變形-工程力學(xué)課件

第7章桿的變形分析剛度計算ll'd'd7.1.1拉壓桿的變形和應(yīng)變

縱向變形反映變形的大小。PP軸向線應(yīng)變（線應(yīng)變、應(yīng)變）反映了桿件橫截面上任一點沿軸向的變形程度。7.1軸向拉壓桿的變形1第7章桿的變形分析剛度計算ll'd'd7.1.1

橫向變形（了解）橫向線應(yīng)變實驗表明：橫向變形第7章桿的變形分析剛度計算7.1.1拉壓桿的變形和應(yīng)變7.1軸向拉壓桿的變形2橫向變形（了解）橫向線應(yīng)變實驗表明：橫向變形第7章桿的7.1.2胡克定律實驗證明：在彈性范圍內(nèi)材料拉壓時的胡克定律。拉壓桿的胡克定律EA：桿的抗拉(壓)剛度。反映了桿抵抗拉壓變形的能力。當(dāng)軸力、截面分段不同時，分別計算變形，再求代數(shù)和。軸力要代入符號。37.1.2胡克定律實驗證明：在彈性范圍內(nèi)材料拉壓時的胡克定例：階梯桿直徑分別為A1=4cm2，A2=8cm2，材料為Q235鋼，E=200GPa

，求桿的總變形和最大軸向線應(yīng)變。40kN8kN20kN200200FN2=－20kNFN1=40kN解：(1)分段求軸力，畫軸力圖。（2）分別計算變形，求代數(shù)和。FNx40kN20kN112260kN（3）計算最大線應(yīng)變。BAC4例：階梯桿直徑分別為A1=4cm2，A2=8cm2，材料為7.2圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形與剛度計算相距l(xiāng)的兩橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角:在長為l的軸上MT、GIP均為常量時：

的單位為radGIP稱為圓軸的抗扭剛度。反映了圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。7.2.1圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形若軸上各段MT、G和IP不同時，軸的總扭轉(zhuǎn)角為MTi代入符號57.2圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形與剛度計算相距l(xiāng)的兩橫截面的圓形截面的極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面模量yzDd抗扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)6圓形截面的極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面模量yzDd抗扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)6解：（1）畫扭矩圖：0.8kNm1.5kNm例7.2階梯軸如圖，已知AB段直徑d1=40mm，BC段直徑d2=70mm。材料的剪切彈性模量G=80GPa。求鋼軸A、C兩個截面的相對扭轉(zhuǎn)角。0.8m1mBAC0.8kNm2.3kNm1.5kNmMTx（2）求A、C兩個截面的相對扭轉(zhuǎn)角7解：（1）畫扭矩圖：0.8kNm1.5kNm例7.2階梯軸

單位為rad

m剛度條件：7.2.2圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度計算[

]根據(jù)載荷性質(zhì)和工作條件等因素確定。對精密穩(wěn)定傳動對一般傳動對精度要求不高傳動[

]

＝0.5

m[

]

＝1

m[

]

＝2

m剛度計算：1、剛度校核；2、設(shè)計截面；3、確定許可載荷。工程實際中[

]

常用單位為

m注意：單位：N—m8單位為radm剛度條件：7.2.例題

受扭圓軸承受的外力偶矩如圖所示，已知軸的直徑d=80mm，材料的許用切應(yīng)力[τ]=40MPa，G=80GPa，[

]=1°/m。試校核軸的強度和剛度。2kNm2kNm2kNm6kNm2kNm4kNm2kNm解：（1）畫扭矩圖（2）校核強度：強度滿足要求。（3）剛度校核剛度滿足要求。x

MT9例題受扭圓軸承受的外力偶矩如圖所示，已知軸的直徑d=例7.3傳動軸為鋼制實心軸，

[t]=60MPa，G=80GPa，

[

]=1.5

/m。要求按強度和剛度條件設(shè)計軸的直徑。95Nm287Nm

286NmxMT95Nm解：（3）由剛度條件：（2）由強度條件：D≥34mm?。篋

＝34mm（1）畫扭矩圖剛度條件起決定作用。ACDB286Nm573Nm192Nm10例7.3傳動軸為鋼制實心軸，[t]=60MPa，G=807.3梁的彎曲變形和剛度計算為保證彎曲構(gòu)件正常的工作，不但要求構(gòu)件具有足夠的強度，在某些情況下，還要要求構(gòu)件有足夠的剛度，即彎曲變形不應(yīng)過大，否則，將影響正常工作。l電葫蘆爬坡，出現(xiàn)振動、噪音。117.3梁的彎曲變形和剛度計算為保證彎曲構(gòu)件正齒輪軸變形將導(dǎo)致齒輪不能正常嚙合、齒面磨損、軸與軸承配合不好，出現(xiàn)噪音。P1P2軋輥鋼板軋鋼軋輥變形，鋼板沿寬度方向的厚度不均。齒輪軸12齒輪軸變形將導(dǎo)致齒輪不能正常嚙合、齒面磨損、軸與軸承配合不好F利用彎曲變形緩沖、減震汽車疊板彈簧求解靜不定梁則必須考慮梁的變形。測力矩扳手13F利用彎曲變形緩沖、減震汽車疊板彈簧求解靜不定梁則必須考慮梁（1）撓曲線：彎曲后的梁軸線。（彈性曲線）對于平面彎曲，當(dāng)外力位于梁縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，梁軸線在該平面內(nèi)彎成一條平面曲線。P隨梁的變形，橫截面發(fā)生位移：（2）撓度：橫截面繞中性軸產(chǎn)生的角位移，稱為轉(zhuǎn)角

。某截面的形心在垂直于原軸線方向的位移為截面的撓度

。

7.3.1梁彎曲變形的基本概念——撓度和轉(zhuǎn)角（3）轉(zhuǎn)角：

截面形心的水平位移忽略不計14（1）撓曲線：彎曲后的梁軸線。（彈性曲線）對于平P在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)建立坐標(biāo)系撓曲線方程撓度：向上為正。轉(zhuǎn)角：逆時針為正。

(通常=0.01745弧度)撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系：

=f(x)討論彎曲變形的關(guān)鍵在于：建立梁的撓曲線方程。（4）撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系（撓度方程）

x

x15P在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)建立坐標(biāo)系撓曲線方程撓度：向上為正。轉(zhuǎn)角：逆撓曲線的微分方程撓曲線近似微分方程

因為討論小變形，1o=0.0175(弧度)彎曲變形基本公式中性層曲率半徑ρ：即為軸線的曲率半徑。對于平面曲線，曲率為：7.3.2撓曲線近似微分方程引入曲率：16撓曲線的微分方程撓曲線近似微分方程因為討論小

xM>0

xM<0

0<0

''與M的符號總是相同。撓曲線近似微分方程對于等直梁：符號的處理17xM>0xM<00<0''與M的符號總是相同。7.3.3積分法求梁的變形每段梁有C、D兩個積分常數(shù)。撓曲線近似微分方程轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程根據(jù)支座處、分段處梁的已知位移情況，在規(guī)定坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表示式稱為邊界條件。187.3.3積分法求梁的變形每段梁有C、D兩個積分常數(shù)。mmx

x

x

m圖示各梁的材料、幾何尺寸完全相同，受力如圖。mxxx撓曲線方程不同。彎矩方程相同曲率相同撓曲線近似微分方程相同受力相同m原因：梁的約束條件不同。在圖示坐標(biāo)系中：m19mmxxxm圖示各梁的材料、幾何尺寸完全相同，受力如圖BqAl邊界條件支座處：滿足支座約束特點。積分法的重點：寫邊界條件。邊界條件的個數(shù)應(yīng)等于梁段數(shù)的2倍。分段處：構(gòu)件不折斷，不開裂。（連續(xù)光滑條件）例：寫出下列梁的邊界條件。建立坐標(biāo)系x

，根據(jù)外力，梁分一段。x＝0，x＝l，A點：B點：x

x20BqAl邊界條件支座處：滿足支座約束特點。積分法的重點：寫邊CqABlx

例7.4簡支梁抗彎剛度為EI，求其撓度和轉(zhuǎn)角方程、跨中點撓度和A截面的轉(zhuǎn)角。（1）列出彎矩方程（2）列出撓曲線微分方程并積分（3）確定積分常數(shù)解：x0≤x≤lx＝0，x＝l，A點：B點：梁的撓度和轉(zhuǎn)角方程（4）求指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角為梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角。21CqABlx例7.4簡支梁抗彎剛度為EI，求其撓度和轉(zhuǎn)角方7.3.4疊加法材料力學(xué)討論的是線彈性小變形，反力、內(nèi)力、應(yīng)力、變形都是載荷的線性齊次函數(shù)，所以在計算反力、內(nèi)力、應(yīng)力、變形等都可以應(yīng)用疊加法。疊加法：幾個載荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各載荷單獨作用時所引起的該物理量的總和。利用疊加法求撓度和轉(zhuǎn)角時，可查閱P129表格。227.3.4疊加法材料力學(xué)討論的是線彈性小變解疊加lABm=ql2Cq單獨作用m單獨作用求梁中點C的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。例BqAlm=ql2CBqAlC例7.5自習(xí)23解疊加lABm=ql2Cq單獨作用m單獨作用求梁中點C的撓度例求懸臂梁B端的撓度和轉(zhuǎn)角。CBAq

lqBAq1=qBA解疊加q1單獨作用將載荷等效變換q2單獨作用由受力可知B點撓度轉(zhuǎn)角最大。aqqBAq2=q24例求懸臂梁B端的撓度和轉(zhuǎn)角。CBAqlqBA剛度條件滑動軸承處安裝齒輪處向心軸承處吊車梁

l為梁的跨度。

普通機床主軸l為支撐的跨度。l1rad=57.3°7.3.5梁的剛度設(shè)計25剛度條件滑動軸承處安裝齒輪處向心軸承處吊車梁l為梁的跨度例7.7起重20kN的單梁吊車，由No.28b工字鋼制成，q=47.9kg/m，Iz=7480cm4，l=9m。已知[

]=l/500，[

]=170MPa，E=210GPa。要求：校核其強度和剛度。解：受力情況：q=479N/mF=20kN梁的最大應(yīng)力：q單獨作用時，梁中點有最大彎矩F單獨作用時，梁中點有最大彎矩疊加：<[

]強度滿足要求26例7.7起重20kN的單梁吊車，由No.28b工字鋼制成，例7.7起重20kN的單梁吊車，由No.28b工字鋼制成，q=47.9kg/m，Iz=7480cm4，l=9m。已知[

]=l/500，[

]=170MPa，E=210GPa。要求：校核其強度和剛度。解：計算簡圖受力情況：q=479N/mF=20kN

CF+

Cq疊加得梁的最大撓度為：

max＝

CF+

Cq=21.94mm>剛度不滿足要求.q單獨作用F單獨作用需要加大截面，選定后需要校核剛度。27例7.7起重20kN的單梁吊車，由No.28b工字鋼制成，q例7.7起重20kN的單梁吊車，由No.28b工字鋼制成，q=47.9kg/m，Iz=7480cm4，l=9m。已知[

]=l/500，[

]=170MPa，E=210GPa。要求：校核其強度和剛度。解：受力情況：q=479N/mF=20kN梁的最大應(yīng)力：梁中點的最大彎矩<[

]強度滿足要求梁的最大撓度為：>剛度不滿足要求需要加大截面，選定后需要校核剛度。整理說明：在很多情況下，構(gòu)件自重對強度、變形的影響與載荷的影響相比很小，所以常常忽略重力。28例7.7起重20kN的單梁吊車，由No.28b工字鋼制成，7.4提高梁彎曲強度和剛度的措施彎曲正應(yīng)力強度條件提高梁彎曲強度可從以下幾個方面考慮：1、合理安排梁的受力(降低最大彎矩）2、選用合理的截面(增大彎曲截面系數(shù)）3、采用變截面梁297.4提高梁彎曲強度和剛度的措施彎曲正應(yīng)力強度條件提高7.4.1合理安排梁的受力(降低最大彎矩）（1）合理安排載荷PPbal307.4.1合理安排梁的受力(降低最大彎矩）（1）合理安排載荷（2）分散載荷(從使用方面考慮)若：PPP31（2）分散載荷(從使用方面考慮)若：PPP31l32l32ll0.2l0.2l（3）調(diào)整支座位置（從設(shè)計角度）合理的支座位置應(yīng)使最大正彎矩和最大負(fù)彎矩數(shù)值相等。合理布置支座位置，使Mmax盡可能小。移動支座后，可降低梁內(nèi)的最大彎矩。33ll0.2l0.2l（3）調(diào)整支座位置（從設(shè)計角度）合理的支雙杠xxl當(dāng)人在兩支座中點時，當(dāng)人在自由端點時，合理的設(shè)計應(yīng)使：龍門吊車34雙杠xxl當(dāng)人在兩支座中點時，當(dāng)人在自由端點時，合理的設(shè)計應(yīng)（1）在面積相等（即用材相等）的情況下，盡量增大抗彎截面系數(shù)。7.4.2合理選用截面的形狀即用最少的材料獲取最好的抗彎效果。yzbhPP顯然，

矩形截面梁豎放比平放抗彎效果好。35（1）在面積相等（即用材相等）的情況下，盡量增大抗彎截面系數(shù)中性軸處應(yīng)力為零，離中性軸最遠(yuǎn)的上下邊緣應(yīng)力最大。從理論上講，可將材料布置的離中性軸遠(yuǎn)些。z36中性軸處應(yīng)力為零，離中性軸最遠(yuǎn)的上下邊緣應(yīng)力最大。從理論上講h當(dāng)截面形狀不同時，可以用Wz/A的比值來衡量截面形狀的合理性和經(jīng)濟性。(0.29~0.31)h(0.27~0.31)h0.205h0.125h0.167hyzbhyzhyzhdyzh37h當(dāng)截面形狀不同時，可以用Wz/A的比值來衡量截（2）在滿足所需抗彎截面系數(shù)的前提下，選擇適當(dāng)截面，盡量減少面積，以達到減輕自重節(jié)約材料的目的。d=137250000395020b號h＝20025000010400b=72h=144250000yzh要求的Wz（mm3）截面形狀所需尺寸（mm）yzh14800截面面積（mm2）yzbh38（2）在滿足所需抗彎截面系數(shù)的前提下，選擇適當(dāng)截面，盡量減少采用關(guān)于中性軸對稱的截面采用關(guān)于中性軸不對稱的截面塑性材料脆性材料可調(diào)整各部分尺寸，使（3）合理的截面形狀要符合材料的力學(xué)性能yzyzyzyzy1y2zy理想情況：39采用關(guān)于中性軸對稱的截面采用關(guān)于中性軸不對稱的截面塑性材料脆7.4.3采用變截面梁變截面梁:截面尺寸沿梁軸線變化的梁等強度梁:各個截面上的最大應(yīng)力都等于材料的許用應(yīng)力設(shè)截面寬度不變，高度隨截面位置變化，則：由得例:設(shè)計等強度矩形截面懸臂梁。xPx挑出陽臺由得407.4.3采用變截面梁變截面梁:截面尺寸沿梁軸線變化的梁等強由于等強度梁加工困難，因此采用近似的、便于加工的變截面梁。P搖臂鉆床P2P1齒輪軸汽車疊板彈簧P魚腹梁41由于等強度梁加工困難，因此采用近似的、便于加工的變截面梁。1、選擇合理截面形狀，增大慣性矩2、改善梁的受力和支座位置3、減小梁的長度4、增加支座（約束）5、預(yù)加反彎度要提高梁的彎曲剛度，應(yīng)從影響變形、位移的因素入手。7