勾股定理知識點總結(jié)(經(jīng)典、實用)

第三章、勾股定理一、知識要點：1、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。公式的變形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。符號語言：注意：前提一定是直角三角形.a，b也可能是斜邊，分清斜邊直角邊.勾股定理的證明：勾股定理的證明方法很多，常見的的方法是面積相等---根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法常見方法如下：方法一：，，化簡可證．方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為所以方法三：，，化簡得證勾股定理的適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三邊長分別是a，b，c，且滿足a2+b2=c2，那么三角形ABC是直角三角形。這個定理叫做勾股定理的逆定理.該定理在應(yīng)用時，同學們要注意處理好如下幾個要點：已知的條件：某三角形的三條邊的長度.②滿足的條件：最大邊的平方=最小邊的平方+中間邊的平方.③得到的結(jié)論：這個三角形是直角三角形，并且最大邊的對角是直角.④如果不滿足條件，就說明這個三角形不是直角三角形。（分類討論，數(shù)形結(jié)合）最大邊的平方＜最小邊的平方+中間邊的平方是銳角三角形最大邊的平方＞最小邊的平方+中間邊的平方是鈍角三角形說明：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c；（2）分別求出c2與a2+b2，判定c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則△ABC為銳角三角形）。（定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）3、勾股數(shù)滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。注意：①勾股數(shù)必須是正整數(shù)，不能是分數(shù)或小數(shù)。一組勾股數(shù)擴大相同的正整數(shù)倍后，仍是勾股數(shù)?？s小后仍滿足a2+b2=c2常見勾股數(shù)有：用常見（3，4，5

）(5，12，13

)(

6，8，10

)

(

7，24，25

)

(

8，15，17

)(9，12，15

)

含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。1．勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3．勾股定理在應(yīng)用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應(yīng)用過程中易犯的主要錯誤。4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關(guān)系：a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法．5.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數(shù)運算，通過學習加深對“數(shù)形結(jié)合”的理解．我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）4.勾股定理的應(yīng)用解決求直角三角形中的邊長或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊。②已知一邊和關(guān)系，設(shè)未知數(shù)通過勾股定理得方程求解。典型問題：最短距離問題：主要運用的依據(jù)是兩點之間線段最短。注：解決實際問題思想：把實際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學問題方法：（1）抓主要信息。1.抓已知條件，2.抓數(shù)量關(guān)系3.抓所求問題同時（2）畫圖，標注圖，分析圖.把題目中的已知數(shù)量，關(guān)系，所求都標注在圖形中，分析他們之間關(guān)系。當不能直接求解時，往往先設(shè)出未知數(shù)，用未知數(shù)表示出其他量，也要標注在圖形中。通過分析圖形，找關(guān)系，想方法，找出解題思路。（3）從已知出發(fā)，一步一步用符號語言書寫推理過程。推理就是，由已知，先能求出什么，再求出的基礎(chǔ)上再求什么，----最后求出結(jié)果。技巧：鎖定基本圖形。能力：閱讀能力，讀題要慢讀細讀，邊讀邊思考，不明白時，再讀。理解能力，把題目信息，動腦想，弄明白，理解怎么用。膽大心