2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽市聯(lián)合體高一年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽市聯(lián)合體高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與特殊角的三角函數(shù)值求解即可.【詳解】.故選：B.2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則它的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù)的概念即可得解.【詳解】因?yàn)椋?故選：A.3．如圖，一個(gè)水平放置的四邊形的斜二測畫法的直觀圖是矩形，，是的中點(diǎn)，則原四邊形的面積是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出，，即可得到平面圖形中，的值，即可求出四邊形的面積.【詳解】在直觀圖中為等腰直角三角形，所以，所以，又是的中點(diǎn)，所以，所以在平面圖形中，，所以.

故選：A4．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以，所以.故選：C.5．已知的外接圓半徑為1，，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理化邊為角，再利用兩角和的正弦公式結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得解.【詳解】由正弦定理可得，所以，則.故選：D.6．已知向量、滿足，，，設(shè)與的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件，求出及，然后利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，，所以，，所以，故選：C.7．函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用正切函數(shù)的周期及單調(diào)區(qū)間排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的最小正周期，∵選項(xiàng)D的最小正周期，D錯(cuò)誤；令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，取，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，故A正確，B、C錯(cuò)誤；故選：A.8．龍洗是我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一個(gè)圓臺．如圖，現(xiàn)有一龍洗盆高15cm，盆口直徑為40cm，盆底直徑為20cm．往盆內(nèi)倒入水，當(dāng)水深6cm時(shí)，盆內(nèi)水的體積近似為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合題意，利用平行線分線段成比例求得，從而利用圓臺的體積公式即可得解.【詳解】如圖所示，畫出圓臺的立體圖形和軸截面平面圖形，并延長與交于點(diǎn).

根據(jù)題意，得.設(shè)，有，即，解得，所以盆內(nèi)水的體積為.故選：B.二、多選題9．已知為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（

）A．B．C．若，則的虛部為4D．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的集合是以為圓心、以為半徑的圓【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)的模判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法化簡，再由復(fù)數(shù)的概念判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】對于A：，故A正確；對于B：，故B錯(cuò)誤；對于C：，所以的虛部為，故C錯(cuò)誤；對于D：令，，因?yàn)?，所以，則，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的集合是以為圓心、以為半徑的圓，故D正確；故選：AD10．已知為點(diǎn)，為直線，為平面，則下列命題成立的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，且，，則D．若，，，則【答案】BC【分析】對于AD，利用線面的位置關(guān)系直觀想象即可判斷；對于B，利用線面與面面平行與垂直的性質(zhì)與判定定理判斷即可；對于C，利用平面的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對于A，若，則直線可能平行、相交或異面，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以?nèi)存在一條直線，所以.

由，從而得到，故B正確；對于C，如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線也在此平面內(nèi).因?yàn)?，，且，則，故C正確；對于D，由，如下圖示，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.11．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，，符合條件的只有一個(gè)，則【答案】ABC【分析】根據(jù)正弦定理判斷A、D，利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式即可判斷B，根據(jù)單位向量及向量加法的平行四邊形法則判斷C.【詳解】對于A：在三角形中，由可得，根據(jù)正弦定理可得，故A正確；對于B：因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，由在三角形中，所以，又，所以，故B正確；對于C：由、分別為向量、方向上的單位向量，根據(jù)平行四邊形法則向量平分角，又，所以，所以，故C正確；對于D：若，即，此時(shí)符合條件的有兩個(gè)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．12．如圖，正方體的棱長為1，是正方形的中心，是的中點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（

）

A．平面 B．平面平面C．三棱錐的體積為 D．異面直線與所成的角為【答案】ABC【分析】對于A，利用線面垂直的判定定理即可得解；對于B，利用線面平行與面面平行的判定定理即可得解；對于C，利用三棱錐的體積公式即可得解；對于D，利用異面直線的定義與余弦定理即可得解.【詳解】對于，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，如圖，

則平面，又平面，所以，又平面，所以平面，故A正確；對于，連接，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，則，又平面，平面，故平面，易得，又平面，平面，故平面，又，平面，所以平面平面，故B正確；對于C，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以到底面的距離為，則，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，連接，則，在中，所以異面直線與所成的角不等于，故錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)解決的關(guān)鍵是利用中點(diǎn)的性質(zhì)得到到底面的距離，從而利用等體積法即可得解.三、填空題13．若，則．【答案】【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式及平方關(guān)系運(yùn)算求解即可．【詳解】∵，∴，∴，故答案為：．14．已知復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義得到的坐標(biāo)，從而得到，由此利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為，所以，則，所以.故答案為：.15．海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑，兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，，測得，，，，則，兩點(diǎn)間的距離為.【答案】【分析】根據(jù)題意，求得各個(gè)角度，即可得AD長，根據(jù)正弦定理，可得BD長，根據(jù)余弦定理，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，又因?yàn)椋?，由正弦定理得：，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解?故答案為：16．已知四棱錐的底面四邊形是邊長為的正方形，且平面，，點(diǎn)M為線段上的動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時(shí)，的長為．【答案】2【分析】連接MA，由題意知三棱錐的外接球即四棱錐的外接球，然后設(shè)四棱錐外接球的球心為O，半徑為R，連接AC與BD交于點(diǎn)，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征分析出當(dāng)O與重合時(shí)，三棱錐的外接球的體積最小，然后設(shè)CM的中點(diǎn)為N，連接，利用三角形相似求得，即可求得CM的長【詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，所以，連接MA，由題意可知三棱錐的外接球即四棱錐的外接球，則當(dāng)三棱錐外接球的體積最小時(shí)，四棱錐外接球的半徑最小，設(shè)四棱錐外接球的球心為O，半徑為R，連接AC與BD交于點(diǎn)，當(dāng)O與不重合時(shí)，連接，易知平面ABCD，則，連接OC，在中，，

當(dāng)O與重合時(shí)，，所以當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時(shí)，O與重合，.設(shè)CM的中點(diǎn)為N，連接，易知，則，所以，解得，所以，

故答案為：2四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，．(1)若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)實(shí)部為，虛部不為得到方程（不等式）組，解得即可；（2）首先求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得（2）當(dāng)時(shí)，所以.18．如圖，為半圓的直徑，，為上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.(1)用向量的方法證明；(2)若是上更靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量垂直的坐標(biāo)表示可證；（2）利用坐標(biāo)表示出，然后由三角函數(shù)性質(zhì)可得.【詳解】（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系.（方法一）由題意可知，設(shè)，則，，，，得，，所以，故，即.（方法二）由題意可知，，，設(shè)，則，得，得，，所以，故，即.（2）由題意得，則，設(shè)，則，，由（1）得，，所以，由，得，當(dāng)，即時(shí)，.故的最大值為.19．如圖，在正六棱錐中，為底面中心，，．

(1)若，分別是棱，的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若該正六棱錐的頂點(diǎn)都在球的表面上，求球的表面積和體積．【答案】(1)證明見解析(2)，【分析】（1）依題意可得，再由正六邊形的性質(zhì)得到，即可得證；（2）依題意可知球心一定在直線上，設(shè)球的半徑為，利用勾股定理求出，在根據(jù)球的表面積與體積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，在正六邊形中，，所以，所以，又平面，平面，所以平面（2）依題意可知球心一定在直線上，設(shè)球的半徑為，則，又，所以，解得，所以球的表面積，體積.

20．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，且．(1)求角；(2)若，求周長的最小值，并求出此時(shí)的面積．【答案】(1)(2)的周長的最小值為，【分析】（1）將切化弦，再由正弦定理將邊化角，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最小值，即可求出周長的最小值，與此時(shí)三角形的面積.【詳解】（1）因?yàn)椋?，由正弦定理可得，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，所?（2）由余弦定理，即，所以，所以，解得或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即的周長的最小值為，此時(shí)21．已知向量，，函數(shù)，．(1)求函數(shù)的最小正周期、值域；(2)對任意實(shí)數(shù)，，定義，設(shè)，，a為大于0的常數(shù)，若對于任意，總存在，使得恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算與輔助角公式化簡，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，從而結(jié)合的定義，分類討論求得的值域，由此利用數(shù)軸法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，，函?shù)，所以，所以函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)?，所以，所以，故函?shù)的值域?yàn)?（2）若對于任意，總存在，使得恒成立，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則，即，因?yàn)?，則，即，解得，則；同理當(dāng)時(shí)，則，，綜上：的值域?yàn)?，又的值域?yàn)?，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵有二，一是將問題轉(zhuǎn)化為與的值域之間的關(guān)系，二是理解新定義的含義，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求得的值域，從而得解.22．如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，，，點(diǎn)在上，且．

(1)已知點(diǎn)在上，且，證明：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，分析可知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，證明出平面，求出的長，即為所求.【詳解】（1）由且，可知是等腰直角三角形，且，又因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪危?/p>