2021高考“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”高考解析及2022年備考建議

2021年高考“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”高考解析及2022年備考建議

目錄

一、內(nèi)容分析..................................................................................1

二、用初等方法研究基本初等函數(shù)...............................................................2

三、用導(dǎo)數(shù)研究基本初等函數(shù)..................................................................12

四、解答題命題分析..........................................................................24

四、解答題命題分析...........................................................錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。

五、教學(xué)建議.................................................................................33

1.認(rèn)識(shí)T主線.........................................................................34

2.把握兩個(gè)“基本”.....................................................................34

3.培養(yǎng)三種能力.........................................................................34

4.滲透四種思想.........................................................................34

2021年高考“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”高考解析及2022年備考建議

函數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，是學(xué)生進(jìn)入大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，起著承上啟

下的作用.因此，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容一直是高考數(shù)學(xué)命題的重點(diǎn)，呈現(xiàn)出題量多、分值大、區(qū)分度高、選拔性

強(qiáng)的特點(diǎn).

一、內(nèi)容分析

2021年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試卷，依然將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)列為重點(diǎn)考查內(nèi)容，在命題理念、題項(xiàng)設(shè)置、分值

分布方面大同小異；在知識(shí)內(nèi)容、思想方法、素養(yǎng)能力考查方面既保持一定的穩(wěn)定性，又有變化創(chuàng)新.

2021年高考數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的命題特點(diǎn)表現(xiàn)為：命題以課程標(biāo)準(zhǔn)為綱，以考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

為出發(fā)點(diǎn)，試題發(fā)端于平常，源于教材，在平凡中見(jiàn)不平凡，既精巧雅致又綜合恢弘.

2021年全國(guó)卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題考查情況匯總

卷別題型題號(hào)分值考查內(nèi)容

45函數(shù)的單調(diào)性

全國(guó)甲卷（文選擇題65對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

科）125函數(shù)的奇偶性；周期性

解答題2012用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；最值

卷別題型題號(hào)分值考查內(nèi)容

125函數(shù)的奇偶性；周期性；求表達(dá)式

全國(guó)甲卷(理選擇題

135導(dǎo)數(shù)的幾何意義；切線方程

科)

解答題2112用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

85函數(shù)的最值

全國(guó)乙卷(文選擇題95判斷函數(shù)的奇偶性

科)125函數(shù)的極值；利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小

解答題2112函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的幾何意義

45判斷函數(shù)的奇偶性

全國(guó)乙卷(理選擇題105函數(shù)的極值；利用函數(shù)性質(zhì)比較大小

科)125利用函數(shù)性質(zhì)比較大小

解答題2012函數(shù)的極值；利用函數(shù)性質(zhì)證明不等式

選擇題75導(dǎo)數(shù)的幾何意義；切線方程

全國(guó)新高考I135函數(shù)的奇偶性

填空題

卷155導(dǎo)數(shù)；分段函數(shù)

解答題2212函數(shù)的單調(diào)性；證明不等式

選擇題85函數(shù)的奇偶性；周期性

全國(guó)新高考n145根據(jù)所給條件寫(xiě)函數(shù)表達(dá)式

填空題

卷165切線方程；求最值

解答題2212含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；證明不等式

試題特點(diǎn)分析如下.

(1)與往年相比，2021年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)試題在題型、題量上基本保持穩(wěn)定，選擇題、填空題、解

答題均有考查，一般按“一大”的規(guī)律分布.

(2)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容在每份試卷中所占的分?jǐn)?shù)均在22-27分，比重較大，可見(jiàn)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容在高中數(shù)

學(xué)中不可忽視的重要地位.

(3)2021年高考全國(guó)卷中均有函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題作為壓軸題，凸顯了其區(qū)分度高、選拔性強(qiáng)的特點(diǎn).

(4)考點(diǎn)覆蓋全面，對(duì)函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的圖象、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等內(nèi)容實(shí)現(xiàn)考查全覆蓋.

(5)數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)涵豐富，函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法緊密聯(lián)系，

突出對(duì)關(guān)鍵能力的考查.

二、用初等方法研究基本初等函數(shù)

基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)一般通過(guò)選擇題和填空題兩種題型進(jìn)行考查，通過(guò)最基本的初等函數(shù)的組

合疊加，構(gòu)造新的函數(shù)，考查函數(shù)的定義域、值域、圖象、單調(diào)性、奇偶性等基本性質(zhì).函數(shù)的表達(dá)類型包

括整式型、分式型、根式型、分段型、絕對(duì)值型等.

例1(2021全國(guó)甲卷-文4)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A.f(x)=-xB./(x)=(|rC.f(x)=VD.f(x)=&

【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷

【分析】結(jié)合基本初等函數(shù)在定義域上的單調(diào)性分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：由一次函數(shù)性質(zhì)可知/*)=-在/?上是減函數(shù)，不符合題意；

由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知/(幻=(；『在R上是減函數(shù)，不符合題意；

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在R上不單調(diào)，不符合題意；

根據(jù)哥函數(shù)性質(zhì)可知f(x)=阪在R上單調(diào)遞增，符合題意.

故選：D.

【評(píng)析】此題以基本的一次函數(shù)、尋函數(shù)、指數(shù)函數(shù)為載體,以選擇題的形式對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行考查，體現(xiàn)

了高考數(shù)學(xué)命題的，，基礎(chǔ)性，，原則,屬于簡(jiǎn)單題.

拓展題1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是()

2

A.y=—x+1B.y=—x2+4x+5C.y=—D.y=|x—21

x

【分析】結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知，y=-x+l在(0,2)上單調(diào)遞減，A不符合題意；

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，y=-x?+4x+5的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸x=2,在(0,2)上單調(diào)遞增，符合題意；

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，y=4在(0,2)上單調(diào)遞減，不符合題意；

x

根據(jù)函數(shù)圖象的變換可知，y=|x-2|在(0,2)上單調(diào)遞減，不符合題意.

故選：B.

【評(píng)析】本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

拓展題2.下列函數(shù)在(0,一)是減函數(shù)的是()

A./(x)=2.r-3B./(x)=x2-lC./(x)=」D./(x)=x3

X

【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.

【解答】解：函數(shù)/(x)=2x-3在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

函數(shù)/(x)=x2-1在(0,+oo)是增函數(shù)，故選項(xiàng)3錯(cuò)誤；

函數(shù)/'(x)=^■在(0,+w)是減函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；

X

函數(shù)在(0,+OO)是增函數(shù)，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：C.

【評(píng)析】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)，考查了邏輯推理能力，

屬于基礎(chǔ)題.

例2(全國(guó)乙卷?文8)下列函數(shù)中最小值為4的是()

i4o4

A.y=x2+2x+4B.y=|sinx14--；------C.y=21+2~~D.y=lnx-\-----

|sinx|Inx

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用

【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值，即可判斷選項(xiàng)A,根據(jù)基本不等式以及取最值的條件，即可判斷

選項(xiàng)B,利用基本不等式求出最值，即可判斷選項(xiàng)C,利用特殊值驗(yàn)證，即可判斷選項(xiàng)Q.

【解答】解：對(duì)于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3..3,

所以函數(shù)的最小值為3,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于3,因?yàn)?vsinx|?1,所以y=|sinx|+—--..2/|sinx|---=4,

|sinx|7|sinx|

4

當(dāng)且僅當(dāng)|sinx|=——,即|sinx|=2時(shí)取等號(hào)，因?yàn)閨sinx|,,l,所以等號(hào)取不到，

|sinx|

所以y=|sinx|+—-—>4，故選項(xiàng)3錯(cuò)誤；

|sinx|

對(duì)于C,因?yàn)?*>0,所以y=2"+22r=2*+土.2,6上=4,當(dāng)且僅當(dāng)2*=2,即x=l時(shí)取等號(hào)，

'2'V2'

所以函數(shù)的最小值為4,故選項(xiàng)C正確；

114

對(duì)于因?yàn)楫?dāng)x='時(shí)，y=/,J+「，=T-4=-5<4,所以函數(shù)的最小值不是4,故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

eeln-

e

故選：C.

【評(píng)析】此題考查函數(shù)求最值的方法：?jiǎn)握{(diào)性和利用基本不等式.函數(shù)類型涉及二次函數(shù)、二角函數(shù)、指數(shù)

函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù).形式上有整式型、分式型、絕對(duì)值型.所有函數(shù)表達(dá)形式都源于教材，命題精巧災(zāi)活,解法多

樣，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)命題的“多樣性”原則.

拓展題1.下列函數(shù)中，最小值為9的是()

14144(2八1)(4爐+8)

A.y=(x+-)(%+-)B.y=—+——C.y=/gx+；—-D.y=

xxsin-xcos-xlgx-5(x2+1)2

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用

【分析】化簡(jiǎn)>=(》+!)。+勺=/+2+5,利用基本不等式可得；化簡(jiǎn)

XXX

y=—!^+'==(—^+」<)(sin2x+cos2x)=R+生皚+5,利用基本不等式可得；舉例可判

sinxcos-xsinxcosxsin~xcosx

斷c、。錯(cuò)誤.

144

【解答】解：y=(x+—)(x+—)=/++5..4+5=9,

XXX

(當(dāng)且僅當(dāng)％2=三4，即工=±2時(shí)，等號(hào)成立)，即函數(shù)y=(%+1與(x+43)的最小值為9,故選項(xiàng)A正確;

XXX

22

14z14?.2°、cosx4sinx...

y=..2+——「=(--廠+——廠)(sm~x+cos~x)=———+-----+5..4+5=9,

sinxcosxsinxcosxsinxcosx

(當(dāng)且僅當(dāng)/=生”M時(shí)，等號(hào)成立)，故函數(shù)y=—的最小值為9,故選項(xiàng)3正確;

sin"xcos~xsimcos'x

當(dāng)x=10000時(shí)，y=4-4=0,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)x=0時(shí)，(2^+0(4^+8)=8)故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

a2+i)2

故選：AB.

【評(píng)析】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

例3(全國(guó)乙卷-文9/理4)設(shè)函數(shù)/(%)=—,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A./(x-l)-lB./(x-l)+lC./(x+l)-lD./(x+1)+1

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷

【分析】先根據(jù)函數(shù)/(X)的解析式，得到F(x)的對(duì)稱中心，然后通過(guò)圖象變換，使得變換后的函數(shù)圖象的

對(duì)稱中心為(0,0),從而得到答案.

【解答】解：因?yàn)?(》)=上三=上也工=一1+二_,所以函數(shù)“X)的對(duì)稱中心為(-1,7),

1+X1+XX+1

所以將函數(shù)/(X)向右平移一個(gè)單位，向上平移一個(gè)單位，得到函數(shù)y=/(x-1)+1,該函數(shù)的對(duì)稱中心為

(0,0),故函數(shù)y=f(x-l)+l為奇函數(shù).

故選：B.

【評(píng)析】此題是根據(jù)已知函數(shù)表達(dá)式，判斷另一函數(shù)的性質(zhì).可以求出四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)表

達(dá)式判斷函數(shù)的對(duì)稱性.但是如果能夠發(fā)現(xiàn)〃x)=上三=-1+二-的對(duì)稱中心為(」,一1),利用平移變換即可

1+X1+X

直接得到答案.此題以一次分式函數(shù)的對(duì)稱性為命題起點(diǎn)，考查函數(shù)圖象的平移和對(duì)稱性的判斷.對(duì)稱性體

現(xiàn)了數(shù)學(xué)的形式美，一直受到高考命題者的青睞.命題從一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)出發(fā)，在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行

深度研究，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)命題的“創(chuàng)新性”原則.

柘展題2.設(shè)函數(shù)/(x)=±l,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

X+1

A./(x-l)-lB,/(x-l)+lC,/(x+l)-!D./(x+l)+l

【分析】根據(jù)題意，先分析/(X)的對(duì)稱性，結(jié)合函數(shù)平移變換的規(guī)律依次分析選項(xiàng)，判斷選項(xiàng)中函數(shù)的對(duì)

稱中心，分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)八幻=士1=上上2=一二_+1,則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(7,1)對(duì)稱，

x+\x+1x+\

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,/(x-l)-l,由函數(shù)/(x)的圖象向右平移1個(gè)單位，

向下平移一個(gè)單位得到，即的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，是奇函數(shù)，A正確；

對(duì)于B,/(x-l)+l,由函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，

向上平移一個(gè)單位得到，即/(x-l)+l的圖象關(guān)于(0,2)對(duì)稱，不是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,/(x+l)-l,由函數(shù)/(x)的圖象向左平移1個(gè)單位，

向下平移一個(gè)單位得到，即+的圖象關(guān)于(-2,0)對(duì)稱，不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,/(x+l)+l,由函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位，

向上平移一個(gè)單位得到，即/*+1)+1的圖象關(guān)于(-2,2)對(duì)稱，不是奇函數(shù)，O錯(cuò)誤；

故選：A.

【評(píng)析】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷以及性質(zhì)的應(yīng)用，涉及函數(shù)解析式的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

拓展題3.已知函數(shù)f(x)=log2(2x+2++8x+8),則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()

A./(x-l)-lB./(x-l)+lC./(x+l)-lD./(x+l)+l

【分析】化簡(jiǎn)/(X)=lOg2[(X+l)+J(X+l)2+1]+1,從而可得—l=R)g2(X++1),由奇函數(shù)的性

質(zhì)即可求解.

【解答】解：函數(shù)

2

f(x)=log2(2x+2+"x+8x+8)=log2[2(x+1)+54(無(wú)+1)?+4]=log2Kx+1)+J(x+1)'+1]+1,

22

則/(x—1)—1=log2(x+yjx+1),f(—x—1)—1=log2(—x+yjx+1)=—log2(x+Jx?+1)=~[f(x—1)—1],

所以/(x-1)—1為奇函數(shù).

故選：A.

【評(píng)析】本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

拓展題4.下列函數(shù)中的奇函數(shù)是()

A./(x)=x+lB./(x)=3x2-1

,4

C./(X)=2(X+1)3-1D.f(x)=—

x

【分析】由奇函數(shù)的定義：f(-x)=-f{x},即可判斷.

【解答】解：A./(%)=x+1,f(-x)=-x+1,不滿足/"(-x)=-/(x),不為奇函數(shù)；

B./(x)=3f-l,f(-x)=3(-x)2-l=f(x),/")為偶函數(shù)；

C./(x)=2(x+l)3-l,/(-x)=2(-x+1)3-1,不滿足/(-x)=-f(x),不為奇函數(shù)；

44

D.f(x)=一一，/(-x)=—=-/(x),則/(X)為奇函數(shù)?

xx

故選：D.

【評(píng)析】本題考查函數(shù)的奇偶性的定義，注意運(yùn)用奇函數(shù)的定義，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

例4(全國(guó)甲卷.文12)設(shè)/口)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，H/(l+x)=/(-x).若/(T=g,則/§=()

A.--B.--C.-D.-

3333

【分析】由已知/(-工)=一/(幻及/(1+%)=-/(%)進(jìn)行轉(zhuǎn)化得/(2+%)=/(x),再結(jié)合/(-g)=g從而可求.

【解答】解：由題意得/(-X)=-/(x),又/(I+X)=/(-X)=-/(X)，

所以f(2+x)=/(x),X/(-1)=p則/g)=/(2-g)=/(-g)=g.

故選：C.

【評(píng)析】此題在第12題的位置，具有區(qū)分性和選拔功能.此題無(wú)函數(shù)表達(dá)式，以抽象函數(shù)為載體，考查函數(shù)的

對(duì)稱性和周期性.作為選擇題解法多樣,可以推理轉(zhuǎn)化，運(yùn)用條件/(-x)=-/(x)和/(1+x)=/(-x),將

咯)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即/圖={1+{|=(I卜-同=-《1-捫-嗎卜{-{|;也可以構(gòu)

造一個(gè)對(duì)稱軸為x=；的奇函數(shù)，首先想到三角函數(shù)/(x)=Asin萬(wàn)x.當(dāng)然，如果能看出函數(shù)的周期為2,則立

刻得出答案.此題能很好地考查學(xué)生的閱讀理解、轉(zhuǎn)化翻譯、邏輯推理、運(yùn)算求解和構(gòu)造能力，屬較難題.比

較全面地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)科的“綜合性”原則.

柘展題1.已知函數(shù)/(x)是定義R上的奇函數(shù)，滿足f(x+2)=-f(x),且當(dāng)-L,x<0時(shí)，f{x}=-x2+1,

則八2020)=()

A.OB.IC.-1D.-3

【分析】由已知可得函數(shù)的周期7=4,然后結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)可得/(0)=0,利用周期性將f(2020)轉(zhuǎn)化為

求〃0),即可求解.

【解答】解:因?yàn)閒(x+2)=-f(x),

所以f(x+4)=/(x),即函數(shù)的周期7=4,

因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，故f(0)=0,

則了(2020)=/(0)=0.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的周期性及奇函數(shù)的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，考查了邏輯推理的能力，運(yùn)算

求解能力.

拓展題2.設(shè)函數(shù)/*)定義域?yàn)镽,若/(x+2),/(x-2)都為奇函數(shù)，則下面結(jié)論成立的是()

A./(x)為奇函數(shù)B./(x)為偶函數(shù)

C./(x)=/(x+4)D./(x+6)為奇函數(shù)

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，建立方程進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：?."(x+2),/(x-2)都為奇函數(shù),

f+2)=—/(x+2),f(—x—2)=—/(x—2)>

即。一(x-2)+2]=-f(x-2+2),即f[-x+4)=-f(x),

f[-(x+2)-2]=-f(x+2-2),BPf(-x-4)=-f(x),

則/(—x+4)=/(—x—4),則/(x+4)=/(x-4)，

即/(x+8)=/(x),則/(x)是周期為8的周期函數(shù),

于(-x+6)=/(-x+6-8)=f(-x-2)=-f(x-2)=-f(x-2+8)=-f(x+6),

即〃x+6)是奇函數(shù)，故。正確，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)建立方程是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

拓展題3己知y=/(x+2)為奇函數(shù)，且f(3+x)=f(3-x),當(dāng)xe[O,1]時(shí)，/(x)=2'+log4(x+l)-l,

則/(2021)=()

3

A.1B.2C.3+log43D.9

【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性與周期性關(guān)系可求出函數(shù)的周期T,然后把所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間

上，代入已知函數(shù)解析式即可求解.

【解答】解：因?yàn)閥=/(x+2)為奇函數(shù)，

所以y=/(x)的圖像關(guān)于(2,0)對(duì)稱,即f(2+x)=-/(2-x),

因?yàn)閒(3+x)=/(3-x),

所以函數(shù)的圖像關(guān)于x=3對(duì)稱，/(x+4)=f(-x+2),

/(2+x)=-/(x),即/(4+x)=f(x),

故函數(shù)的周期7=4,

r

因?yàn)楫?dāng)1]時(shí)，/(x)=2+log4(x+l)-l,

貝i」f(2021)=/(1)=2+log42-l=|.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性及周期性在函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.

例5(全國(guó)甲卷-理12)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,/(x+1)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe[l,2]時(shí),

f(x)=ax2+b.若/(0)+/(3)=6,則/(1)=()

375

A?-2--C.-D.

242

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷；函數(shù)的值

【分析】由/(尤+1)為奇函數(shù)，/。+2)為偶函數(shù)，可求得的周期為4,由/。+1)為奇函數(shù)，可得了

(1)=0,結(jié)合/(0)+/(3)=6,可求得。，b的值，從而得到工￡[1,2]時(shí):/*)的解析式，再利用

周期性可得/($=/(^)=-/(|),進(jìn)一步求出/(|)的值.

【解答】解：?."(x+l)為奇函數(shù)，.?./(1)=0,且/(x+l)=—/(—x+1),

v/(x+2)偶函數(shù)，.，?/(x+2)=/(-x+2)，

A/[(x+1)+1]=-f[-(x+1)+1]=，即f(x+2)=-/(-x)，

f{-x+2)=/(x+2)=-f(.-x).令f=-x,則f(t+2)=_J(f),

■-f(t+4)=-f{t+2)=f(t),:.f(x+4)=/(x).

當(dāng)xe[l,2]時(shí)，f(x)=ax2+b./(O)=/(-I+1)=-/(2)=Ta-b,

f(3)=/(l+2)=/(-l+2)=/(1)=a+b,

X/(O)+/(3)=6,:.-3a=6,解得。=-2,■：f(1)=a+b=O,:.b=-a=2,

.?.當(dāng)X€[l,2]時(shí)，/(x)=_2/c+2,.?./(9*=/(]1)=—3/(1)=—(—2x、9+2)=^5.

故選：D.

【評(píng)析】明顯可以看出，全國(guó)甲卷的文、理科第12題為姝妹題，考查的內(nèi)容都是函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，但在

給出的條件形式上，理科比文科復(fù)雜.高考文、理科同類型試題往往呈現(xiàn)姊妹題特征，一般文科比較簡(jiǎn)單，理科

試題在文科試題上延展深入，思維拔高，落實(shí)深度學(xué)習(xí)要求，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)命題的“研究性”原則.

拓展題1.設(shè)奇函數(shù)/。)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集/?,且滿足/。+1)=/。-1),當(dāng)xw[O,1)時(shí)，/(x)=2r-l.則

135

/(0)+/(-)+/(I)+/(-)+/(2)+/(-)的值為()

A.忘+1B.72-1C.0D.1-72

【分析】先根據(jù)題意求出函數(shù)的周期，然后將不在區(qū)間[0,1)上的值通過(guò)周期性和奇函數(shù)化到給定區(qū)間，

代入解析式即可求出所求.

【解答】解：???/(x+l)=/(x-l),.?./(x+2)=/(x)則/(x)是周期為2的周期函數(shù)

???/(1)=/(-1)=-/(1)：.f(1)=0

/(O)+/(；)+/(D+/(|)+/(2)+/(|)=/(0)+/(1)+f(1)-嗎)+/(0)+/(^)=0+^-1=72-1

故選：B.

【評(píng)析】本題主要考查了函數(shù)的周期性，以及求函數(shù)的值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

拓展題2.設(shè)f(x)是定義域?yàn)锳的奇函數(shù)，且/(I+?=/(—).若/(一手=3,則/?(?)的值是3.

【分析】由函數(shù)的奇偶性和周期性的定義，可得/(x)的最小正周期為2,結(jié)合已知條件，可得所求值.

【解答】解：f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，可得/(-x)=-/(x),

又/(i+x)=/(—x)，則y(x+i)=-/(x)，

即有f{x+2)=-/(%+1)=/(%),

可得f(x)的最小正周期為2,

若/(-1)=3,則/(y)=/(4-1)=/(-1)=3.

故答案為：3.

【評(píng)析】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的定義和運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于基礎(chǔ)

題.

拓展題3.函數(shù)/'(X)的定義域?yàn)椤?,若對(duì)于任意X],x2e￡),當(dāng)工心勺時(shí)，都有了(西),,/(出)，則稱函數(shù)

f(x)在。上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)/(x)在［0,1］上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：①/(0)=0;②

/(l-x)+/(x)=l;?/(|)=l/(x),則/《)+/($的值為.

【分析】由已知條件求出/(1)、/(g)、/(9、/(")、/(＞的值，利用當(dāng)占＜/時(shí)，都有了(毛),,/(七)，

有/(J張叭京)而/(1)=:="!)'有/號(hào))結(jié)果可求.

93669366946364

【解答】解：?.?函數(shù)/(X)在［0,1］上為非減函數(shù)，①f(0)=0；②f(l一x)+/(x)=l,.^./(1)=1,

令x=g,所以有又?.?③吟="(x),"(x)=2吟,舄)=2舄)

/(3)=^/(%)，令xj有心="⑴I'

令T，有嗎￡)=/$=；,

非減函數(shù)性質(zhì):當(dāng)王＜當(dāng)時(shí)，都有了(王),"應(yīng))，二＜?＜］，有，(3顆忌)是)，

93669366

而宿)=：=/(》，所以有/號(hào))=；，則W)+舄)=”嗎)=T+2X}1.

【評(píng)析】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，充分利用題意中非減函數(shù)性質(zhì).

例6(全國(guó)新高考I卷-13)已知函數(shù)2一)是偶函數(shù)，則。=.

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷

【分析】利用奇函數(shù)的定義即可求解。的值.

【解答】解:函數(shù)=是偶函數(shù),＞為尺上的奇函數(shù)，

故)，=如2工-2T也為R上的奇函數(shù)，所以yko=a-2°-2°=a-l=O,所以a=I.

法二：因?yàn)楹瘮?shù)/(幻=132，-2-，)是偶函數(shù)，所以/(—x)=/(x),

即-x\a-2T-2，)=x\a-2X-2”即x\a-2*-2-x)+x\a-2--2、)=0,即(a-1)(2*-2r)d=0,

所以“=1.故答案為：1.

【評(píng)析】本題主要考查利用函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

柘展題1.已知函數(shù)/。)=/02'-2一')是奇函數(shù)，則。=1.

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)/(-x)=-/(x),即可求解a的值.

【解答】解:因?yàn)楹瘮?shù)八》)=/(“2-2-*)是奇函數(shù)，

所以/(_*)=-/(力對(duì)任意x恒成立,即/他.2T-2、)=-/(。2-2成,整理得+2〉=0,

所以a—1=0,所以a=l.故答案為：1.

【評(píng)析】本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

拓展題2.若函數(shù)〃?=七+”是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值是.

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇函數(shù)的定義可得f(x)+/(-x)=O,結(jié)合函數(shù)的解析式計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/。)=七+”是奇函數(shù)，

1112r1

貝"有/(幻+/(-x)=0,即----+a+-----+々=2〃+------H------=2a+l=0，解可得——.

2"+12-'+12-'+12、+12

故答案為：

2

【評(píng)析】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

柘展題3.已知函數(shù)/(幻=夕2'-2f'是偶函數(shù)，貝l]a=.

【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)即可求解。的值.

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=“-2”-2T是偶函數(shù)，所以/(—x)=f(x),即如2一*—2*=a2—2',

整理的(a+1)(2*-2一*)=0,所以a+l=O,解得a=—1,故答案為：—1.

【評(píng)析】本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

例7(全國(guó)新高考n卷-14)1.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x):.

①/(斗口=/(4)〃9)；②當(dāng)xe(o,w)時(shí)，.[(x)>0；③r(x)是奇函數(shù).

【分析】可看出/(幻=》2滿足這三個(gè)性質(zhì).

【解答]解：/'。)=工2時(shí)，=斗2々2=/(%)/(々)；當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，f'(x)=2x>0；f'(x)=2x

是奇函數(shù).

故答案為：f(x)=x2.

另解：幕函數(shù)/(x)=x"(a>0)即可滿足條件①和②；偶函數(shù)即可滿足條件③，

綜上所述,取即可.

【評(píng)析】本題考查了尋函數(shù)的求導(dǎo)公式，奇函數(shù)的定義及判斷，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

拓展題1.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)的函數(shù)/(X)=r,(答案不唯一，符合條件即可).

①/(X)是奇函數(shù)；

②/(X)在(0,+00)上為單調(diào)遞減函數(shù)；

【分析】由常見(jiàn)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：由③的運(yùn)算規(guī)律可知/(X)可以為幕函數(shù)，

由①②可得/(x)可以為f(x)=xT,答案不唯一.

故答案為：(答案不唯一，符合條件即可).

【評(píng)析】本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查基函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

柘展題2.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)：f(x)=ln\x\.

①f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；②/(x)的值域?yàn)镽；③/(X)為偶函數(shù).

【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，分析可得/(X)可以由對(duì)數(shù)函數(shù)沿y軸翻轉(zhuǎn)變換得到，故要求函數(shù)可以為/(x)=/〃|x|,

故答案為：/〃|x|(答案不唯一).

【評(píng)析】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，注意常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

拓展題3.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(x)=.

①f(x)在R上單調(diào)遞增；②“%)/1)=/(0)；③/(0)>1.

f(xt+七)

【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，分析可得/(x)為指數(shù)型函數(shù)，且底數(shù)a>l,故要求函數(shù)可以為，(%)=2川，

故答案為：2M(答案不唯一).

【評(píng)析】此題要求根據(jù)函數(shù)滿足的幾個(gè)條件，寫(xiě)出具體的函數(shù)解析式，答案不唯一，考查學(xué)生思維的靈活性和

發(fā)散性.此題以開(kāi)放的形式，給不同水平的學(xué)生提供了充分發(fā)揮自己數(shù)學(xué)能力的空間.末來(lái)高考將會(huì)加大對(duì)開(kāi)

放試題和結(jié)構(gòu)不良試題的考查力度，師生務(wù)必引起注意.

函數(shù)的概念、性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性)、圖象、最值與值域等是函數(shù)主干知識(shí),也是基本內(nèi)容，更

是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的必備知識(shí),因而倍受高考命題者的青睞.命題時(shí)難度控制自如隨意，解題思想方法靈活

多樣，能有效考查學(xué)生的數(shù)感、量感、形感.試題區(qū)分度較高,能夠讓不同層次的學(xué)生都有獲得感.命題題型

一般為選擇題和填空題,同時(shí)關(guān)注開(kāi)放試題、結(jié)構(gòu)不良試題的考查形式，全國(guó)新高考H卷第14題就是探索

與嘗試.

三、用導(dǎo)數(shù)研究基本初等函數(shù)

對(duì)導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)單應(yīng)用的考查一般出現(xiàn)在選擇題或填空題的后半部分，主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程

和函數(shù)的最值，試題難度中等偏上，具有很好的區(qū)分度與選拔性.

例8(全國(guó)甲卷?理13)1.若曲線/(x)=ae*+eT在點(diǎn)(0,7(0))處的切線與直線x+3y=0垂直，則“=.

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切點(diǎn)處的切線的斜率，即可解得。的值.

【解答】解：/(》)=?+6-*在的導(dǎo)數(shù)為八幻=四*-0-3即有f(x)在x=0處的切線斜率為無(wú)=a-1,

由在x=0處的切線與直線x+3y=0垂直，即有a-1=3,解得a=4.

故答案為：4.

【評(píng)析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，同時(shí)考查兩直線

垂直的條件，正確求出導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

拓展題1.已知曲線f(x)=/-3x及曲線y=f(x)上一點(diǎn)P(l,-2).

(I)求曲線y=/(x)在P點(diǎn)處的切線方程；

(II)求曲線y=/(x)過(guò)戶點(diǎn)的切線方程.

【分析】(1)由已知可得斜率函數(shù)為/'(x)=39-3,進(jìn)而求出所過(guò)點(diǎn)切線的斜率，代入點(diǎn)斜式公式即可.

(2)設(shè)切點(diǎn)為(不，%),求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求曲線過(guò)點(diǎn)P處的切線方程.

【解答】解：(1)vy=/(x)=?-3x,=/V)=3x2-3.則在P(l,-2)處直線的斜率匕=/(1)=0,

.??所求直線的方程為y=-2.

(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(％,￡-3x°),則直線/的斜率k2=f\x0)=3x(；-3,

-

2-(片—3x0)=(3x()—3)(1—x0),x；—3x0+2=(3xj—3)(x0—1),

2

即片-4+2-2%=3(片-l)(x0-l),即(片+-2)(x0-l)=3(x°+l)(x0-l),

即(x0+2)(%-1)2=3(%+1)5-1尸，則為一1=0或兌+2=3(々)+1),解得%=1或X。=-L

x0=l,所求直線的方程為y=-2,x0=-L,所求直線斜率4=3片-3=-\,

QQI

于是所求直線的方程為y-(-2)=~(x-l),即尸一力+L

444

綜上所述，所求直線的方程為y=-2或y=-2x+_L.

44

【評(píng)析】此題以一次分式函數(shù)為背景進(jìn)行命制，考查求切線方程的方法，直接求導(dǎo)即可求解，屬于簡(jiǎn)單題.而

全國(guó)新高考I卷中涉及切線問(wèn)題的試題，則比較復(fù)雜.

例9(全國(guó)新高考I卷7)(2021?新高考I)若過(guò)點(diǎn)3,6)可以作曲線y=，的兩條切線，貝1()

A.eh<<zB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】法一：畫(huà)出函數(shù)的圖象，判斷(見(jiàn)。)與函數(shù)的圖象的位置關(guān)系，即可得到選項(xiàng).

法二：設(shè)過(guò)點(diǎn)3。)的切線橫坐標(biāo)為f,求出切線方程，代入(“力)，設(shè)f(/)=(a+lT),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù),

判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后推出6的范圍即可.

【解答】解：法一：函數(shù)y=e"是增函數(shù)，y=">0恒成立，

函數(shù)的圖象如圖，y>0,即切點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上方，如果(〃力)在x軸下方，連線的斜率小于0,不成立.

點(diǎn)3打在x軸或下方時(shí)，只有一條切線.如果(a,力在曲線上，只有一條切線；(〃力)在曲線上側(cè)，沒(méi)有切

線；由圖象可知5力)在圖象的下方，并且在x軸上方時(shí)，有兩條切線，可知0<6<e".

故選：D.

法二：設(shè)過(guò)點(diǎn)36)的切線橫坐標(biāo)為f,則切線方程為y=d(x-f)+e',可得b=d(a+l-r),

設(shè)/(f)=(a+l—f),可得加)=-),fe(ro,a),/(f)是增函數(shù),

re(a,-w),f'(r)<0,/(f)是減函數(shù)，

因此當(dāng)且僅當(dāng)0<6<e"時(shí)，上述關(guān)于/的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，對(duì)應(yīng)兩條切線.

故選：D.

【評(píng)析】此題以常見(jiàn)的指數(shù)函數(shù)為命題背景，簡(jiǎn)潔明快，但內(nèi)涵豐富，具有很好的區(qū)分度，不同思維水平的學(xué)

生會(huì)產(chǎn)生不同的解法.如果利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，運(yùn)算量很大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力.此題表面考查切線問(wèn)題，實(shí)則考查學(xué)

生對(duì)函數(shù)y=e'圖象的理解程度，如漸近性和凸凹性.能很好地考查學(xué)生的直覺(jué)思維，特別是利用函數(shù)圖象分

析問(wèn)題的能力.如下圖，畫(huà)出函數(shù)y=e，的圖象，即可直觀判定當(dāng)點(diǎn)(。力)在曲線下方、x軸上方時(shí)，才可以作

出兩條切線.由此可知0<。<e".此題重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，避免了“機(jī)械刷題，現(xiàn)象，充分發(fā)

揮了高考指揮棒的作用，可謂獨(dú)具匠心,在平凡處見(jiàn)不平凡.

拓展題1.若過(guò)點(diǎn)①力)可以作曲線y=/nx的兩條切線，則3

A.eh<aB.ea<bC.0<a<ehD.0<b<ea

【分析】設(shè)切點(diǎn)(%,%)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線方程為y-/%=L(x-x。)，又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)色,與，

%

所以匕-阮r0=-!-(a-x。)，即方程加'o+q-l-Z^O有兩個(gè)解，構(gòu)造函數(shù)8⑴二加+烏―1-匕，利用導(dǎo)數(shù)得

X。X。X

到函數(shù)g。)的單調(diào)性和極值，由函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)可知極小值g(a)=lna—b<0,從而求出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)切點(diǎn)(%,%),

r

?/y=—^切線的斜率k=—y切線方程為y-bvc()=—(x-x0),又「切線過(guò)點(diǎn)(a,b),

x%%

:.b-lnx0=—(4?-x0),即方程+“一1一。=0有兩個(gè)解，

%%

設(shè)g(x)=/nr+幺一1一〃，則函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，,.,g'(x)=)_q=上方：,

xxxx

.,.當(dāng)人￡(0,。)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xw3+00)時(shí)，g'O)>0,g(x)單調(diào)遞增，

，函數(shù)g(x)的極小值為g(a)=lna-b,

要使函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則g(a)=lna-b<09:.lna<bf即

故選：C.

【評(píng)析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單

調(diào)性和極值，屬于中檔題.

拓展題2.若過(guò)點(diǎn)(〃，〃)3>0)可以作曲線y=的三條切線，貝|」()

A.b<—3aB,-3a<b<a3-3a

C.b>a3-3^D.b=-3a^b=a3-3a

【分析】設(shè)切線過(guò)點(diǎn)3/),則存在“吏b=(3"-3)。一2戶,于是過(guò)點(diǎn)m力)可作曲線y=/(x)的三條切線即

為方程2尸—+3a+b=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.記g⑴=2/-3m?+3"+。，求出其導(dǎo)函數(shù)為0時(shí),的值，

利用f的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到g⑴的單調(diào)區(qū)間，利用g(t)的增減性得到g⑴的極值，根據(jù)極值

分區(qū)間考慮方程g(f)=O有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，得到極大值大于0,極小值小于0列出不等式，求出解集即

可得到結(jié)論.

【解答】解：y=d-3x的導(dǎo)數(shù)為y=3x2-3,設(shè)切點(diǎn)為(/,?-30,切線的方程為y-r+3f=(3r2-3)(x-t),

如果有一條切線過(guò)點(diǎn)(a,。)，則存在f,使b=(3*-3)a-2/.

于是，若過(guò)點(diǎn)(a,6)可作曲線y=/(x)的三條切線，

則方程2尸-3?r+3a+b=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.

記gQ)=2J-3at2+3a+b,則g'(f)=Gt2-6at=6z(r-a).

當(dāng)r變化時(shí)，g(f),g'⑺變化情況如下表：

ty,o)0(o,a)a(a,+oo)

g")+0—0+

g(r)增極大值3a+b減極小值6-f(a)增

由g⑺的單調(diào)性，當(dāng)極大值a+6<0或極小值b-/(a)>0時(shí)，

方程g⑺=0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)3。+力=0時(shí)，解方程g(r)=0得，=0,z=y,即方程g⑺=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b-f(a)=0時(shí)，解方程g(r)=0得/=即方程g⑺=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.

綜上，如果過(guò)3份可作曲線y=/(x)三條切線，

即g(f)=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，貝",即-3a<6</(a)=a3-3a.

[b-f(a)<0

故選：B.

【評(píng)析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切

線的斜率；注意“在點(diǎn)處的切線”與“過(guò)點(diǎn)的切線”的區(qū)別，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極

值.

拓展題3.若過(guò)點(diǎn)P(a,0)可以作曲線y=的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)。的值可以是()

A.2B.-2C.-4D.-6

【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出在切點(diǎn)處的切線方程，把P的坐標(biāo)代入，整理可得關(guān)于P的橫坐標(biāo)的一元二

次方程，由判別式大于0求得〃的范圍，則答案可求.

xv

【解答】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為*o，/*),?/y=(-V+y)e,yix=v(i=(x0+i)e0,

Xii

切線方程為y—xQe'=(x0+(x-),

將點(diǎn)P{a,0)代入可得一為/=避+l)e&,化簡(jiǎn)得不？-秩-。=0,

?.?過(guò)點(diǎn)P(a,0)作曲線C的切