高速公路收費(fèi)站排隊(duì)論模型研究

高速公路收費(fèi)站排隊(duì)論模型研究

1高速公路收費(fèi)站的規(guī)模設(shè)置和收費(fèi)軟件的分析隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，人們的生產(chǎn)、生活和審美情趣越來越快，這就要求交通為人們提供一個(gè)快速、安全的旅行平臺(tái)。雖然高速公路能夠解決這一問題,但其存在的各種問題依然嚴(yán)重影響著人們的出行,尤其收費(fèi)站問題。在高速公路的設(shè)計(jì)中,如果收費(fèi)站的規(guī)模設(shè)置的不合理,會(huì)造成嚴(yán)重的交通擁堵、安全問題。在交通高峰期,收費(fèi)站經(jīng)常出現(xiàn)擁擠現(xiàn)象,甚至車輛在收費(fèi)廣場(chǎng)內(nèi)多次變換車道、搶占收費(fèi)車道,大大增加了車輛間發(fā)生交織和沖突的幾率。因此,如何合理的設(shè)置收費(fèi)站收費(fèi)亭的個(gè)數(shù),如何根據(jù)車流大小決定收費(fèi)亭的開啟數(shù)量,是高速公路收費(fèi)站設(shè)計(jì)和管理的重點(diǎn)問題。排隊(duì)論(QueuingTheory),是研究系統(tǒng)隨機(jī)聚散現(xiàn)象和隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)工作過程的數(shù)學(xué)理論和方法。高速公路收費(fèi)系統(tǒng),是一個(gè)典型的排隊(duì)系統(tǒng)。而高速公路收費(fèi)站存在的問題就是沒有處理好排隊(duì)收費(fèi)問題,造成擁堵。本文從排隊(duì)論基本理論出發(fā),探討高速公路收費(fèi)站收費(fèi)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的優(yōu)化問題。2多路排隊(duì)模型圖1為一最簡單的排隊(duì)系統(tǒng)模型。排隊(duì)系統(tǒng)包括三個(gè)組成部分:輸入過程、排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu)。輸入過程考察的是顧客到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的規(guī)律。它可以用一定時(shí)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)或前后兩個(gè)顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間來描述,一般分為確定型和隨機(jī)型兩種。隨機(jī)型的輸入是指在時(shí)間t內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)n(t)服從一定的隨機(jī)分布。如服從泊松分布,則在時(shí)間t內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客的概率為Ρn(t)=e-λt(λt)nn!(n=0,1,2,??,Ν)Pn(t)=e?λt(λt)nn!(n=0,1,2,??,N)排隊(duì)論中相繼到達(dá)的顧客的間隔時(shí)間T服從負(fù)指數(shù)分布,即P(T≤t)=1-e-λt上面兩式中λ為單位時(shí)間顧客期望到達(dá)數(shù),稱為平均到達(dá)率;1/λ為平均間隔時(shí)間。在排隊(duì)論中,討論的輸入過程主要是隨機(jī)型的。排隊(duì)規(guī)則分為等待制、損失制和混合制三種。這里運(yùn)用的排隊(duì)規(guī)則是屬于等待制,即當(dāng)顧客到達(dá)時(shí),所有服務(wù)機(jī)構(gòu)都被占用,則顧客排隊(duì)等候。服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是一個(gè)或多個(gè)服務(wù)臺(tái)。多個(gè)服務(wù)臺(tái)可以是平行排列的,也可以是串連排列的。服務(wù)時(shí)間一般也分成確定型和隨機(jī)型兩種。而隨機(jī)型服務(wù)時(shí)間v則服從一定的隨機(jī)分布。一般采用負(fù)指數(shù)分布,其分布函數(shù)是P(υ≤t)=1-e-ut(t≥0)式中:μ為平均服務(wù)率,1/μ為平均服務(wù)時(shí)間。服務(wù)機(jī)構(gòu)排隊(duì)系統(tǒng)問題的求解。研究排隊(duì)系統(tǒng)問題的主要目的是研究其運(yùn)行效率,考核服務(wù)質(zhì)量,以便據(jù)此提出改進(jìn)措施。通常評(píng)價(jià)排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)劣有6項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)。(1)系統(tǒng)負(fù)荷水平ρ:它是衡量服務(wù)臺(tái)在承擔(dān)服務(wù)和滿足需要方面能力的尺度;(2)系統(tǒng)空閑概率P0:系統(tǒng)處于沒有顧客來到要求服務(wù)的概率;(3)隊(duì)長:系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)和正在服務(wù)的顧客總數(shù),其平均值記為LS;(4)隊(duì)列長:系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù),其平均值記為Lg;(5)逗留時(shí)間:一個(gè)顧客在系統(tǒng)中停留時(shí)間,包括等待時(shí)間和服務(wù)時(shí)間,其平均值記為WS;(6)等待時(shí)間:一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待時(shí)間,其平均值記為Wg。高速公路上的車輛陸續(xù)到達(dá)收費(fèi)站,排隊(duì)等候,依次接受收費(fèi)服務(wù),然后離開收費(fèi)站。如果到達(dá)的車輛不能及時(shí)得到服務(wù),就產(chǎn)生了排隊(duì)現(xiàn)象,高速公路收費(fèi)系統(tǒng),是一個(gè)典型的排隊(duì)系統(tǒng)。該收費(fèi)站系統(tǒng)采用標(biāo)準(zhǔn)的M/M/C/∞/∞/FCFS的排隊(duì)模型。上述符號(hào)中第一個(gè)M為車輛到達(dá)時(shí)間間隔,高速公路上的交通量較城市道路要小,可以用泊松分布描述車輛的到達(dá),用負(fù)指數(shù)分布描述車輛到達(dá)的時(shí)間間隔;第二個(gè)M為收費(fèi)服務(wù)時(shí)間,根據(jù)調(diào)查研究,該服務(wù)時(shí)間滿足正太分布,一般的統(tǒng)計(jì)結(jié)果為8s;C為收費(fèi)站收費(fèi)亭個(gè)數(shù);理想狀態(tài)假設(shè):系統(tǒng)能容納無限多個(gè)車輛,道路上的車源也是無限的;FCFS為系統(tǒng)采用先到先服務(wù)的規(guī)則。在收費(fèi)站排隊(duì)系統(tǒng)中,車輛排隊(duì)方式是多路排隊(duì)多通道服務(wù):指每個(gè)通道各排一個(gè)隊(duì),每個(gè)通道只為其相對(duì)應(yīng)的一隊(duì)車輛服務(wù),車輛不能隨意換隊(duì)。當(dāng)C值取1時(shí),即為單路排隊(duì)單通道服務(wù)系統(tǒng),表示只有一個(gè)收費(fèi)窗口的收費(fèi)系統(tǒng),所以,多路排隊(duì)多通道服務(wù)系統(tǒng)相當(dāng)于多個(gè)M/M/1單通道系統(tǒng)組成的排隊(duì)系統(tǒng)。在收費(fèi)站排隊(duì)模型中,相關(guān)符號(hào)定義如下:λ為系統(tǒng)中車輛為n時(shí)的平均到達(dá)強(qiáng)度(到達(dá)強(qiáng)度以單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的車輛數(shù)表示);μ為系統(tǒng)車輛數(shù)為n時(shí)收費(fèi)員平均(期望)服務(wù)強(qiáng)度(服務(wù)強(qiáng)度以單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)的車輛數(shù)表示);Pn為系統(tǒng)在時(shí)刻t有n輛車的概率;C為系統(tǒng)收費(fèi)亭數(shù)目。系統(tǒng)中主要研究和計(jì)算的數(shù)量指標(biāo)有:L為系統(tǒng)期望車輛數(shù),亦稱隊(duì)長;Lq為系統(tǒng)期望排隊(duì)車輛數(shù),亦稱排隊(duì)長;W為車輛在系統(tǒng)內(nèi)的期望停留時(shí)間;Wq為車輛在系統(tǒng)內(nèi)的期望等待時(shí)間。3單通道服務(wù)模型m.m.1(1)通強(qiáng)度及服務(wù)程度設(shè)車輛平均到達(dá)率為λ(輛/h),系統(tǒng)平均服務(wù)率為μ(輛/h),交通強(qiáng)度或服務(wù)程度為ρ。則ρ=λ/μ<1由遞推公式,系統(tǒng)中有n輛車的概率為Ρn=(λμ)nΡ0=ρnΡ0由概率性質(zhì)知∞∑n=0Ρn=1即Ρ0∞∑n=0ρn=Ρ011-ρ=1從而有{Ρ0=1-ρΡn=(1-ρ)?ρn(2)l為n,n為,n為,n為,n為,n為,n為,2+3+2+2+3+2+2+3+2+2+3+2+3+2+3+3+4+2+3+4+4+4+2+3+3+4+3+4+3+4+5+4+4+5+4+4+4+4+45.5+2+,l=-根據(jù)系統(tǒng)中有n輛車的概率Pn,可知系統(tǒng)中的隊(duì)長L為L=∞∑n=0n?Ρn=∞∑n=0n?(1-ρ)?ρn=ρ+ρ2+ρ3+?+ρn+?=ρ1-ρ=λμ-λ即L=λμ-λ(3)n-1n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,2,2Lq=∞∑n=1(n-1)Ρn=∞∑n=1(n-1)(1-ρ)ρn=∞∑n=1n(1-ρ)ρn-∞∑n=1(1-ρ)ρn=L-ρ=ρ21-ρ=λ2/μ(μ-λ)(4)從-上說,它服從參數(shù)為-,其負(fù)指數(shù)分布上的分布函數(shù)和密度函數(shù),其符合以下函數(shù)車輛在收費(fèi)站排隊(duì)系統(tǒng)中的期望逗留時(shí)間W是隨機(jī)變量,可以證明,它服從參數(shù)為μ-λ的負(fù)指數(shù)分布,分布函數(shù)和密度函數(shù)為{F(ω)=1-e-(μ-λ)ωf(ω)=(μ-λ)e-(μ-λ)ω(5)車輛系統(tǒng)維護(hù)時(shí)間為wq車輛在系統(tǒng)內(nèi)的期望等待時(shí)間Wq應(yīng)該為期望停留時(shí)間W減去平均服務(wù)時(shí)間,即Wq=W-1μ=1μ-λ-1μ=μμ(μ-λ)=Lqλ4多通道模型的計(jì)算方法由于多通道服務(wù)模型即M/M/n模型相當(dāng)于多個(gè)M/M/1模型,因而在計(jì)算多通道模型時(shí),只需計(jì)算其中一個(gè)M/M/1模型,然后乘以收費(fèi)亭數(shù)即可,在復(fù)雜交通情況下可以適當(dāng)乘以修正系數(shù)。5高速公路收費(fèi)站的服務(wù)質(zhì)量計(jì)算在收費(fèi)站排隊(duì)模型中,如果P<1,則系統(tǒng)穩(wěn)定;如果P>1,系統(tǒng)的排隊(duì)長度將會(huì)無限增大,出現(xiàn)“爆炸”現(xiàn)象,因此要調(diào)整平均服務(wù)強(qiáng)度μ,使?jié)M足條件是λ<μ,保持穩(wěn)定狀態(tài)即確保排隊(duì)能夠消散,在收費(fèi)系統(tǒng)中就是能夠使排隊(duì)車輛在一定時(shí)間里面通過收費(fèi)站,從而保證交通的流暢;如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的,但排隊(duì)和等待時(shí)間很長,也要調(diào)整平均服務(wù)強(qiáng)度,使其排隊(duì)長和等待時(shí)間在預(yù)定的期望值內(nèi)。高速公路收費(fèi)站服務(wù)等級(jí)可根據(jù)下表服務(wù)區(qū)等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)確定,一般情況下采用二級(jí)服務(wù)標(biāo)準(zhǔn),即排隊(duì)車輛不大于4輛。對(duì)于人工收費(fèi)站,服務(wù)時(shí)間根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),取8s,每個(gè)收費(fèi)窗口的平均服務(wù)率μ0=3600/8=450輛/h。根據(jù)3節(jié)中公式,運(yùn)用VisualBasic6.0程序編寫程序,計(jì)算不同收費(fèi)亭數(shù)時(shí)的服務(wù)水平,即服務(wù)小時(shí)交通量,見表2。(1)在進(jìn)行公路收費(fèi)站設(shè)計(jì)時(shí),根據(jù)預(yù)測(cè)高峰小時(shí)交通量以及所需的服務(wù)水平,根據(jù)當(dāng)?shù)氐膶?shí)際情況,通過上表選擇所需的收費(fèi)亭數(shù)量。(2)在實(shí)際運(yùn)營階段,根據(jù)當(dāng)?shù)啬彻潭〞r(shí)段的車流量的大小,通過上表選擇需要開放的收費(fèi)亭數(shù),從而降低資源的消耗,達(dá)到節(jié)約能源的目的。6收費(fèi)站收費(fèi)亭數(shù)的確定此模型建立的目的之一是確定高速路上同一地點(diǎn)的最優(yōu)收費(fèi)亭數(shù)C和單位時(shí)間服務(wù)車輛數(shù)的能力。可以根據(jù)道路預(yù)測(cè)交通量推測(cè)平均車輛到達(dá)率λ,根據(jù)每個(gè)收費(fèi)窗口服務(wù)一輛汽車的平均時(shí)間t計(jì)算系統(tǒng)平均服務(wù)率μ(人工停車收費(fèi)系統(tǒng)取t=8s,智能收費(fèi)系統(tǒng)根據(jù)實(shí)際服務(wù)時(shí)間取值),利用2節(jié)中公式計(jì)算隊(duì)長、排