數(shù)理統(tǒng)計的概念

勤學好問必有所獲第五章

數(shù)理統(tǒng)計的概念

數(shù)理統(tǒng)計

數(shù)理統(tǒng)計一、數(shù)理統(tǒng)計及其任務

數(shù)理統(tǒng)計是一門以概率論為基礎的應用學科。它是研究如何有效地收集、整理、分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以便對所考察的問題作出推斷和預測，從而為決策提供依據(jù)。

數(shù)理統(tǒng)計的任務就是研究有效地收集數(shù)據(jù)，科學地整理與分析所獲得的有限的資料，對所研究的問題,盡可能地作出精確而可靠的結論。

數(shù)理統(tǒng)計研究問題的方式，不是對所研究對象的全體(稱為總體)進行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進行觀察獲得數(shù)據(jù)(抽樣)，并通過這些數(shù)據(jù)對總體進行推斷。數(shù)理統(tǒng)計方法具有“部分推斷整體”的特征。二、數(shù)理統(tǒng)計研究問題的一般流程分析問題確定總體收集數(shù)據(jù)試驗設計抽樣數(shù)據(jù)整理統(tǒng)計推斷參數(shù)估計假設檢驗我們這門課所學的數(shù)理統(tǒng)計實際上是統(tǒng)計推斷及其應用（方差分析與回歸分析）的一部分內(nèi)容。

為什么要用數(shù)理統(tǒng)計方法研究問題？隨機現(xiàn)象有它的規(guī)律性，隨機現(xiàn)象的特點注定了進行足夠多次觀察，其規(guī)律性才能清楚地呈現(xiàn)出來。但是，客觀上只允許對隨機現(xiàn)象進行有限次觀察試驗，只能獲得局部觀察資料.總體與總體特征數(shù)一、總體與總體標志總體(Population)

Def在數(shù)理統(tǒng)計中，把研究對象的全體稱為總體或母體，而把組成總體的每個單元稱為個體。描述總體單元在某方面特性的名稱或記號稱為總體指標；每個總體單元對總體指標的響應稱為指標值?？傮w中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量?！芯磕撑鸁襞莸馁|(zhì)量

…總體個體在數(shù)理統(tǒng)計中，人們往往研究有關總體總是關注總體某一項或幾項指標，為此，對這些指標進行隨機的試驗或觀測，試驗或觀測結果獲得這些指標的一部分或全部指標值，從而考察該數(shù)量指標的分布情況。這時，指標值的全體就象是總體。每個指標值就象是總體單元?？傮w指標值全集指標隨機變量總體可以用隨機變量及其分布來表示，研究總體等價于研究表達總體的隨機變量概率分布；在理論上可以把總體與概率分布等同起來，總體分布就是表達總體的隨機變量的分布。例如:研究某批燈泡的壽命時，關心的指標是壽命，那么，該總體就可以用隨機變量X和其概率分布表示?？傮w特征數(shù)樣本與統(tǒng)計量一、樣本樣本(Sample)Def按一定規(guī)則從總體中抽取一部分總體單元進行觀測或試驗，這一抽取過程稱為“抽樣”，所抽取的部分總體單元的整體稱為總體的一個樣本(子樣)。樣本中所包含的總體單元稱為樣本單元，樣本中樣本單元的數(shù)目稱為樣本容量。樣本樣本實現(xiàn)抽定樣本應滿足的性質(zhì)(1)代表性；(2)隨機性。簡單隨機樣本(Independenceidenticaldistribution)Def例如：要通過隨機抽樣了解一批產(chǎn)品的次品率，如果每次抽取一件產(chǎn)品觀測后放回原來的總量中再抽第二件產(chǎn)品，則這樣獲得一個簡單隨機抽樣。

實際抽樣中，往往是不再放回產(chǎn)品，則這不是一個簡單隨機抽樣。但當總量N很大時，可近似看成是簡單隨機抽樣。樣本分布Def注意：樣本分布反映樣本取不同實現(xiàn)的概率規(guī)律，其與總體分布相聯(lián)系，一般求算比較麻煩，但對于iid樣本有下列結果?？傮w、樣本、樣本實現(xiàn)的關系總體樣本實現(xiàn)樣本推斷例5.1例5.2二、統(tǒng)計量樣本(Statistic)例5.3

設是從正態(tài)總體中抽取的一個樣本，其中為已知參數(shù)，為未知參數(shù)，確定下列那些量是統(tǒng)計量它反映了總體k階矩的信息幾個常用的統(tǒng)計量樣本平均值它反映了總體均值的信息樣本方差它反映了總體方差的信息樣本標準差

樣本k階原點矩樣本k階中心矩統(tǒng)計三大分布

分布這個分布是由Helmet于1875年提出，K.Pearson于1900年重新提出。理論推導可得概率密度函數(shù)為

其概率密度函數(shù)的圖像如圖所示（用中心極限定理證明）t分布(學生氏t分布)這個分布是由W.S.Gosset于1908年提出，該分布的提出為小樣本方法的建立奠定了概率基礎。理論推導可得概率密度函數(shù)為F分布這個分布是由R.A.Fisher于1918年提出，該分布的提出為方差分析的建立奠定了概率基礎。Snedcor于1934年給出概率密度函數(shù)。例5.4抽樣分布抽樣分布(SamplingDistribution)確定抽樣分布是數(shù)理統(tǒng)計的有一個基本問題，確定相應統(tǒng)計量的分布是建立統(tǒng)計方法的基礎。以統(tǒng)計量的精確為基礎的統(tǒng)計方法稱為小樣本方法；而以統(tǒng)計量的極限分布為基礎的統(tǒng)計方法稱為大樣本方法。例5.7解：

為了研究隨機現(xiàn)象，首要的工作是收集原始數(shù)據(jù).一般通過抽樣調(diào)查或試驗得到的數(shù)據(jù)往往是雜亂無章的，需要通過整理后才能顯示出它們的分布狀況。數(shù)據(jù)的簡單處理是以一種直觀明了方式加工數(shù)據(jù)，它包括兩個方面：數(shù)據(jù)整理；計算樣本特征值。數(shù)據(jù)的整理與加工數(shù)據(jù)整理：將數(shù)據(jù)分組計算各組頻數(shù)作頻率分布表作頻率直方圖計算樣本特征值：樣本均值、樣本方差等。例5.8為對某小麥雜交組合F2代的株高X進行研究，抽取容量為100的樣本，測試的原始數(shù)據(jù)記錄如下(單位:厘米)，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，畫出它的頻率直方圖，并以此說明隨機變量X的分布狀況。

87 88 111 91 73 70 92 98 1059499 91 98 110 98 97 90 83 928886 94 102 99 89 104 94 94 929687 94 92 86 102 88 75 90 908084 91 82 94 99 102 91 96 949485 88 80 83 81 69 95 80 979296 109 91 80 80 94 102 80 869190 83 84 91 87 95 76 90 9177103 89 88 85 95 92 104 92 958386 81 86 91 89 83 96 86 7592

整理原始數(shù)據(jù)，加工為分組資料，作出頻率分布表，畫直方圖，提取樣本分布特征的信息。步驟如下：1.找數(shù)據(jù)最小值m=69，最大值M=111，極差為M－m=42；2.數(shù)據(jù)分組，根據(jù)樣本容量n的大小，決定分組數(shù)k；3.確定組限和組中點值；4.將數(shù)據(jù)分組，計算出各組頻數(shù)，作頻數(shù)、頻率分布表；5.作出頻率直方圖。注意：分組的一般原則為

30≤n≤405≤k≤640≤n≤606≤k≤860≤n≤1008≤k≤10100≤n≤50010≤k≤20

本例取k=9，一般采取等距分組（也可以不等距分組），組距等于比極差除以組數(shù)略大的測量單位的整數(shù)倍。本例測量單位為1厘米，組距為一般根據(jù)算式：各組中點值加減1/2組距=組的上限或下限，組的上限與下限應比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)。本例取a=67.5，b=112.49(a略小于m，b略大于M，且a和b都比數(shù)據(jù)多一位小數(shù))，分組如下：[67.5,72.5)[72.5,77.5)[77.5,82.5)[82.5,87.5)[87.5,92.5)[92.5,97.5)[97.5,102.5)[102.5,107.5)[107.5,112.5)組中值分別為：70,75,80,85,90,95,100,105,110組序區(qū)間范圍頻數(shù)fj頻率Wj=fj/n累計頻率Fj1[67.5,72.5)20.020.022[72.5，77.5）50.050.073[77.5，82.5）100.100.174[82.5，87.5）180.180.355[87.5，92.5）300.30.656[92.5，97.5）180.180.837[97.5，12.5）100.10.938[102.5，107.5）40.040.979[107.