基于負(fù)指數(shù)分布假設(shè)的礦山運(yùn)維系統(tǒng)性能參數(shù)研究

基于負(fù)指數(shù)分布假設(shè)的礦山運(yùn)維系統(tǒng)性能參數(shù)研究

最簡單的排水系統(tǒng)輸入是poisson流。在這種情況下，兩位客戶之間的相互信任的間隔是朝著負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)變量。負(fù)指數(shù)分布因其重要特性——無后效性,使模型的數(shù)學(xué)求解變得簡單。因此對(duì)以負(fù)指數(shù)分布為基礎(chǔ)的M/M/1,M/M/C,M/M/C/N,M/M/C/N/N等排隊(duì)模型的理論和求解方法研究已很成熟,這些模型的應(yīng)用也最為廣泛。排隊(duì)論在露天采礦研究中的應(yīng)用也是如此,人們一般都采用上述負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)模型進(jìn)行計(jì)算和系統(tǒng)分析,沒有涉及服務(wù)時(shí)間概率分布的選擇對(duì)排隊(duì)論模型計(jì)算精度影響問題。針對(duì)這一問題,林奇寧和駱中州提出利用愛爾朗(Erlang)分布來解決作業(yè)時(shí)間概率分布選擇的問題。愛爾朗分布的概率密度函數(shù)是:f(x)=μ(μx)k-1(k-1)e-μx(1)f(x)=μ(μx)k?1(k?1)e?μx(1)式中,μ為均值,k為階數(shù)。當(dāng)k=1時(shí)為負(fù)指數(shù)分布函數(shù);當(dāng)k增大時(shí)愛爾朗分布由不對(duì)稱形逐漸向?qū)ΨQ形過渡;當(dāng)k≥30時(shí)近似于正態(tài)分布;當(dāng)k→∞時(shí)變?yōu)榇_定型分布?？梢?一般的愛爾朗分布屬完全隨機(jī)與完全確定之間的中間型分布,其具體函數(shù)由階數(shù)k來規(guī)定,較之正態(tài)分布和負(fù)指數(shù)分布具有更大的適應(yīng)性。然而,由于分析愛爾朗分布的排隊(duì)系統(tǒng)模型的基本方法是位相分析法,需建立和求解大型差分方程組,推導(dǎo)復(fù)雜,計(jì)算量大,必需用計(jì)算機(jī)求解,實(shí)際應(yīng)用中仍然以傳統(tǒng)的負(fù)指數(shù)分布模型為主。但是,在不少情況下,實(shí)際分布與負(fù)指數(shù)分布相差較大。這種大的差異可能導(dǎo)致計(jì)算誤差較大甚至得到相反的系統(tǒng)分析結(jié)論。本文通過數(shù)學(xué)分析和算例,揭示了在運(yùn)用排隊(duì)論分析露天礦電鏟——汽車(或列車)裝運(yùn)系統(tǒng)時(shí),負(fù)指數(shù)分布假設(shè)所造成的排隊(duì)分析誤差及其根源。1信息的指數(shù)分布一個(gè)連續(xù)型負(fù)指數(shù)分布隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為:f(t)={λe-λt?t≥00?t＜0(2)f(t)={λe?λt?t≥00?t＜0(2)式中λ(λ>0)為常數(shù)。其均值E[X]=1/λ,方差D[X]=1λ2D[X]=1λ2。若E[X]≠0,隨機(jī)變量X的變異系數(shù)為:φ=√D[X]E[X](3)φ=D[X]√E[X](3)顯然,服從負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)變量的變異系數(shù)φ=1,這是一個(gè)隨機(jī)變量服從負(fù)指數(shù)分布的必要條件。如果一個(gè)隨機(jī)變量的變異系數(shù)遠(yuǎn)離于1,則可以認(rèn)為該隨機(jī)變量不服從負(fù)指數(shù)分布。表1～4所列是依據(jù)文獻(xiàn)中給出的某礦山電鏟——汽車系統(tǒng)的實(shí)測(cè)時(shí)間數(shù)據(jù)得到的分布特征值。通過以上各表中的變異系數(shù)可以看出:只有電鏟和汽車的故障時(shí)間與故障間隔時(shí)間實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的變異系數(shù)可以近似認(rèn)為是1,而經(jīng)過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),該礦的設(shè)備故障時(shí)間與故障間隔時(shí)間是服從負(fù)指數(shù)分布的。而其他數(shù)據(jù)組的變異系數(shù)均與數(shù)值1相差很大,都不能簡單地視為服從負(fù)指數(shù)分布。表5所示是文獻(xiàn)中給出的某露天礦鐵路運(yùn)輸中挖掘機(jī)裝列車時(shí)間的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)(每列車含八個(gè)自翻車)。計(jì)算得:均值為35.89min,標(biāo)準(zhǔn)差為9.15min,變異系數(shù)為0.255?？梢?從變異系數(shù)方面看該分布也與負(fù)指數(shù)分布相差甚遠(yuǎn)。上述實(shí)例不是特例,而是具有代表性的?？偨Y(jié)以往對(duì)露天礦電鏟——汽車工藝系統(tǒng)的研究成果,露天礦的裝車時(shí)間,汽車運(yùn)行時(shí)間和卸車時(shí)間實(shí)測(cè)統(tǒng)計(jì)分析的一般性結(jié)果是:裝車時(shí)間大多呈近似正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布;汽車重載運(yùn)行時(shí)間基本呈正態(tài)分布;空載運(yùn)行時(shí)間接近于正態(tài)分布或負(fù)指數(shù)分布;卸載時(shí)間多數(shù)近似呈負(fù)指數(shù)分布?？傊?露天礦電鏟——汽車(列車)裝運(yùn)系統(tǒng)的有關(guān)時(shí)間參數(shù)的概率分布可能與負(fù)指數(shù)分布相差甚遠(yuǎn)。為了排隊(duì)模型的求解方便,假設(shè)它們都服從負(fù)指數(shù)分布時(shí),模型所描述的系統(tǒng)行為和實(shí)際系統(tǒng)行為之間有多大的差異,得出的結(jié)論是否可用,是必須回答的重要問題。2列車到達(dá)流分析假定一個(gè)鐵路運(yùn)輸露天礦中一臺(tái)電鏟按上述表5所示的服務(wù)時(shí)間分布為列車提供裝車服務(wù),且列車相繼到達(dá)間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布,即到達(dá)流是泊松流,參數(shù)1/λ=40min。下面采用兩種方法計(jì)算此裝車服務(wù)系統(tǒng)的性能參數(shù):2.1近似處理?xiàng)l件列車相繼到達(dá)間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布,即到達(dá)流是泊松流,參數(shù)為1/λ=40。認(rèn)定裝車時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布,為了使這種近似處理最大限度接近實(shí)際,必須使負(fù)指數(shù)分布的均值等于實(shí)測(cè)裝車時(shí)間的均值,即參數(shù)為1/μ=35.89。這樣可套用M/M/1/∞排隊(duì)系統(tǒng)模型計(jì)算。服務(wù)強(qiáng)度ρ為:ρ=λμ=35.8940=0.89725(4)ρ=λμ=35.8940=0.89725(4)統(tǒng)計(jì)平衡條件下平均隊(duì)長為:ˉΝ=ρ1-ρ=8.732(5)Nˉˉˉ=ρ1?ρ=8.732(5)2.2m/g/1/排放系統(tǒng)模型對(duì)表5中的數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn),認(rèn)為此裝車時(shí)間是服從正態(tài)分布的,其均值μ=35.89min,標(biāo)準(zhǔn)差σ=9.15min。假定列車相繼到達(dá)間隔時(shí)間仍服從參數(shù)為1/λ=40的負(fù)指數(shù)分布,采用排隊(duì)論中的M/G/1/∞排隊(duì)系統(tǒng)模型計(jì)算。對(duì)于M/G/1/∞模型,服務(wù)時(shí)間的分布可以是任意的,但要求數(shù)學(xué)期望值和方差都存在,且在ρ<1時(shí)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)。根據(jù)公式(6)——P-K(Pollaczek-Khintchine)公式,M/G/1/∞模型在統(tǒng)計(jì)平衡條件下的平均隊(duì)長為:ˉΝ=ρ+ρ2+λ2σ22(1-ρ)(6)Nˉˉˉ=ρ+ρ2+λ2σ22(1?ρ)(6)將ρ=0.89725和其他已知條件代入,得:ˉΝ=5.0694Nˉˉˉ=5.06942.3強(qiáng)令參數(shù)下的模型雖然保持裝車時(shí)間的均值相同、列車相繼到達(dá)間隔時(shí)間分布相同,上述兩種算法在統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)下的隊(duì)長結(jié)果相差3.663,采用負(fù)指數(shù)分布得出的隊(duì)長是采用正態(tài)分布時(shí)得到隊(duì)長的1.72倍。這里僅以平均隊(duì)長為例,其他的排隊(duì)性能指標(biāo)也可以套用有關(guān)的公式計(jì)算比較。如此大的誤差產(chǎn)生的根源是:1)正態(tài)分布和負(fù)指數(shù)分布條件下隨機(jī)變量的取值“偏好”相差很大。對(duì)于正態(tài)分布,均值μ處是整條分布密度曲線的平分線,隨機(jī)變量以均值μ為中心取值,越遠(yuǎn)離均值μ,取值的概率越小,標(biāo)準(zhǔn)差為9.15min。在負(fù)指數(shù)分布的假定條件下,雖然參數(shù)選擇考慮了維持平均值不變,即強(qiáng)令參數(shù)為1/μ=35.89,但概率密度函數(shù)“偏向”零點(diǎn),即隨機(jī)變量取值越接近零,取值的概率也越大。中位數(shù)(median)是一個(gè)反映連續(xù)型隨機(jī)變量取值中心位置的量。設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(X),分布密度函數(shù)是f(x)。若m滿足F(m)=∫m-∞f(x)dx=0.5F(m)=∫m?∞f(x)dx=0.5則稱m為隨機(jī)變量x的中位數(shù)。在隨機(jī)變量x服從負(fù)指數(shù)分布的情況下,其中位數(shù)m為:F(m)=1-e-λm=0.5(7)m=ln2/λF(m)=1?e?λm=0.5(7)m=ln2/λ隨機(jī)變量的分布越是趨于對(duì)稱,中位數(shù)與均值越是接近。當(dāng)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布時(shí)兩者相等;當(dāng)隨機(jī)變量服從負(fù)指數(shù)分布時(shí),其均值為1/λ,中位數(shù)卻是ln2/λ。本例中,負(fù)指數(shù)分布均值1/μ=35.89min,中位數(shù)24.88min,隨機(jī)變量取值小于其中位數(shù)的概率為0.5;而均值μ=35.89min,標(biāo)準(zhǔn)差σ=9.15min的正態(tài)分布的隨機(jī)變量取值小于此中位數(shù)24.88min的概率卻為0.1151。即上述負(fù)指數(shù)分布和正態(tài)分布的隨機(jī)變量分別取值小于24.88min的概率相差約0.385,這不是小的差異。2)負(fù)指數(shù)分布假設(shè)扭曲了分布方差。從以P—K公式可以看出,排隊(duì)性能參數(shù)不僅與列車到達(dá)間隔時(shí)間均值和服務(wù)時(shí)間均值有關(guān),而且與服務(wù)時(shí)間的方差有關(guān)。在本例中,強(qiáng)行假設(shè)裝車時(shí)間服從同均值的負(fù)指數(shù)分布,相應(yīng)地也就假設(shè)了作業(yè)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)等于其均值(這是負(fù)指數(shù)分布的固有特性),即標(biāo)準(zhǔn)差=均值=35.89min,而實(shí)際情況卻是裝車時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為9.15.前者是后者的近4倍。自然地排隊(duì)系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)差別也很大。3研究對(duì)象的選取應(yīng)用排隊(duì)論方法對(duì)露天礦裝運(yùn)系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí),大多假設(shè)服務(wù)時(shí)間是負(fù)指數(shù)分布,使