，那么這兩個三角形的面積相等.理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形",并且S&acd=Sabcd-應用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點E在AD上，點F在BC上，AE=BF,AF與BE交于點0.（1）求證：△A0B和△A0E是“友好三角形〃；（2）連接0D,若△A0E和△D0E是“友好三角形〃，求四邊形CDOF的面積.探究：在△ABC中，ZA=30°,AB=4,點D在線段AB上，連接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形〃，將4ACD沿CD所在直線翻折，得到△ACD,若△ACD與AABC重合部分的面1積等于△ABC面積的支請直接寫出△ABC的面積.【答案】（1）見解析；（2）12；探究：2或2A?.【解析】試題分析：（1）利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質證得OE=OB，即可證得^AOE和^AOB是友好三角形；（2）△AOE和^DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點，則可以求得△ABE、△ABF的面積，根據(jù)S四邊形0端5矩形ABCD-2S.abf即可求解?探究：畫出符合條件的兩種情況：①求出四邊形A'DCB是平行四邊形，求出BC和A'D推出NACB=90°,根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出高CQ,求出△A′DC的面積.即可求出^ABC的面積.

試題解析：(l)：四邊形ABCD是矩形,ADIIBC,AE=BF,「?四邊形ABFE是平行四邊形，OE=OB,△AOE和^AOB是友好三角形.(2)-/△AOE和^DOE是友好三角形,1々aoeQdoe，AE=EdJaD=3,「△AOB與公AOE是友好三角形，,SAAOB=SAAOE?△AOE^△FOB,,SAAOE=SAFOB',SAAOD=SAABF5??.S四邊形??.S四邊形CD。尸矩形ABCD-2s“bf=4x6-2x2x4x3=12.探究:探究:解：分為兩種情況：①如圖1,AD=BD=2aB,解：分為兩種情況：①如圖1,AD=BD=2aB,???沿CD折疊A???沿CD折疊A和A重合,11AD=AzD="AB=2x4=2,1???△ACD與AABC重合部分的面積等于△ABC面積的耳,1111一DOC-ABC-'bd"ADC=''△A’DC，「.DO=OB,A'O=CO,???四邊形A’DCB是平行四邊形，「.BC=A'D=2,過B作BM±AC于M,;AB=4,NBAC=30°,BM=2aB=2=BC,即C和M重合，/.ZACB=90°,由勾股定理得：AC=、@-y=N,11/.△ABC的面積是IxBCxAC)x2x2、產(chǎn)=2%/&,/s=sAACD-ABCD1AD=BD=2aB,???沿CD折疊A和A重合，11AD=AzD=2aB=2x4=2,17△ACD與^ABC重合部分的面積等于△ABC面積的1111s=* =^s =^s =-s ,△DOCAABC△BDC△ADCAAZDCDO=OAZ,BO=CO,四邊形ABDC是平行四邊形，AZC=BD=2,過C作CQ_LA;D于Q,,/A'C=2,ZDA/C=ZBAC=30°,1CQ=2azC=1,11S=2S =2S=2x^xAzDxCQ=2x2x2xl=2；AABC△ADC△AZDC '

IPAABC的面積是2或2'N.考點：四邊形綜合題.D重合），GE_LDC于點12.如圖，在正方形ABCD中，點G在對角線BDD重合），GE_LDC于點E,GF_LBC于點F,連結AG.（1）寫出線段AG,GE,GF長度之間的數(shù)量關系，并說明理由;（2）若正方形ABCD的邊長為1,ZAGF=105°,求線段BG的長.【答案】(1)AG2=GE2+GF2(2)"一番6【解析】試題分析：（1）結論：AG2=GE2+GF2.只要證明GA=GC,四邊形EGFC是矩形，推出GE=CF,在RSGFC中，利用勾股定理即可證明；（2）作BN_LAG于N,在BN上截取一點M,使得AM=BM.設AN=x.易證AM=BM=2x,MN=Jjx,在R3ABN中，根據(jù)AB2=AN2+BN2,可得1=X2+（2x+JJx）2,解得x=#Y,推出bn=。近，再根據(jù)BG=BN+cos30°即可解決問題.4 4試題解析：（1）結論：AG2=GE2+GF2.理由：連接CG.丁四邊形ABCD是正方形，「?A、C關于對角線BD對稱，???點G在BD上，??.GA=GC，;GE±DC于點E，GF±BC于點F，」.乙GEC=NECF=NCFG=90°，???四邊形EGFC是矩形，「.CF=GE，在RtAGFC中，:CG2=GF2+CF2，:AG2=GF2+GE2.(2)作BN±AG于N,在BN上截取一點M,使得AM=BM.設AN=x.「乙AGF=105°,乙FBG=NFGB=NABG=45°,「.NAGB=60°,NGBN=30°,NABM=NMAB=15°,「.NAMN=30°,

AM=BM=2x,MN=^x,在RtAABN中，???AB2=AN2+BN2,1=X2+（2x+也X）2,鏟出新-盧解得x= ，-4.BN=乖一霹,4BG=BNbcos3C>o=[0BG=BNbcos3C>o=[0一述6考點：1、正方形的性質，2、矩形的判定和性質，3、勾股定理，4、直角三角形30度的性質13.如圖，AB為。13.如圖，AB為。0的直徑，點E在。。上,

接BE,過點。作BE的平行線，交O。于點F(1)求證：AC是。0的切線；四邊形FOBE過點E的切線與AB的延長線交于點D,連交切線于點C,連接AC是菱形.【分析】(1)由等角的轉換證明出AOCA^AOCE，根據(jù)圓的位置關系證得AC是。O的切線.(2)根據(jù)四邊形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF，得證AOBE為等邊三角形，而得出/BOE=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出答案.【詳解】(1)證明：:CD與。O相切于點E,

..OELCD,ZCEO=90°,又「OC\\BE,/COE=AOEB,ZOBE=ZCOAOE=OB,..ZOEB=ZOBE,..ZCOE=ZCOA,又「OC=OC,OA=OE,..AOCA^AOCE(SAS),ZCAO=ZCEO=90°,又丁AB為。。的直徑，「?AC為O。的切線；(2)解：:四邊形FOBE是菱形，OF=OB=BF=EF,OE=OB=BE,AO跖為等邊三角形，ZBOE=60°,而。石_LCD,「?/。=30。.故答案為30.【點睛】本題主要考查與圓有關的位置關系和圓中的計算問題，熟練掌握圓的性質是本題的解題關鍵.14.小明在矩形紙片上畫正三角形，他的做法是：①對折矩形紙片ABCD(AB>BC),使AB與DC重合，得到折痕EF,把紙片展平；②沿折痕BG折疊紙片，使點C落在EF上的點P處，再折出PB、PC,最后用筆畫出△PBC(圖1).(1)求證：圖1中的 PBC是正三角形：(2)如圖2,小明在矩形紙片HIJK上又畫了一個正三角形IMN,其中IJ=6cm,且HM=JN.①求證：IH=IJ②請求出NJ的長；(3)小明發(fā)現(xiàn)：在矩形紙片中，若一邊長為6cm,當另一邊的長度a變化時，在矩形紙片上總能畫出最大的正三角形，但位置會有所不同.請根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，畫出不同情形的示意圖(作圖工具不限，能說明問題即可)，并直接寫出對應的a的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析；②12-6#(3)373<a<4耳,a>4,3【解析】分析：(1)由折疊的性質和垂直平分線的性質得出PB=PC,PB=CB,得出PB=PC=CB即可；(2)①利用"HL〃證RtAIHMMRtAIJN即可得；②IJ上取一點Q,使QI=QN,由RtAIHMMRtAIJN知NHIM=NJIN=15°,繼而可得NNQJ=30°,設NJ=x，則IQ=QN=2x、QJ=<3x,根據(jù)IJ=IQ+QJ求出x即可得；(3)由等邊三角形的性質、直角三角形的性質、勾股定理進行計算，畫出圖形即可.(1)證明：:①對折矩形紙片ABCD(AB>BC),ffiAB與DC重合，得到折痕EF「.PB=PC???沿折痕