不確定性原理的推導

不確定性原理的推導一、（普遍的）不確定性原理推導:對于任意一個可觀測量A,有（見（12）式）：b=（（A一⑷艸|（A-⑷艸）={f\f）（1）式中：/三（2—〈4〉）0同樣地，對于另外一個可觀測量B，有：^=（s\g）式中：g三（斤一〈3））0由施瓦茨不等式（見（16）式），有：TOC\o"1-5"\h\zb樹珂/V〉〈g|g〉哥/|g〉「⑵對于一個復數(shù)Z（見（17）式）：|^|2=［Re（z）］24-［hn（z）］2＞［hn（z）］2=［l（^-f（3）2z令z=〈/|g〉，⑵式：b；&彳寺［〈彳g）-〈g|。］）⑷又〈/1g〉=-（A））y/〔（A-何）肖）彳叫（人一⑷）（斤一何）0）彳叫應一期巧一斤⑷+⑷何）0）=〈”亦P）一⑷〈”2p）+⑷（P6”）+⑷〈B〉（p|p〉=〈碼-⑴⑷-⑷9〉+⑷0〉類似有:〈川g〉彳刼）-（對〈可（9）（9）（9）（9）所以⑴昉⑵刀彳碼-俾）可）（5）式中對易式：[入力]三—麗把（5）代入（4）,得（普遍的）不確定性原理：（6）二、位置與動量的不確定性設測試函數(shù)幾I）,有（見（23）式）：["]/⑴+曹（/）一葺時）h（Jidfhdvhdf}

i\idridvicLrJ=（7）去掉測試函數(shù)，則:A=X.B=/?t把（8）代入（6）：>->-由于標準差是正值，所以位置與動量的不確定性:(11)(11)(11)(11)三、時間與能量的不確定性由（見（24）式）：(10)叮加-⑴(10)可得：b、Qp=加—⑴，加卜3所以時間與能屋的不確定性：(18)(18)附：1、數(shù)學符號及常量〈X〉:X的平均值〈&|0〉：矢量（函數(shù)）a和0的點積（內積）j的不確定程度，即丿?的標準差hxh=—,其中A=6.6260693（11）1034Js為普朗克常量2龍/：z2=-l2、有關公式推導⑴式：洞0〈0）洞0〈0）巧⑵式：對于|何0〉「和9|?〈0|0）設67=（心呂,兀,???爲），0=（兒兒,兒，…,兒）則I〈a|0）『=g+?耳兒+5兒+???+￡y,,）2〈a|a〉=（彳+三+丘+…+兀）〈0|0〉=（）￡+￡+）￡+???+￡）(12)(13)(14)(15)構造方程:構造方程:(兀一y\)2+(tx2-y2)2+(血一y3)2+???+(%—yn)2=0其中/為未知數(shù)顯然，該方程最多僅有一個對f的解該方程可寫為：（彳+丘+￡+-+x；）t2-2（i+x2y2+禺兒+???+兀”兒）?『+（y；+y；+yl+???+y；）=o因為其解只有o或i個，所以△§（）：4（砒+無兒+耳兒+???+X”兒）'—4（對+疋+￡+???+兀：）$：+）弓+yl+???+￡）<0把（12）、（13）、（14）式代入，得：|00〉『<?口〉〈0|0〉（⑹⑶式：設z=ci+ib則[￡(“/)]—#[("ib)-(a-ib)]2=-^(2ib)2=b2[Im⑵]7所以(17)[Im⑵F=[￡(Z+M(17)2i（6）式：薛定愕方程:加竺一乂竺+艸dt2mdx^可以寫做:dt2mdx^h及其共軌式:更L一匹—

dt2mdx^h所以又由（13）、（14）式，有:利用分部枳分公式：（15）式可以寫為ill2wddx對第二項再分部積分,所以:dx2dx2ih2m(19)⑴二匚訓血ihr2〃」OX—

dtdxdx"執(zhí)T篇妙+就d/PcLrdxdxi消去邊界項（在±8處P趨于0）,得:dx（P）=//7（V）=d/(20)(21)(22)(23)(23)(23)(23)則有（6）式中的（兒”為算符）:x=X<tl0

p=idx（9）式：b彳⑷）>工（4/療（力=工C/-⑺井U）=E（/-2j（；hO）2）P（j）=工『p?-2⑴工jpe+uY工