第二節(jié)-對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

第二節(jié)一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法三、兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

第十一章一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1.

引例:

變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在xOy

平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L

移動(dòng)到點(diǎn)B,求移“分割”“代替”“求和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動(dòng)過(guò)程中變力所作的功W.1)“分割”.2)“代替”把L分成n個(gè)小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F

沿則用有向線段上任取一點(diǎn)在3)“求近似和”4)“取極限”(其中

為n

個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度)2.定義.或第二類(lèi)曲線積分.L

稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數(shù),注第二類(lèi)曲線積分

的向量形式存在條件：推廣3.性質(zhì)即第二型曲線積分與曲線的方向有關(guān).

定積分是第二類(lèi)曲線積分的特例.說(shuō)明:

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),證明:

下面先證存在,且有對(duì)應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)根據(jù)定義由于對(duì)應(yīng)參數(shù)因?yàn)長(zhǎng)為光滑弧,同理可證特別是,如果L

的方程為則對(duì)空間光滑曲線弧

:類(lèi)似有定理例1.計(jì)算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數(shù),則解法2取y

為參數(shù),則從點(diǎn)的一段.例2.計(jì)算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點(diǎn)的上半圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則注：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同.但有些情況積分結(jié)果也有可能相同.例3.計(jì)算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式例4.設(shè)在力場(chǎng)作用下,質(zhì)點(diǎn)由沿

移動(dòng)到解:(1)(2)

的參數(shù)方程為試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.其中

為例5.求其中從

z

軸正向看為順時(shí)針?lè)较?解:取

的參數(shù)方程三、兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧L

以弧長(zhǎng)為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類(lèi)曲線積分有如下聯(lián)系類(lèi)似地,在空間曲線

上的兩類(lèi)曲線積分的聯(lián)系是令記A

在t

上的投影為二者夾角為

例6.設(shè)曲線段L

的長(zhǎng)度為s,證明續(xù),證:設(shè)說(shuō)明:

上述證法可推廣到三維的第二類(lèi)曲線積分.在L上連例7.將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,解：其中L沿上半圓周原點(diǎn)O

的距離成正比,思考與練習(xí)1.設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在處受恒指向原點(diǎn),沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)沿逆時(shí)針移動(dòng)到提示:(解見(jiàn)P196例5)F

的大小與M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若題中F的方向改為與OM垂直且與

y

軸夾銳角,則1.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k

條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)3.計(jì)算?對(duì)有向光滑弧?

對(duì)有向光滑弧4.兩類(lèi)曲線積分的聯(lián)系?

對(duì)空間有向光滑弧

:2.

已知為折線ABCOA(如圖),計(jì)算提示:作業(yè)(5-18)

P2033(2),(4),(6),(7);

4(3)(4);5;7(2);8第三節(jié)備用題

1.解:線移動(dòng)到向坐標(biāo)原點(diǎn),其大小與作用點(diǎn)到xOy

面的距離成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)F

作用下由點(diǎn)2