2024屆一輪復習人教B版 第二章第05講 對數與對數函數 學案

第05講對數與對數函數目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）理解對數的概念及運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數.（2）通過實例，了解對數函數的概念，會畫對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點.（3）了解指數函數與對數函數(，且)互為反函數．2022年天津卷第6題，5分2022年浙江卷第7題，5分2022年I卷I卷第7題，5分從近五年的高考情況來看，對數運算與對數函數是高考的一個重點也是一個難點，常與二次函數、冪函數、指數函數、三角函數綜合，考查數值大小的比較和函數方程問題.1、對數式的運算(1)對數的定義：一般地，如果且，那么數叫做以為底的對數，記作，讀作以為底的對數，其中叫做對數的底數，叫做真數．(2)常見對數：①一般對數：以且為底，記為，讀作以為底的對數；②常用對數：以為底，記為；③自然對數：以為底，記為；(3)對數的性質和運算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、對數函數的定義及圖像(1)對數函數的定義：函數且叫做對數函數．對數函數的圖象圖象性質定義域：值域：過定點，即時，在上增函數在上是減函數當時，，當時，當時，，當時，【解題方法總結】1、對數函數常用技巧在同一坐標系內，當時，隨的增大，對數函數的圖象愈靠近軸；當時，對數函數的圖象隨的增大而遠離軸．(見下圖)題型一：對數運算及對數方程、對數不等式【例1】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預測）______．【答案】【解析】.故答案為：【對點訓練1】（2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預測）已知，，則______．【答案】/【解析】由題設，則且，所以，即，故.故答案為：【對點訓練2】（2023·上海徐匯·位育中學校考模擬預測）方程的解集為________．【答案】【解析】因為,則，解得，所以方程的解集為.故答案為：【對點訓練3】（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）設，滿足，則__________.【答案】/0.5【解析】令，則，所以，整理得，解得(負值舍去)，所以.故答案為：.【對點訓練4】（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）計算的值為______.【答案】8【解析】原式.故答案為：8.【對點訓練5】（2023·全國·高三專題練習）若，，用a，b表示____________【答案】【解析】因為，所以，.故答案為：.【對點訓練6】（2023·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習）若，且，則__________．【答案】【解析】，且，且，，，，.故答案為：.【對點訓練7】（2023·全國·高三專題練習）=____________；【答案】【解析】原式．故答案為：.【對點訓練8】（2023·全國·高三專題練習）解關于x的不等式解集為_____．【答案】【解析】不等式，解，即，有，解得，解，即，化為，有，解得，因此，所以不等式解集為.故答案為：【對點訓練9】（2023·上海楊浦·高三上海市楊浦高級中學?？奸_學考試）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則的解集是__________.【答案】【解析】當時，，所以，因為函數是定義在R上的奇函數，所以，所以當時，，所以，要解不等式，只需或或，解得或或，綜上，不等式的解集為.故答案為：.【對點訓練10】（2023·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習）方程的解為_________．【答案】【解析】設函數，，由于函數在上均為增函數，又，故方程的解為.故答案為：.【解題方法總結】對數的有關運算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數方程或對數不等式問題是要將其化為同底，利用對數單調性去掉對數符號，轉化為不含對數的問題，但這里必須注意對數的真數為正.題型二：對數函數的圖像【例2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數（a，b為常數，其中且）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由圖象可得函數在定義域上單調遞增，所以，排除A，C；又因為函數過點,所以，解得．故選：D【對點訓練11】（2023·全國·高三專題練習）函數的圖象恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，即函數圖象恒過.故選：A【對點訓練12】（2023·北京·統(tǒng)考模擬預測）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，不等式，即，等價于在上的解，令，，則不等式為，在同一坐標系下作出兩個函數的圖象，如圖所示，可得不等式的解集為，故選：B【對點訓練13】（2023·北京·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）將函數的圖象向上平移1個單位長度，得到函數的圖象，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】將函數的圖象向上平移1個單位長度，得到函數.故選：B.【對點訓練14】（2023·北京海淀·清華附中?？寄M預測）不等式的解集為__________．【答案】【解析】由，在同一直角坐標系內畫出函數的圖象如下圖所示：因為，所以由函數的圖象可知：當時，有，故答案為：【對點訓練15】（多選題）（2023·全國·高三專題練習）當時，，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】分別記函數，由圖1知，當時，不滿足題意；當時，如圖2，要使時，不等式恒成立，只需滿足，即，即，解得.故選：ABC【解題方法總結】研究和討論題中所涉及的函數圖像是解決有關函數問題最重要的思路和方法.圖像問題是數和形結合的護體解釋.它為研究函數問題提供了思維方向.題型三：對數函數的性質（單調性、最值（值域））【例3】（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若在上為減函數，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設函數，因為在上為減函數，所以在上為減函數，則解得，又因為在恒成立，所以解得，所以a的取值范圍為，故選:B.【對點訓練16】（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）正數滿足，則a與大小關系為______．【答案】/【解析】因為，所以，設，則，所以，又因為與在上單調遞增，所以在上單調遞增，所以.故答案為：.【對點訓練17】（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上的最大值是2，則a等于_________【答案】2【解析】當時，函數在上單調遞增，則，解得，當時，函數在上單調遞減，則，無解，綜上，a等于.故答案為：2.【對點訓練18】（2023·全國·高三專題練習）若函數（且）在上的最大值為2，最小值為m，函數在上是增函數，則的值是____________．【答案】3【解析】當時，函數是正實數集上的增函數，而函數在上的最大值為，因此有，解得，所以，此時在上是增函數，符合題意，因此；當時，函數是正實數集上的減函數，而函數在上的最大值為，因此有，，所以，此時在上是減函數，不符合題意.綜上所述，，，.故答案為：3.【對點訓練19】（2023·全國·高三專題練習）若函數有最小值，則的取值范圍是______．【答案】【解析】當時，外層函數為減函數，對于內層函數，，則對任意的實數恒成立，由于二次函數有最小值，此時函數沒有最小值；當時，外層函數為增函數，對于內層函數，函數有最小值，若使得函數有最小值，則，解得.綜上所述，實數的取值范圍是.故答案為：.【對點訓練20】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數:_____.①;②當時，單調遞減;③為偶函數.【答案】（不唯一）【解析】性質①顯然是和對數有關，性質②只需令對數的底即可，性質③只需將自變量加絕對值即變成偶函數.故答案為：（不唯一）【對點訓練21】（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）函數的單調遞區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數的定義域為令，又在定義域內為減函數，故只需求函數在定義域上的單調遞減區(qū)間，又因為函數在上單調遞減，的單調遞區(qū)間為.故選：B【對點訓練22】（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知函數，則（

）A．在單調遞減，在單調遞增 B．在單調遞減C．的圖像關于直線對稱 D．有最小值，但無最大值【答案】C【解析】由題意可得函數的定義域為，則，因為在上單調遞增，在上單調遞減，且在上單調遞增，故在上單調遞增，在上單調遞減，A，B錯誤；由于，故的圖像關于直線對稱，C正確；因為在時取得最大值，且在上單調遞增，故有最大值，但無最小值，D錯誤，故選：C【對點訓練23】（2023·全國·高三專題練習）若函數在上單調，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若在上單調遞增，則，解得，若在上單調遞減，則，解得．綜上得.故選：D【解題方法總結】研究和討論題中所涉及的函數性質是解決有關函數問題最重要的思路和方法.性質問題是數和形結合的護體解釋.它為研究函數問題提供了思維方向.題型四：對數函數中的恒成立問題【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，若存在，任意，使得，則實數的取值范圍是___________.【答案】【解析】若在上的最大值，在上的最大值，由題設，只需即可.在上，當且僅當時等號成立，由對勾函數的性質：在上遞增，故.在上，單調遞增，則，所以，可得.故答案為：.【對點訓練24】（2023·全國·高三專題練習）若，不等式恒成立，則實數的取值范圍為___________.【答案】【解析】因為，不等式恒成立，所以對恒成立.記，，只需.因為在上單調遞減，在上單調遞減，所以在上單調遞減，所以，所以.故答案為：【對點訓練25】（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，對任意的，，有恒成立，則實數的取值范圍是___________.【答案】【解析】函數在，上單調遞增，在，上單調遞增，∴，，對任意的，，有恒成立，∴，即，解得，∴實數的取值范圍是．故答案為：.【對點訓練26】（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若對，使得，則實數的取值范圍為___________.【答案】【解析】因為對，使得，所以，因為的對稱軸為，所以在上單調遞增，所以，又因為在上單調遞增，所以，所以，所以，即，故答案為：.【對點訓練27】（2023·全國·高三專題練習）已知函數.(1)若，求a的值；(2)若對任意的，恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）因為，所以，所以，所以，解得.（2）由，得，即，即或.當時，，則或，因為，則不成立，由可得，得；當時，，則或，因為，則不成立，所以，解得.綜上，的取值范圍是.【對點訓練28】（2023·全國·高三專題練習）已知，.（1）當時，求函數的值域；（2）對任意，其中常數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【解析】（1）因為，，令，∵，∴，所以當，即時取最大值，當或，即或時取最小值，∴函數的值域為.（2）由得，令，∵，∴，∴對一切的恒成立，①當時，若時，；當時，恒成立，即，函數在單調遞減，于是時取最小值-2，此時，于是；②當時，此時時，恒成立，即，∵，當且僅當，即時取等號，即的最小值為-3，；③當時，此時時，恒成立，即，函數在單調遞增，于是時取最小值，此時，于是.綜上可得：當時，當時，當時，【解題方法總結】（1）利用數形結合思想，結合對數函數的圖像求解；（2）分離自變量與參變量，利用等價轉化思想，轉化為函數的最值問題.（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，借助同構思想構造函數，利用導數探求函數單調性、最值是解決問題的關鍵.題型五：對數函數的綜合問題【例5】（多選題）（2023·湖北·黃岡中學校聯(lián)考模擬預測）已知，，，，則以下結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，由題意知，a，b是函數分別與函數，圖象交點的橫坐標，由的圖象關于對稱，則其向上，向右都平移一個單位后的解析式為，所以的圖象也關于對稱，又，兩個函數的圖象關于直線對稱，故兩交點，關于直線對稱，所以，，故A正確；對于B，結合選項A得，則，即，即成立，故B正確；對于C，結合選項A得，令，則，所以在上單調遞減，則，故C錯誤；對于D，結合選項B得(，即不等式取不到等號)，故D正確．故選：ABD．【對點訓練29】（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預測）已知正實數，滿足：，則的最小值為______.【答案】【解析】由可得：,所以，，設，，所以在上單調遞增，所以，則，所以，所以，所以，令，令，解得：；令，解得：；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以.故的最小值為.故答案為：.【對點訓練30】（多選題）（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因為，所以，則，選項A，，故正確；選項B，因為，且，所以，故B正確；選項C，因為，故C錯誤；選項D，因為，故D正確，故選：ABD．【對點訓練31】（2023·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習）已知，分別是方程和的根，若，實數a，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】；.函數與函數的圖象關于直線對稱，由解得，設，則，即，，令，則，則，當且僅當時等號成立.故選：D【對點訓練32】（2023·全國·高三專題練習）若滿足，滿足，則等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】由題意，故有故和是直線和曲線、曲線交點的橫坐標.根據函數和函數互為反函數，它們的圖象關于直線對稱，故曲線和曲線的圖象交點關于直線對稱.即點（x1，5﹣x1）和點（x2，5﹣x2）構成的線段的中點在直線y=x上，即，求得x1+x2=5，故選：D.【對點訓練33】（2023·全國·高三專題練習）已知是方程的根，是方程的根，則的值為（

）A．2 B．3 C．6 D．10【答案】A【解析】方程可變形為方程，