中考數(shù)學復習滿分突破（全國通用）：專題38 概率 （原卷版）

專題38概率【考查題型】【知識要點】知識點一確定事件與隨機事件事件類型的種類：①必然事件：在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事件。

②不可能事件：在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件。③隨機事件：在一定條件下，許多事情我們無法確定它會不會發(fā)生，這些事情稱為隨機事件?！緜渥ⅰ勘厝话l(fā)生的事件發(fā)生的可能性最大，不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小，隨機事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機事件發(fā)生的可能性的大小可能不同。知識點二頻率與概率概率的概念：某種事件在某一條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，但可以知道它發(fā)生的可能性的大小，我們把描述事件發(fā)生的可能性的大小的量叫做概率。概率的計算：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m中結果，那么事件A發(fā)生的概率為（），其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(隨機事件)＜1.所以有：P(不可能事件)＜P(隨機事件)＜P(必然事件)。利用列舉法求概率１）直接列舉法求概率當一次試驗中,可能出現(xiàn)的結果是有限個,并且各種結果發(fā)生的可能性相等時，通常采用直接列舉法。２）列表法求概率當一次試驗要設計兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法。３）樹狀圖法求概率當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖法求概率。利用頻率估計概率實際上，我們可以通過大量的重復試驗，用一個隨機事件發(fā)生的頻率去估計它的概率。用頻率估計概率，雖然不像列舉法能確切地計算出隨機事件的概率，但由于不受“各種結果出現(xiàn)的可能性相等”的條件限制，使得可求概率的隨機事件的范圍擴大。通常，在多次重復實驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率會在某一個常數(shù)附近擺動，并且隨著試驗次數(shù)增多，擺動的幅度會減小，這個性質稱為頻率的穩(wěn)定性.【注意事項】概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值?？疾轭}型一判斷事件類型典例1（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）彩民李大叔購買1張彩票，中獎．這個事件是（

）A．必然事件 B．確定性事件 C．不可能事件 D．隨機事件變式1-1．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（

）A．水落石出 B．水漲船高 C．水滴石穿 D．水中撈月變式1-2（2022·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）下列事件中，屬于必然事件的是（

）A．拋擲硬幣時，正面朝上B．明天太陽從東方升起C．經(jīng)過紅綠燈路口，遇到紅燈D．玩“石頭、剪刀、布”游戲時，對方出“剪刀”變式1-3（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）某醫(yī)院計劃選派護士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護士積極報名參加，其中甲是共青團員，其余3人均是共產(chǎn)黨員．醫(yī)院決定用隨機抽取的方式確定人選．(1)“隨機抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件；A．不可能

B．必然

C．隨機(2)若需從這4名護士中隨機抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護士都是共產(chǎn)黨員的概率．考查題型二判斷事件發(fā)生可能性的大小典例2（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一張圓桌共有3個座位，甲、乙，丙3人隨機坐到這3個座位上，則甲和乙相鄰的概率為(

)A． B． C． D．變式2-1（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）一只不透明的袋子中裝有3個黑球和2個白球，這些除顏色外無其他差別，從中任意摸出3個球，下列事件是確定事件的為（

）A．至少有1個球是黑球 B．至少有1個球是白球C．至少有2個球是黑球 D．至少有2個球是白球變式2-2．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）某校九年級選出三名同學參加學校組織的“法治和安全知識競賽”．比賽規(guī)定，以抽簽方式?jīng)Q定每個人的出場順序，主持人將表示出場順序的數(shù)字1，2，3分別寫在3張同樣的紙條上，并將這些紙條放在一個不透明的盒子中，攪勻后從中任意抽出一張，小星第一個抽，下列說法中正確的是（

）A．小星抽到數(shù)字1的可能性最小 B．小星抽到數(shù)字2的可能性最大C．小星抽到數(shù)字3的可能性最大 D．小星抽到每個數(shù)的可能性相同考查題型三根據(jù)概率公式計算概率典例3（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）書架上有2本數(shù)學書、1本物理書．從中任取1本書是物理書的概率為（

）A． B． C． D．變式3-1（2022·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）從下列一組數(shù)﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中隨機抽取一個數(shù)，這個數(shù)是負數(shù)的概率為（）A． B． C． D．變式3-2（2022·內蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）不透明袋中裝有除顏色外完全相同的個白球、個紅球，則任意摸出一個球是紅球的概率是（

）A． B． C． D．變式3-3（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）無色酚酞溶液是一中常見常用酸堿指示劑，廣泛應用于檢驗溶液酸堿性，通常情況下酚酞溶液遇酸溶液不變色，遇中性溶液也不變色，遇堿溶液變紅色．現(xiàn)有5瓶缺失標簽的無色液體：蒸餾水、白醋溶液、食用堿溶液、檸檬水溶液、火堿溶液，將酚酞試劑滴入任意一瓶液體后呈現(xiàn)紅色的概率是（

）A． B． C． D．變式3-4（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，任意將圖中的某一白色方塊涂黑后，能使所有黑色方塊構成的圖形是軸對稱圖形的概率是（

）A． B． C． D．考查題型四根據(jù)概率求數(shù)量典例4（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）一個不透明的箱子中有5個紅球和若干個黃球，除顏色外無其它差別.若任意摸出一個球，摸出紅球的概率為，則這個箱子中黃球的個數(shù)為______個．變式4-1（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）一個不透明的口袋中裝有5個紅球和個黃球，這些球除顏色外都相同，某同學進行了如下試驗：從袋中隨機摸出1個球記下它的顏色后，放回搖勻，為一次摸球試驗．根據(jù)記錄在下表中的摸球試驗數(shù)據(jù)，可以估計出的值為_________．摸球的總次數(shù)10050010002000…摸出紅球的次數(shù)19101199400…摸出紅球的頻率0.1900.2020.1990.200…變式4-2（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）一個袋中裝有m個紅球，10個黃球，n個白球，每個球除顏色外都相同，任意摸出一個球，摸到黃球的概率與不是黃球的概率相同，那么m與n的關系是________．考查題型五幾何概率典例5（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在的長方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點稱為格點，扇形OAB的圓心及弧的兩端均為格點．假設飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是（

）A． B． C． D．變式5-1（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的是由8個全等的小正方形組成的圖案，假設可以隨意在圖中取一點，那么這個點取在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．1變式5-2（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，若飛鏢落在鏢盤上各點的機會相等，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（

）A． B． C． D．變式5-3（2021·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）以下轉盤分別被分成2個、4個、5個、6個面積相等的扇形，任意轉動這4個轉盤各1次．已知某轉盤停止轉動時，指針落在陰影區(qū)域的概率是，則對應的轉盤是（）A．B．C．D．變式5-4（2021·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一個棱長為3的正方體表面涂上顏色，再把它分割成棱長為1的小正方體，將它們全部放入一個不透明盒子中搖勻，隨機取出一個小正方體，只有一個面被涂色的概率為（

）A． B． C． D．變式5-5（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知⊙是小正方形的外接圓，是大正方形的內切圓．現(xiàn)假設可以隨意在圖中取點，則這個點取在陰影部分的概率是_________．考查題型六列舉法求概率典例6（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）隨著信息化的發(fā)展，二維碼已經(jīng)走進我們的日常生活，其圖案主要由黑、白兩種小正方形組成．現(xiàn)對由三個小正方形組成的“”進行涂色，每個小正方形隨機涂成黑色或白色，恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為（

）A． B． C． D．變式6-1（2022·廣西貴港·中考真題）從，，2這三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)，作為點的坐標，則該點落在第三象限的概率是___．考查題型七列表法求概率典例7（2022·山西·中考真題）“二十四節(jié)氣”是中華上古農耕文明的智慧結晶，被國際氣象界普為“中國第五大發(fā)明”，小文購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四張郵票中的兩張送給好朋友小樂．小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），讓小樂從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，則小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（

）A． B． C． D．變式7-1（2022·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）為做好疫情防控工作，某學校門口設置了，兩條體溫快速檢測通道，該校同學王明和李強均從通道入校的概率是（

）A． B． C． D．變式7-2（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）某社區(qū)組織A，B，C，D四個小區(qū)的居民進行核酸檢測，有很多志愿者參與此項檢測工作，志愿者王明和李麗分別被隨機安排到這四個小區(qū)中的一個小區(qū)組織居民排隊等候．(1)王明被安排到A小區(qū)進行服務的概率是．(2)請用列表法或畫樹狀圖法求出王明和李麗被安排到同一個小區(qū)工作的概率．變式7-3（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）從甲、乙、丙、丁4名學生中選2名學生參加一次乒乓球單打比賽，求下列事件發(fā)生的概率．(1)甲一定參加比賽，再從其余3名學生中任意選取1名，恰好選中丙的概率是；(2)任意選取2名學生參加比賽，求一定有乙的概率．（用樹狀圖或列表的方法求解）．變式7-4（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）2022年3月23日下午，“天宮課堂”第二課開講，航天員翟志剛、王亞平、葉光富相互配合進行授課，激發(fā)了同學們學習航天知識的熱情．小冰和小雪參加航天知識競賽時，均獲得了一等獎，學校想請一位同學作為代表分享獲獎心得．小冰和小雪都想分享，于是兩人決定一起做游戲，誰獲勝誰分享，游戲規(guī)則如下：甲口袋裝有編號為1，2的兩個球，乙口袋裝有編號為1，2，3，4，5的五個球，兩口袋中的球除編號外都相同．小冰先從甲口袋中隨機摸出一個球，小雪再從乙口袋中隨機摸出一個球，若兩球編號之和為奇數(shù)，則小冰獲勝；若兩球編號之和為偶數(shù)，則小雪獲勝．請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲對雙方是否公平．考查題型八樹狀圖法求概率典例8（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個，除顏色外兩個小球無其他差別，從中隨機摸出一個小球，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率是（

）A． B． C． D．變式8-1（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）班長邀請，，，四位同學參加圓桌會議．如圖，班長坐在⑤號座位，四位同學隨機坐在①②③④四個座位，則，兩位同學座位相鄰的概率是（

）A． B． C． D．變式8-2（2022·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的電路圖，同時閉合兩個開關能形成閉合電路的概率是（）A． B． C． D．1變式8-3（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）一只不透明的袋子中裝有3個大小、質地完全相同的乒乓球，球面上分別標有數(shù)字1、2、3，攪勻后先從袋子中任意摸出1個球，記下數(shù)字后放回，攪勻后再從袋子中任意摸出1個球，記下數(shù)字．(1)第一次摸到標有偶數(shù)的乒乓球的概率是______；(2)用畫樹狀圖或列表等方法求兩次都摸到標有奇數(shù)的乒乓球的概率．變式8-4（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）“石頭、剪子、布”是一個廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手勢中的1種，其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，“布”贏“石頭”，手勢相同不分輸贏．假設甲、乙兩人每次都隨意并且同時做出3種手勢中的1種．(1)甲每次做出“石頭”手勢的概率為_________；(2)用畫樹狀圖或列表的方法，求乙不輸?shù)母怕剩疾轭}型九游戲公平性典例9（2021·山東青島·統(tǒng)考中考真題）為踐行青島市中小學生“十個一”行動，某校舉行文藝表演，小靜和小麗想合唱一首歌．小靜想唱《紅旗飄飄》，而小麗想唱《大海啊，故鄉(xiāng)》．她們想通過做游戲的方式來決定合唱哪一首歌，于是一起設計了一個游戲：下面是兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形．同時轉動兩個轉盤，若兩個指針指向的數(shù)字之積小于4，則合唱《大海啊，故鄉(xiāng)》，否則合唱《紅旗飄飄》；若指針剛好落在分割線上，則需要重新轉動轉盤．請用列表或畫樹狀圖的方法說明這個游戲是否公平．變式9-1（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）現(xiàn)有A，B兩個不透明的袋子，A袋的4個小球分別標有數(shù)字1，2，3，4；B袋的3個小球分別標有數(shù)字1，2，3．（每個袋中的小球除數(shù)字外，其它完全相同．）（1）從A，B兩個袋中各隨機摸出一個小球，則兩個小球上數(shù)字相同的概率是；（2）甲、乙兩人玩摸球游戲，規(guī)則是：甲從A袋中隨機摸出一個小球，乙從B袋中隨機摸出一個小球，若甲、乙兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)時，則甲勝；否則乙勝，用列表或樹狀圖的方法說明這個規(guī)則對甲、乙兩人是否公平．變式9-（2021·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）一個不透明的袋子中裝有4個只有顏色不同的小球，其中2個紅球，2個白球，搖勻后從中一次性摸出兩個小球．（1）請用列表格或畫樹狀圖的方法列出所有可能性；（2）若摸到兩個小球的顏色相同，甲獲勝；摸到兩個小球顏色不同，乙獲勝．這個游戲對甲、乙雙方公平嗎？請說明理由．考查題型十用頻率估計概率典例10（2021·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）在一次心理健康教育活動中，張老師隨機抽取了40名學生進行了心理健康測試，并將測試結果按“健康、亞健康、不健康”繪制成下列表格，其中測試結果為“健康”的頻率是（

）．類型健康亞健康不健康數(shù)據(jù)（人）3271A．32 B．7 C． D．變式10-1（2021·山東青島·統(tǒng)考中考真題）在一個不透明的袋中裝有若干個紅球和4個黑球，每個球除顏色外完全相同．搖勻后從中摸出一個球，記下顏色后再放回袋中．不斷重復這一過程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估計袋中紅球的個數(shù)是__________．變式10-2（2021·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）社團課上，同學們進行了“摸球游戲”：在一個不透明的盒子里裝有幾十個除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復上述過程．整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關系圖象如圖所示，經(jīng)分析可以推斷盒子里個數(shù)比較多的是___________（填“黑球”或“白球”）．變式10-3（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）一個口袋中有紅球、白球共20個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸了300次球，發(fā)現(xiàn)有120次摸到紅球，則這個口袋中紅球的個數(shù)約為____．變式10-4（2021·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）“網(wǎng)紅”長沙入選2021年“五一”假期熱門旅游城市．本市某景點為吸引游客，設置了一種游戲，其規(guī)則如下：凡參與游戲的游客從一個裝有12個紅球和若干個白