上海同濟(jì)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

上海同濟(jì)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則的最小值是（

）A．3

B．

C.2

D．參考答案：C圓心為，半徑為，由于所截弦長(zhǎng)為，故直線過(guò)圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程得，即，的幾何意義是原點(diǎn)到直線的距離的最小值的平方，故最小值為.所以選.

2.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N（2，1），且P（1≤x≤3）=0.6826，則P(x<1)=(

)A.0.1588

B.0.1587

C.0.1586

D.0.1585參考答案：B3.i是虛數(shù)單位，計(jì)算i＋i2＋i3＝()A.－1B.1

C.－i

D.i參考答案：A略4.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且滿足f（x）=2xf'（1）+lnx，則=（）A． B．e﹣2 C．﹣1 D．e參考答案：B【考點(diǎn)】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】利用求導(dǎo)法則求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中得到關(guān)于f′（1）的方程，求出方程的解，再帶值即可得到f′（）的值．【解答】解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且滿足f（x）=2xf'（1）+lnx，∴f′（x）=2f'（1）+，∴f′（1）=2f'（1）+1，∴f′（1）=﹣1，∴=﹣2+e，故選：B5.已知，，則的最小值為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A6.已知是等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則該數(shù)列第四項(xiàng)的值是（

）A．-27

B．12

C．

D．參考答案：D成等比數(shù)列，，或，又時(shí)，，故舍去，該數(shù)列第四項(xiàng)為，故選D.

7.已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，射線與拋物線相交于點(diǎn)，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，若，則的值等于（

）A． B． C．2 D．4參考答案：C設(shè)，是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，點(diǎn)是垂足．由拋物線定義可得，因?yàn)?，所以，那么，即直線的斜率是，所以，解得．故選C．8.某校為了研究“學(xué)生的性別”和“對(duì)待某一活動(dòng)的態(tài)度”是否有關(guān)，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算k=7.069，則認(rèn)為“學(xué)生性別與支持活動(dòng)有關(guān)系”的犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)（）A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%參考答案：B【考點(diǎn)】BL：獨(dú)立性檢驗(yàn)．【分析】把觀測(cè)值同臨界值進(jìn)行比較．得到有99%的把握說(shuō)學(xué)生性別與支持該活動(dòng)有關(guān)系．【解答】解：∵K2=7.069＞6.635，對(duì)照表格：P（k2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828∴認(rèn)為“學(xué)生性別與支持活動(dòng)有關(guān)系”的犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%．故選：B．9.兩個(gè)圓C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0與C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切線有且僅有（） A．1條 B．2條 C．3條 D．4條參考答案：B【考點(diǎn)】圓的切線方程． 【分析】先求兩圓的圓心和半徑，判定兩圓的位置關(guān)系，即可判定公切線的條數(shù)． 【解答】解：兩圓的圓心分別是（﹣1，﹣1），（2，1），半徑分別是2，2 兩圓圓心距離：，說(shuō)明兩圓相交， 因而公切線只有兩條． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線方程，兩圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題． 10.命題“對(duì)于任意角”的證明過(guò)程：“”應(yīng)用了

（

）A．分析法

B．綜合法

C．綜合法、分析法結(jié)合使用

D．間接證法參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第

象限.參考答案：三略12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，則k的取值范圍是

。

A、

B、

C、

D、參考答案：B13.已知f(x)＝x2＋3xf′(1)，則f′(1)＝________.參考答案：-1

略14.設(shè)A，B是集合的兩個(gè)不同子集，若使得A不是B的子集，B也不是A的子集，則不同的有序集合對(duì)(A，B)的組數(shù)為_________.參考答案：570分析：分類依次討論有序集合對(duì)（A，B）的組數(shù)，根據(jù)子集元素個(gè)數(shù)分類討論，最后根據(jù)加法原理求組數(shù).詳解：不同的有序集合對(duì)（A，B）的組數(shù)為點(diǎn)睛：求解排列、組合問(wèn)題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問(wèn)題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問(wèn)題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問(wèn)題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問(wèn)題——“間接法”；（5）“在”與“不在”問(wèn)題——“分類法”.15.雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于_________． 參考答案：略16.設(shè)直線的方程是，從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)作為A、B的值，則所得不同直線的條數(shù)是（

）A.20 B.19 C.18 D.16參考答案：C解：由題意知本題是一個(gè)排列組合問(wèn)題，∵從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)作為A、B的值有A52=20種結(jié)果，在這些直線中有重復(fù)的直線，當(dāng)A=1，B=2時(shí)和當(dāng)A=2，B=4時(shí)，結(jié)果相同，把A，B交換位置又有一組相同的結(jié)果，∴所得不同直線的條數(shù)是20-2=18，故答案為：1817.將甲、乙、丙、丁四名老師分配到三個(gè)不同的學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少分到一名老師，且甲、乙兩名老師不能分配到同一個(gè)學(xué)校，則不同分法的種數(shù)為

參考答案：30三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）某電視臺(tái)舉辦猜歌曲的娛樂(lè)節(jié)目：隨機(jī)播放歌曲片段，選手猜出歌曲名稱可以贏取獎(jiǎng)金.曲庫(kù)中歌曲足夠多，不重復(fù)抽取.比賽共分7關(guān)：前4關(guān)播放常見歌曲；第5,6關(guān)播放常見或罕見歌曲，曲庫(kù)中常見歌曲與罕見歌曲數(shù)量比為1：4；第7關(guān)播放罕見歌曲.通過(guò)關(guān)卡與對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金如右表所示.選手在通過(guò)每一關(guān)（最后一關(guān)除外）之后可以自主決定退出比賽或繼續(xù)闖關(guān)；若退出比賽，則可獲得已經(jīng)通過(guò)關(guān)卡對(duì)應(yīng)獎(jiǎng)金之和；若繼續(xù)闖關(guān)但闖關(guān)失敗，則不獲得任何獎(jiǎng)金.關(guān)卡關(guān)卡獎(jiǎng)金/元累計(jì)獎(jiǎng)金/元110001000220003000330006000440001000058000180006120003000072000050000

（Ⅰ）選手甲準(zhǔn)備參賽，在家進(jìn)行自我測(cè)試：50首常見歌曲，甲能猜對(duì)40首；40首罕見歌曲，甲只能猜對(duì)2首，以他猜對(duì)常見歌曲與罕見歌曲的頻率為概率.①若比賽中，甲已順利通過(guò)前5關(guān)，求他闖過(guò)第6關(guān)的概率是多少？②在比賽前，甲計(jì)劃若能通過(guò)第1,2,3關(guān)的任意一關(guān)，則繼續(xù)；若能通過(guò)第4關(guān)，則退出，求這種情況下甲獲得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)選手乙猜對(duì)罕見歌曲的概率為p，且他已經(jīng)順利通過(guò)前6關(guān)，當(dāng)p滿足什么條件時(shí)，他選擇繼續(xù)闖第7關(guān)更有利？參考答案：（1）①他能闖過(guò)第6關(guān)的概率是 ……………4分②設(shè)甲獲得的獎(jiǎng)金為元，其分布列為010000P

……………9分（Ⅱ）若他通過(guò)前6關(guān)退出比賽可獲獎(jiǎng)金30000元設(shè)他繼續(xù)闖第7關(guān)，可獲獎(jiǎng)金Y元，則Y的分布列為050000P

……………11分令，解得即時(shí)，他選擇繼續(xù)闖第7關(guān)更有利

……………13分19.用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被64整除．參考答案：證明：（1）當(dāng)時(shí)，，能被64整除，命題成立．（2）假設(shè)時(shí)，命題成立，即能被64整除，則當(dāng)時(shí)，．因?yàn)槟鼙?4整除，所以能被64整除．即當(dāng)時(shí)，命題也成立．由（1）和（2）可知，對(duì)任何，命題成立．20.已知曲線f（x）=x3﹣ax+b在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為x﹣y﹣1=0．（I）求實(shí)數(shù)a，b的值；（II）求曲線y=f（x）在x=2處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（I）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由曲線在x=1處的切線的斜率求得a，再由曲線和直線在x=1處的函數(shù)值相等求得b；（II）求出曲線y=f（x）在x=2處的切線方程，即可求曲線y=f（x）在x=2處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．【解答】解：（I）由f（x）=x3﹣ax+b，得y′=3x2﹣a，由題意可知y′|x=1=3﹣a=1，即a=2．又當(dāng)x=1時(shí)，y=0，∴13﹣1×2+b=0，即b=1．（II）f（x）=x3﹣2x+1，f′（x）=3x2﹣2，x=2時(shí)，f（2）=5，f′（2）=10，∴曲線y=f（x）在x=2處的切線方程為y﹣5=10（x﹣2），即10x﹣y﹣15=0，與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（1.5，0），（0，﹣15），∴切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積S==．21.（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA＝AB＝4，G為PD中點(diǎn)，E點(diǎn)在AB上,平面PEC⊥平面PDC.（Ⅰ）求證：AG⊥平面PCD；（Ⅱ）求證：AG∥平面PEC；（Ⅲ）求直線AC與平面PCD所成角.參考答案：（Ⅰ）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA

∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥AG，又PD⊥AG

∴AG⊥平面PCD

…………4分（Ⅱ）證明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD

∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD

∴EF∥AG，又AG面PEC，EF面PEC，∴AG∥平面PEC

………………4分（Ⅲ）連接CG….4分略22.已知函數(shù)f（x）=的值域?yàn)閇﹣4，2）∪（2，3]，它的定義域?yàn)锳，B={x|（x﹣a﹣2）（x﹣a﹣3）＜0}，若A