2022年湖南省常德市鴨子港中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022年湖南省常德市鴨子港中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知拋物線y2=4x，過其焦點(diǎn)F的直線l與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)（A在第一象限內(nèi)），=3，過AB的中點(diǎn)且垂直于l的直線與x軸交于點(diǎn)G，則三角形ABG的面積為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得直線的傾斜角，求得直線AB的方程，代入拋物線方程，利用求得丨AB丨及中點(diǎn)E，利用點(diǎn)斜式方程，求得G點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式及三角形的面積公式求得三角形ABG的面積．【解答】解：作出拋物線的準(zhǔn)線l：x=﹣1，設(shè)A、B在l上的射影分別是C、D，連接AC、BD，過B作BE⊥AC于E．∵=3，則設(shè)丨AF丨=3m，丨BF丨=m，由點(diǎn)A、B分別在拋物線上，結(jié)合拋物線的定義，得丨AC丨=3m，丨BD丨=m．因此，Rt△ABE中，cos∠BAE==，得∠BAE=60°∴直線AB的傾斜角∠AFx=60°，得直線AB的斜率k=tan60°=．則直線l的方程為：y=（x﹣1），即x﹣y﹣=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，整理得：3x2﹣10x+3=0，則x1+x2=，x1x2=1，則y1+y2=（x1﹣1）+（x2﹣1）=，=，∴AB中點(diǎn)E（，），則EG的方程的斜率為﹣，則EG的方程：y﹣=﹣（x﹣），當(dāng)x=0時(shí)，則y=，則G（，0），則G到直線l的距離d==，丨AB丨=x1+x2+p=，則S△ABG=×丨AB丨?d=××=，故選C．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，焦點(diǎn)弦公式，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．2.定義在上的函數(shù)是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D3.設(shè)函數(shù)則（A）（B）（C）（D）參考答案：A，所以，選A.4.曲線：在點(diǎn)處的切線恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則曲線、直線、軸圍成的圖形面積為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（9，3），則=（

）

A.3

B.

C.

D.1參考答案：C略6.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則a的值為（

）A.-5

B.1

C.2

D.3參考答案：D略7.函數(shù)的定義域是

(

) A．

B．（1，+） C．（-1，1）∪（1，+∞）

D．（-，+）參考答案：C略8.某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積是（）A．4 B． C． D．2參考答案：D【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】根據(jù)四棱錐的三視圖，得出該四棱錐底面為直角梯形的直四棱錐，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積．【解答】解：根據(jù)四棱錐的三視圖，得；該四棱錐是直四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，梯形的上底長為1，下底長為2，高為2；所以，該四棱錐的體積為V=S底面積?h=×（1+2）×2×2=2．故選：D．9.已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若⊥，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【分析】直接利用向量垂直數(shù)量積為0列式求得a值．【解答】解：∵=（1，2），=（a，﹣1），∴由⊥，得1×a+2×（﹣1）=0，即a=2．故選：D．10.若動圓的圓心在拋物線上，且與直線y＋3＝0相切，則此圓恒過定點(diǎn)

()A.(0,2)

B．(0，－3)

C.

(0,3)

D．(0,6)參考答案：C：直線y＋3＝0是拋物線x2＝12y的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知拋物線上的點(diǎn)到直線y＝－3的距離與到焦點(diǎn)(0,3)的距離相等，所以此圓恒過定點(diǎn)(0,3).二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）（2015?泰州一模）已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，則A∩B=．參考答案：{3，4}【考點(diǎn)】：交集及其運(yùn)算．【專題】：集合．【分析】：由A與B，求出兩集合的交集即可．解：∵A={1，3，4}，B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案為：{3，4}【點(diǎn)評】：此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．12.我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出體積的計(jì)算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容異”．“勢”即是高，“冪”是面積．意思是：如果兩等高的幾何體在同高處所截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．已知雙曲線C的漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)為．直線與在第一象限內(nèi)與雙曲線及漸近線圍成如圖所示的圖形OABN，則它繞軸旋轉(zhuǎn)一圈所得幾何體的體積為_____．參考答案：由題意可得雙曲線的方程為，在第一象限內(nèi)與漸近線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，與雙曲線第一象限的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，記與軸交于點(diǎn)，因?yàn)椋鶕?jù)祖暅原理，可得旋轉(zhuǎn)體的體積為．13.從甲、乙等10名同學(xué)中挑選4名參加某校公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有________________種。參考答案：【解】：∵從10個(gè)同學(xué)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動有種不同挑選方法；

從甲、乙之外的8個(gè)同學(xué)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動有種不同挑選方法；∴甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有種不同挑選方法

故填；【考點(diǎn)】：此題重點(diǎn)考察組合的意義和組合數(shù)公式；【突破】：從參加“某項(xiàng)”切入，選中的無區(qū)別，從而為組合問題；由“至少”從反面排除易于解決；14.設(shè)，若，則

．參考答案：1略15.已知矩形,沿對角線將它折成三棱椎，若三棱椎外接球的體積為，則該矩形的面積最大值為

.參考答案：16.已知向量，的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影是_______________．參考答案：略17.若直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，a為實(shí)數(shù).（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）答案不唯一，見解析（2）【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)后，分三種情況討論，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）根據(jù)不等式恒成立，分離參數(shù)可得，時(shí)恒成立，分別求出左邊的最大值與右邊的最小值即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是..（i）當(dāng)時(shí)，令，得；令，得或，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)時(shí)，對任意恒成立，且不恒為0，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；（iii）當(dāng)時(shí)，令，得；令，得或，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增.（2）等價(jià)于，得，得，因?yàn)椋?所以不等式兩邊同時(shí)除以，得，即，得.所以.即對任意恒成立.設(shè)，，，則，.所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).所以，.所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、最值，不等式恒成立問題，分類討論的思想，屬于難題.19.已知p：x∈R,2x＞m(x2＋1)，q：∈R，＋－m－1＝0，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：略20.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，，公比為q；等差數(shù)列{bn}中，，且{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，，.（1）求{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{cn}滿足，求{cn}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：（1），，（2）試題分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系式，列出方程，即可求出通項(xiàng)公式；（2）表示出，利用裂項(xiàng)求和，求解即可.r試題解析：(1)設(shè)數(shù)列的公差為，

，，

(2)由題意得：，

.點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念，以及數(shù)列的求和，屬于高考中?？贾R點(diǎn)，難度不大；常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項(xiàng)相消法類似于，錯(cuò)位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.

21.(12分)某中學(xué)號召學(xué)生在放假期間至少參加一次社會實(shí)踐活動（以下簡稱活動）。現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該校100名學(xué)生參加活動的情況，他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示。（1）求這些學(xué)生參加活動的人均次數(shù)；（2）從這些學(xué)生中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率；（3）從這些學(xué)生中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨即變量的分布列和數(shù)學(xué)期望。

參考答案：解析：由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為10、50和40．（Ⅰ）該合唱團(tuán)學(xué)生參加活動的人均次數(shù)為

3分（Ⅱ）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率為

6分（Ⅲ）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件，“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件，“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件．易知；；

9分

的分布列為：

10分

的數(shù)學(xué)期望：．

12分22.(本小題滿分l2分)中國航母“遼寧艦”是中國第一艘航母，“遼寧”號以4臺蒸汽輪機(jī)為動力，為保證航母的動力安全性，科學(xué)家對蒸汽輪機(jī)進(jìn)行了170余項(xiàng)技術(shù)改進(jìn)，增加了某項(xiàng)新技術(shù)，該項(xiàng)新技術(shù)要進(jìn)入試用階段前必須對其中的三項(xiàng)不同指標(biāo)甲、乙、丙進(jìn)行通過量化檢測．假如該項(xiàng)新技術(shù)的指標(biāo)甲、乙、丙獨(dú)立通過檢測合格的概率分別為、、。指標(biāo)甲、乙、丙合格分別記為4分、2分、4分；若某項(xiàng)指標(biāo)不合格，則該項(xiàng)指標(biāo)記0分，各項(xiàng)指標(biāo)檢測結(jié)果互不影響．

(I)求該項(xiàng)技術(shù)量化得分不低于8分的概率；

(II)記該項(xiàng)新技術(shù)的三個(gè)指標(biāo)中被檢測合格的指標(biāo)個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考答案：解：（Ⅰ）該項(xiàng)新技術(shù)的三項(xiàng)不同指標(biāo)甲、乙、丙獨(dú)立通過檢測合格分別為事件、、，