2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第1章預(yù)備知識第2節(jié)充分條件與必要條件 學(xué)案

第二節(jié)充分條件與必要條件考試要求：1．理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．2．會判斷和證明簡單的充分條件、必要條件、充要條件．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．充分條件、必要條件與充要條件若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件P?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?pA是B的充分不必要條件(A?B且B?A)與A的充分不必要條件是B(B?A且A?B)兩者不同，在解題時要弄清它們的區(qū)別，以免出現(xiàn)錯誤．2．充要關(guān)系與集合之間的關(guān)系設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)若AB，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件．(3)若A＝B，則p是q的充要條件．二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)若已知p：x>1和q：x≥1，則p是q的充分不必要條件． (√)(2)當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件． (√)(3)若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件． (√)(4)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則B是A的真子集． (×)2．“θ＝0”是“sinθ＝0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A解析：當(dāng)θ＝0時，sinθ＝0成立；而當(dāng)sinθ＝0時，得θ＝kπ(k∈Z)．3．設(shè)A，B是兩個集合，則“A∩B＝A”是“A?B”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件C解析：由A∩B＝A可得A?B；由A?B可得A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A?B”的充要條件．4．a(chǎn)∈(0，＋∞)，b∈(0，＋∞)，則“a＜b”是“a－1＜b－1”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C解析：若a＜b成立，則根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同時減去1，不等式符號不變，所以，a＜b成立，則a－1＜b－1成立，充分性成立；若a－1＜b－1成立，根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同時加上1，不等式符號不變，所以，a－1＜b－1成立，則a＜b成立，必要性成立．所以“a＜b”是“a－1＜b－1”的充要條件．5．已知“p：x>a”是“q：2<x<3”的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是_________．(－∞，2]解析：由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以a≤2.考點1充分條件與必要條件的判斷——基礎(chǔ)性1．(2022·浙江卷)設(shè)x∈R，則“sinx＝1”是“cosx＝0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：因為sin2x＋cos2x＝1，所以當(dāng)sinx＝1時，cosx＝0，充分性成立；當(dāng)cosx＝0時，sinx＝±1，必要性不成立．所以當(dāng)x∈R時，“sinx＝1”是“cosx＝0”的充分不必要條件．故選A.2．已知a，b，c∈R，則“ab>0，bc>A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：因為b-ca<b+ca?b+ca-而ab>0，bc>0?所以“ab>0，bc>3．已知{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項和，那么“a1>0”是“數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件B解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，充分性：當(dāng)a1>0，q<0時，Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn，無法判斷其正負(fù)，顯然數(shù)列{Sn}不一定是遞增數(shù)列，充分性不成立；必要性：當(dāng)數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列時，Sn－Sn－1＝an>0，可得a1>0，必要性成立．故“a1>0”是“數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．解決這類問題一是看前面的條件能否推出后面的結(jié)論，二是看后面的條件能否推出前面的結(jié)論，最后得出答案．考點2充分條件與必要條件的探究與證明——綜合性(1)使得a>b>0成立的一個充分不必要條件是()A．1b>1a>0 B．eaC．a(chǎn)2>b2 D．lna>lnb>0D解析：A選項，若1b>1a>0，則可以得到a>b>0；反之，當(dāng)a>b>0時也可以得到1b>1a>0，所以“1b>1a>0”是“a>b>0”的充要條件，故排除A；B選項，若ea>eb，則a>b，但不一定得出a>b>0，所以“ea>eb”不是“a>b>0”的充分不必要條件，故B錯；C選項，當(dāng)a＝3，b＝－1時，a2＝9>b2＝1，故a2>b2推不出a>b>0，故排除C；D選項，由lna>lnb>0可得lna>lnb>ln1，則a>b>1，能推出a>b>0，反之不能推出，所以“l(fā)na>ln(2)設(shè)x，y∈R，求證：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0.證明：設(shè)p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|.①充分性(p?q)：如果xy≥0，則有xy＝0和xy>0兩種情況．當(dāng)xy＝0時，不妨設(shè)x＝0，則|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立；當(dāng)xy>0時，則x>0，y>0，或x<0，y<0.又當(dāng)x>0，y>0時，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．當(dāng)x<0，y<0時，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，所以等式成立．綜上，當(dāng)xy≥0時，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性(q?p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，則|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|.所以|xy|＝xy，所以xy≥0.由①②可得，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件．充要條件的證明策略(1)要證明p是q的充要條件，需要從充分性和必要性兩個方向進行，即證明命題“若p，則q”和“若q，則p”均為真．(2)證明前必須分清楚充分性和必要性，即清楚由哪個條件推證到哪個結(jié)論．1．“?x∈[1，2]，ax2＋1≤0”為真命題的充要條件是()A．a(chǎn)≤－1B．a(chǎn)≤14C．a(chǎn)≤－2D．a(chǎn)A解析：因為“?x∈[1，2]，ax2＋1≤0”為真命題，所以a≤－1x2對任意的x∈[1，2]恒成立．由于函數(shù)y＝－1x2在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，故y2．設(shè)a，b，c∈R.證明：a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要條件是a＝b＝c.證明：(1)必要性：如果a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，則a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，所以12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2所以a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，即a＝b＝c.(2)充分性：若a＝b＝c，則(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＝0，所以a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca.綜上可知，a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要條件是a＝b＝c.考點3充分條件與必要條件的應(yīng)用——應(yīng)用性已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要條件，則m的取值范圍為_________．[0，3]解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}．因為“x∈P”是“x∈S”的必要條件，所以S?P.所以1-m≥故0≤m≤3時，“x∈P”是“x∈S”的必要條件．若本例條件不變，是否存在實數(shù)m，使“x∈P”是“x∈S”的充要條件？請說明理由．解：由例題知P＝{x|－2≤x≤10}．若“x∈P”是“x∈S”的充要條件，則P＝S，所以1-m=這樣的m不存在．充分必要條件的應(yīng)用問題的求解方法及注意點(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗．1．(2022·武漢模擬)若“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是()A．[－3，3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．[－1，1]D解析：因為“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分條件，所以(－1，4)(2m2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.2．若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要條件是1<x<2，則實數(shù)a的取值范圍是___________．[1，2]解析：由(x－a)2<1得a－1<x<a＋1，因為“1<x<2”是“不等式(x－a)2<1成立”的充分不必要條件，所以滿足a-1≤1，已知p：x>1或x<－3，q：5x－6>x2，則?p是?q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[四字程序]讀想算思判斷充分條件、必要條件1．充分條件、必要條件的概念．2．判斷充分條件、必要條件的方法解不等式轉(zhuǎn)化與化歸不等式5x－6>x21．定義法．2．集合法．3．等價轉(zhuǎn)化法1．一元二次不等式的解法．2．集合間的包含關(guān)系充分條件、必要條件與集合的包含關(guān)系思路參考：解不等式＋求?p，?q.A解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.?p：－3≤x≤1，?q：x≥3或x≤2.顯然?p??q，?q??p，所以?p是?q的充分不必要條件．故選A.思路參考：解不等式＋判斷集合間的包含關(guān)系．A解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即?q：A＝{x|x≤2或x≥3}，?p：B＝{x|－3≤x≤1}．顯然BA，故?p是?q的充分不必要條件．故選A.思路參考：原命題與逆否命題(若?q，則?p)等價性＋轉(zhuǎn)化．A解析：利用命題與其逆否命題的等價性，該問題可轉(zhuǎn)化為判斷q是p的什么條件．由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.顯然q是p的充分不必要條件．故選A.判斷充分條件、必要條件、充要條件關(guān)系的三種方法：(1)定義法是最基本、最常用的方法．(2)集合法主要是針對與不等式解集有關(guān)的問題．(3)等價轉(zhuǎn)化法體現(xiàn)了“正難則反”的解題思想，在正面解題受阻或不易求解時可考慮此方法．若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)·(m－x)>0}，則“m>1”是“A∩B≠?”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：A＝{x|0<x<1}．若m>1，則B＝{x|－1<x<m}，此時A∩B≠?；反之，若A∩B≠?，則m>0.課時質(zhì)量評價(二)A組全考點鞏固練1．已知函數(shù)f(x)，x∈R，則“f(x)的最大值為1”是“f(x)≤1恒成立”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：由f(x)max＝1知f(x)≤1且存在實數(shù)x0∈R，使f(x0)＝1；而f(x)≤1，不能得到fx2．已知i是虛數(shù)單位，p：復(fù)數(shù)a－1＋bi(a，b∈R)是純虛數(shù)，q：a＝1，則p是q的(A)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．“m>1”是“方程y2m-1+A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．(2022·濟南模擬)△ABC中，“sinA＝12”是“A＝πA．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件C解析：在△ABC中，若sinA＝12，則A＝π6或5π6，因為π6，5π65．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象關(guān)于y軸對稱的充要條件是()A．b＝c＝0 B．b＝0且c≠0C．b＝0 D．b≥0C解析：函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象關(guān)于y軸對稱?－b2a＝0?b6．(2023·哈爾濱模擬)已知非零向量a，b，c，則“b＝c”是“b·a＝c·a”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件A解析：因為向量a，b，c是非零向量，則b＝c一定可以推出b·a＝c·a，但是若a·b＝a·c成立，不能推出b＝c，故“b＝c”是“b·a＝c·a”的充分不必要條件．故選A.7．設(shè)n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝_________．3或4解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0有實數(shù)根?-42－4n≥0?n≤4.又n∈N*，則n＝4時，方程x2－4x＋4＝0有整數(shù)根2；n＝3時，方程x2－4x＋3＝0有整數(shù)根1，3；n＝2時，方程x2－4x＋2＝0無整數(shù)根；n＝1時，方程x2－4x＋1＝0無整數(shù)根．所以n＝3或8．設(shè)甲、乙、丙、丁是四個命題，甲是乙的充分不必要條件，丙是乙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，那么丁是甲的________條件．必要不充分解析：因為甲是乙的充分不必要條件，所以甲?乙，乙?甲；因為丙是乙的充要條件，即乙?丙；因為丁是丙的必要不充分條件，所以丙?丁，丁?丙．故甲?丁，丁?甲，即丁是甲的必要不充分條件．9．(2022·濟寧三模)設(shè)a，b是非零向量，“a·b＝0”是“a⊥b”的________條件．充要解析：設(shè)非零向量a，b的夾角為θ，若a·b＝0，則cosθ＝0，又0≤θ≤π，所以θ＝π2，所以a⊥b；反之，a⊥b?a·b＝0.因此，“a·b＝0”是“a⊥b10．若不等式x-m<1成立的充分不必要條件是xx-1≤0，求實數(shù)m解：x-m<1?－1<x－m<1?－1＋m<x<1＋m，xx-1≤0?xx-1≤0，x-1≠0.因為不等式x-m<1成立的充分不必要條件是xx-1≤0，則[0，1)(－1＋m，1＋m所以-1+m<0，1+m≥1，B組新高考培優(yōu)練11．已知函數(shù)f(x)＝sinωx(ω＞0)，則“函數(shù)f(x)在π6，2A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：因為x∈π6，2π3，所以π6ω由于函數(shù)f(x)在π6所以π6ω≥-π2+2k解得ω≥-3+12k，ω≤34+3k，ω>0(所以“函數(shù)f(x)在π6，212．王安石在《游褒禪山記》中寫道：“而世之奇?zhèn)ァ⒐骞?，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．則“有志”是“到達奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀”的()A．充要條件B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件D．必要不充分條件D解析：非有志者不能至，是必要條件，但“有志”也不一定“能至”，不是充分條件．13．(多選題)下列函數(shù)中，滿足“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要條件的是()A．f(x)＝tanxB．f(x)＝3x－3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝log3|x|BC解析：因為f(x)＝tanx是奇函數(shù)，所以x1＋x2＝0?f(x1)＋f(x2)＝0，但fπ4＋f3π4＝0時，π4+3π4≠0，不符合要求，所以選項A不符合題意；因為f(x)＝3x－3－x和f(x)＝x3均為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以滿足“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要條件，所以選項BC符合題意；對于選項D，由14．(多選題)直線2x－y＋m＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝1有兩個交點的必要不充分條件是()A．m2≤1B．m≥－3C．m2＋m－12＜0D．3mBC解析：若直線2x－y＋m＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝1有兩個交點，則2×1-2+m22+-12＜1，解得－5＜m＜5.A項中，由m2≤1，得－1≤m≤1，因為{m|－1≤m≤1}?{m|－5＜m＜5}，所以“m2≤1”不是“－5＜m＜5”的必要不充分條件；B項中，因為{m|m≥－3}?{m|－5＜m＜5}，所以“m≥－3”是“－5＜m＜5”的必要不充分條件；C項中，由m2＋m－12＜