多維隨機(jī)變量

#第章多維隨機(jī)變量3.13.2(1)了解多維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)的概念，理解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布(分布函數(shù)，概率分布，概率密度)和邊緣分布的概念與性質(zhì)及它們之間的關(guān)系，并會(huì)用以求解具體問(wèn)題。(2)了解二維隨機(jī)變量的條件分布的概念及計(jì)算，了解密度函數(shù)、邊緣密度函數(shù)和條件密度函數(shù)的關(guān)系。⑶理解隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念，并能熟練運(yùn)用獨(dú)立性解決具體問(wèn)題。(4)了解二維隨機(jī)變量的函數(shù)的概念，會(huì)求兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的常用函數(shù)的分布，記住幾個(gè)常用分布的和函數(shù)的分布。3.31)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)：(1)定義：二維隨機(jī)變量&E)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)口P比Vx,n<y｝。(2)性質(zhì)：①F(x,y)是單調(diào)不減函數(shù)：>ynF(x,y)>F(x,y),F(x,y)>F(x,y)；1 2 1 2 1②F(x,y)是有界函數(shù)：0WF(x,y)<i且8,y0；F(8,8)=1,F(8, 8)=F8,y0；③F(x,y)是右連續(xù)的：F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)。④Vx>x,y>ynF(x,y)+F(x,y)>F(x,y)+F(x,y)2 12 1 2 2 1 1 2 1 1 2

2)二維隨機(jī)變量的邊緣分布：若二維隨機(jī)變量&E)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y),則化內(nèi))的邊緣分布函數(shù)為F(x)-F(x,+8)=limF(x,y),F(y)-F(+8,y)=limF(x,y)。1 nyf+8 1 xf+83)二維離散型隨機(jī)變量：所有可能取值為有限多對(duì)或可列無(wú)窮多對(duì)的二維隨機(jī)變量稱為二維離散型隨機(jī)變量。ij⑵化,n)的邊緣分布:iji=1j=1(iij⑵化,n)的邊緣分布:iji=1j=1(i-1,2,…)p化-x}-p{1-x,n<+8}-{p(i-1,2,…)i i ijP{n-y}-P{n-y}-p化<+8,n-y}-￡ji-1Pij(j-1,".)⑶化,n)的條件分布:n-y下工的條件概率分布jP{之-x,n-y}Pt-xn-y}- i———i1j P{n-y}j匕-x下n的條件概率分布ij=1，2，?P{1-x,n-y}

P{n-yj=1，2，?ji P{己-x}i4)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(1)定義：設(shè)二維隨機(jī)變量化,n)的分布函數(shù)為F(x,y)，若存在非負(fù)函數(shù)9(x,y)，使對(duì)

一切實(shí)數(shù)x,y成立F(x,y)=fxfy①(x,y)dxdy_g_g則稱&,n)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，①(x,y)稱為&,n)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。(2)性質(zhì):(2)性質(zhì):②「J+s3x,y)dxdy=1；一g-sd2F(x.y)③在①(x,y)的連續(xù)點(diǎn)處有———-=①(x,y)d.xdyy④尸{(1，n)￡G}=ffp(x,y)dxdy,G為xOy平面上的區(qū)域。G邊緣分布:「834,y)dy,①(y)=卜力(4,y)dx。一g一一g(4)條件分布:(4)條件分布:①條件分布函數(shù):fx①(x,y)dxn=y下m的條件分布函數(shù)為Fn(x|y)二一①⑴一，n1y3x,y)dy&=x下n的條件分布函數(shù)為F(y\x)二一———試 q(x)②條件分布密度:n=y下工的條件概率密度為.卜(xy)二己二x下n的條件概率密度為①|(zhì)(y|x)="斗q(x)5)隨機(jī)變量的獨(dú)立性(1)定義：若二維隨機(jī)變量(己,n)的聯(lián)合分布函數(shù)等于邊緣分布函數(shù)的乘積，即F(x,y)=F(x)F(y)

&n則稱m與n是相互獨(dú)立的。同樣對(duì)n維隨機(jī)變量化,己，…,己)，若有1 2nF(x,x,,x)=Hf(x)

1 2 n 自.ii=1???成立，則稱匕工，工是相互獨(dú)立的。1 2 n(2)判別方法：…離散型隨機(jī)變量匕與n相互獨(dú)立oV(x,y),P{匕=x,n=y}=P{^=x}P{n=y}。.j .j . j連續(xù)型隨機(jī)變量匕與n相互獨(dú)立o①(x,y)=Q(x和(y)自n6)隨機(jī)變量函數(shù)的分布(1)和g=己+n的分布:①卷積公式：化,n)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為中(x,y)，則g的概率密度,(z)=當(dāng)匕與n相互獨(dú)立時(shí)有f+M9(x,z—x)dx=f+M9(z—y,y)dy一g一g中(z)='中(x)9(z—x)dx』+再(z—y)9(y)dyg 己n 己 n—^ —^②當(dāng)匕與n相互獨(dú)立時(shí)，有下列結(jié)論：若m~嗎,P必~勵(lì)2M)，則gY+n~b(n1+n2,P)；若工~P(~加~P氏)，則gY+n~P(~十^；若工~N(了12)，n~Ng。；)，則0n~N(/112+o；)；更一般地，若工?N(R,o2),(i=1,2, ,n)且相互獨(dú)立，c(i=1,2, ,n)是常數(shù)，則i ii i工自iii=1c202)

iii=1 i=1也就是說(shuō)，服從正態(tài)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布。(2)U=max比,己,,己｝,V=min比,己,,己｝的分布:

1 2 n 1 2 n設(shè)32,工n相互獨(dú)立,則隨機(jī)變量UJV的分布函數(shù)分別為F(x)=Hf(x),F(x)=1—H(1—F(x))UqV qi=1 i=1特別地,如果連續(xù)型隨機(jī)變量馬q2,,qn獨(dú)立同分布，q的分布函數(shù)和概率密度分別F(x)=[F(x)],F(x)=[F(x)],F(x)=1-11—F(x)]U VnI-F(x)[t叭x)①(x)=n[F(x)[-1叭x),nI-F(x)[t叭x)U V3.4、判斷題(對(duì)用“+”，錯(cuò)用“-").設(shè)二維隨機(jī)變量值,n)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則F(x,y)=尸化<x,n<y}=1-尸比>x,n>y}。.設(shè)二維隨機(jī)變量值，n)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則P[x<&<x,y<n<y}=F(x,y)-F(x,y)。.二維連續(xù)型隨機(jī)變量化,n)的邊緣概率密度為p(x),p(y)，若己與H相互獨(dú)立，則其聯(lián)合g口TOC\o"1-5"\h\z概率密度p(x,y)可分解為p(x,y)=p(x),p(y)。 ( )自 口.設(shè)己與「的概率密度分別為p(x),p(y)，而p(x,y)=p(x)p(y)+f(x,y)g 口 g口是隨機(jī)變量(1，n)的概率密度，則f(x,y)>-p(x)p(y)且卜小sf(x,y)dxdy=0。( )gn -s-s.設(shè)隨機(jī)變量g與n相互獨(dú)立，它們的概率分布分別為g-1g-11p1122則P{g=n}=1。6.設(shè)(g,n)的概率分布為V01n\03310101311010則g與n相互獨(dú)立。n-11p1122.設(shè)化E）的概率分布如上題所示，則在1=1的條件下，”的條件概率分布為n|[=101p3144.在第6題中，U=己+”的概率分布為U012p3104103 。10min（t,n）的概率分布為V上1P一。9.在第6題中，V=10.若化E）的聯(lián)合概率密度e-(x+y) x>0,y>00其他則:與“相互獨(dú)立。1已知^1，X2， ，*.獨(dú)立且服從于相同的分布F（X），若令TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"H=max(X,X；..,X)，則F(X)=Fn(X)。1 2 n n.匕與n相互獨(dú)立，工服從0-1分布，n服從普阿松分布，則1+n是離散型隨機(jī)變量。（ ）.設(shè)G、n是兩個(gè)隨機(jī)變量，則t+n是二維隨機(jī)變量。 （ ）二、填空題.設(shè)二維隨機(jī)變量化,n）的聯(lián)合概率分布為則p{tn=。}=.設(shè)二維隨機(jī)變量化,n）的概率密度

e-y 0<X<J0其他而n的邊緣密度為①（y），則①（2）=n n.設(shè)二維隨機(jī)變量值,n）的概率密度為10<X<1,0<y<1其他則概率P&<0.5,n<0.6}=.設(shè)二維隨機(jī)變量值,n）的概率密度為4xy0<x<1,0<y<1其他,P比=n}p化<n}=5.設(shè)隨機(jī)變量5.設(shè)隨機(jī)變量己與n相互獨(dú)立，其概率分布為11-11pn-1Pb則a則a=，b=，P{1=n}=6.已知隨機(jī)變量1,n的聯(lián)合概率分布為則當(dāng)s則當(dāng)s=，t=7.設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量7.設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量1,n的聯(lián)合概率分布為貝"P二一,P二一,P=—，P4=一，P5=一夕二一，P88.若己8.若己，n相互獨(dú)立，已知m?U（0,2）n?N（1,1），則色,n）的聯(lián)合概率密度9.若己9.若己，n獨(dú)立同分布，已知己?E（2）則&，n）的聯(lián)合分布函數(shù)F（九y）=io.設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量己、n具有同一概率分布，且己的概率分布為1|o1~P~0.50.5，則C=max&，n｝的概率分布為11.設(shè)己，己相互獨(dú)立，均服從0-1分布，且P&=1｝=P&=1｝=0.6，則TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2n=min義工｝的概率分布為。1 2.設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量看與n具有相同的分布，且看的概率分布為m-1 1 2~P-020.20.6則隨機(jī)變量c=max&2，n2｝的概率分布為。.設(shè)工?N（1，2），n?N（0,3），C?N（2，1），且工用工相互獨(dú)立，則P｛0<24+3?<6｝=三、選擇題.設(shè)己，n為隨機(jī)變量，則事件也<1，n<1｝的逆事件為（）.（a坨〉1，n>1｝； （b坨〉1，n<1｝；（c用<1，n>1｝； （d坨〉1｝u1>1｝.（A）聯(lián)合概率分布;p=尸化=%，n=y｝（，，j=1，2，）是離散型二維隨機(jī)變量&，n）的（）。j i （A）聯(lián)合概率分布;,（B）聯(lián)合分布函數(shù)；

(C)概率密度； ①)邊緣概率分布..設(shè)隨機(jī)變量值,n)的分布函數(shù)為F(x,y)，其邊緣分布函數(shù)F(x)是()。g(A)limF(x,y);(B)limF(x,y);(C)F(x,0);(D)F(0,x).yT-0 yf+8TOC\o"1-5"\h\z.設(shè)隨機(jī)變量&R)的分布函數(shù)為F(x,y)=A(arctanx+B)(arctany+—),則A,B的值2 32分別為( )。/A、1—f、12 /…、1 — /c、1―(A )—丁 ； (B) ,—; (C )— -,- ;(D )—耳 .―2 —2— —4 —22.設(shè)隨機(jī)變量g與n相互獨(dú)立，服從相同的分布：g0 1n0 1P0.40.6 P\0.40.6則下列結(jié)論正確的是( )。(a)p{g=n}=0; (b)p{g=n}=0.5;(c)p{g=n}=0.52; (d)p{g=nl=1.6.設(shè)二維隨機(jī)變量（6.設(shè)二維隨機(jī)變量（g,n）的聯(lián)合概率分布為b的值分別為（）。(A)a=—,b=—; (B)a=—,b=—;6 3 2 2(C)a=—,b=—; (D)a=—,b=—.3 6 4 4.隨機(jī)變量g與n服從相同的分布，則()。(a)必有g(shù)=n；(B)對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)a,P{g<a}=P{n<a}；（C）事件｛g<a｝與事件｛n<a｝不相互獨(dú)立；（D）只對(duì)某些實(shí)數(shù)a，事件｛g<a｝與事件｛n<a｝相互獨(dú)立。.分布如下的二維隨機(jī)變量中，g與n不相互獨(dú)立的是（ ）。

9.設(shè)9.設(shè)m?N(1,3),9?N(1,3),且看與n相互獨(dú)立，則5+n?( )。(A)N(2,8)；(B)N(2,6)；(C)N(1,18)；(D)N(2,18).10.設(shè)己與9是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且己?N(0,1),9?N(1,1)，則( )(A)P{己+9<0}=P{己-9V0}； (B)P{己+9V1}=P{己一9V1}；(C)P{己+9<0}=P{己―9<1}； (D)P{己+9<1}=P{己一9<-1}..設(shè)隨機(jī)變量m與9相互獨(dú)立，且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ，則下列正確的是（）。(A(A)P{^+9>0}=4；(C)p{max化E)>0}=4；(B)P{m-9>0}=L4(D)P{min化,9)>0}=L4.設(shè)匕與9獨(dú)立同分布，匕~UQD，令。巷+92（z）為。的概率密度，則）。13.已知隨機(jī)變量m和9相互獨(dú)立（A）0； （B）2； （C）|；13.已知隨機(jī)變量m和9相互獨(dú)立其分布函數(shù)分別為F（x）與F（y）,則隨機(jī)變量g0=max&0=max&9的分布函數(shù)Fz）等于（）。(A)max{仁z),勺(z)}；（B）仁z）勺（z）；(D)仁z)+F(z)-仁z勺z).3.52b+2―；6」心5 3 15 1015一■、1.-；2.-；3.+；4.；5.-；6.-；7.+8.-；9.+；2b+2―；6」心5 3 15 10150.7；2.2e-2；3.0.3；4.竺01；5.3/5,1/3,64,‘27.241311311,77,,,,,;8.9(%,y)=<12844423 "0<%<7.241311311,77,,,,,;8.9(%,y)=<12844423 "0<%<2,-8<y<+89.11.P5=1}=0.36,P5=0}=0.64；12.—P13.①(1)-①(0)=0.3413。、1.D；2.A；3.B；4.D；5.C；6.C;7.B；(01P0.250.75其他14)%N0,y20；10其他0.16 0.848.D；9.B；10.D；11.D；12.B；13.B。3.6例 口袋內(nèi)有個(gè)球，分別標(biāo)有號(hào)碼12345從這個(gè)口袋中任意取出個(gè)球，設(shè)—取出球中的最大號(hào)碼，n是取出球中的最小號(hào)碼，求(—,n)的二維聯(lián)合概率分布。解—可能取的值為，，5n可能取的值為，，。從個(gè)球中任取個(gè)球，共有C；種取法。取到球的最大號(hào)碼為，?，最小號(hào)碼為人相當(dāng)于先取個(gè)號(hào)碼為i的球和個(gè)號(hào)碼為j的球，再?gòu)奶?hào)碼小于i大于j的i-j-1個(gè)球中取個(gè)球，有a。c1種取法。所以—=i，n=j的概率為1i-j-11, C1C1C1 C1P{—=i,n=j}=1匚j-11=i-j-1 (i=3,4,5；j=1,2,3)。C3 105將i=3,4,5和j=1,2,3代入上式，并注意到當(dāng)m>n時(shí)有Cm=0,便可求得nP{—=3,n=1}=與=o1，P{—=3,n=2}二%=0,P{—=3,n=3}=g=0,10 10 10

P{1=4,”=1}=需=0.2,P也=4,"=2}=余=0.1,P{1=4,"=3}=余=0,P{匕—5,"=1}=^-3-=0.3,P{1=5,"=2}=^-2=0.2,P{匕—5,"=3}=―^=0.1。10 10 10所以&,n）的聯(lián)合概率分布為"X12330.10040.20.1050.30.20.1例 設(shè)二維隨機(jī)變量&,"）具有聯(lián)合概率密度/ 、IAe-2(x+y) x>0,y>0。試求：（）常數(shù)A；叭。試求：（）常數(shù)A；I0其他（）心,"）的分布函數(shù)F（x,y）；（）心,"）落在圖 中區(qū)域D內(nèi)的概率。圖3-2圖3-2解()因?yàn)?=f+8f+8^(x,y)dxdy=f+8f+8Ae-2(x+y)dxdy-8-8所以A=4。心,"）的聯(lián)合概率密度為4e-2(4e-2(x+y)0x>0,y>0

其他（）化,n）的分布函數(shù)F(x,y)=fx5①(（）化,n）的分布函數(shù)F(x,y)=fx5①(u,v)dvdu_g_g00fxfy4e-2(u+v)dvdu(1一e-2X)(1一e-2y)0x>0,y>0

其他x>0,y>0

其他（）d,n）落在區(qū)域d內(nèi)的概率p4e-2(x+y)dy(f1-x2e-2ydyjdx二=f12e-2x0f12e-2x(-e-2y)1-xdx0 0—fi2e-2x(1—e-2+2x)dx—f1(2e-2x-2e-2)dx—(-e-2x-2e-2x)1―1-e-2x-2e-2x0例袋中有個(gè)白球，個(gè)紅球，每次從中任取一球，共取兩次。設(shè)己、n分別是第一次、第二次取出的白球數(shù)，即0第一次取到的是紅球0第一次取到的是紅球1第一次取到的是白球0第二次取到的是紅球1第二次取到的是白球°求化,求化,n）的聯(lián)合概率分布及邊緣概率分布，（）有放回取球（每次取球后仍放回）；（解（）有放回取球。一一一33一一一P{己=0,n―0}=5x——0.36J 2 3尸憑=1,n=0}——x——0.24考慮下列兩種情況：）無(wú)放回取球（每次取球后不放回）。一一 一32一…,P{g=0,n=1}——x——0.24,~ . 一 22一一,尸{m=1,n=1}——x——0.16°&,n）的聯(lián)合概率分布及邊緣概率分布為,()無(wú)放回取球。P｛己,()無(wú)放回取球。P｛己=0R==0.3,一一23一一P{己=1R=0}=5x—=0.3尸{己=1R=1}=5x4=0.1。&R)的聯(lián)合概率分布及邊緣概率分布為在上面這個(gè)例子中，我們可以看到，“有放回取球”和“無(wú)放回取球”這兩種情形，己，n的邊緣概率分布是相同的，它們的聯(lián)合概率分布卻是不一樣的，由此可見(jiàn)，聯(lián)合分布可以唯一地確定邊緣分布，而邊緣分布卻不能唯一地確定聯(lián)合分布，即對(duì)單個(gè)隨機(jī)變量己，n的研究，并不能代替對(duì)二維隨機(jī)變量&,n)的整體研究。例 設(shè)二維隨機(jī)變量&,n)具有聯(lián)合概率密度, 、 [Ae-2(x+y)x>0,y>0叭x,y)=(10其他試求：二維隨機(jī)變量d,n)的邊緣概率密度9(x)和①(y)。匕n解9(x)」》(x,y)dy/14e-2(x+y)dyx>0二色-2->0，&-s I/。 x<0〔0x<0小/、f+s W+X4e-2(x+y)dxy>012e-2yy>09(y)=J9(x,y)dx=VJ0 J=V 。n-s I0 0y<0〔0y<0例 設(shè)&,n)的概率密度為①(羽y)=%0,X2+y2<1

其他求化,n)的邊緣概率密度9(x)和①(y)。匕 n解2nli一x2一1<x<1=1k0其他_勺匚7-1<y<2nli一x2一1<x<1=1k0其他_勺匚7-1<y<1二、兀o其他當(dāng)f 0其他zx 「+// w J'1一^—dx-1<y<19(y)=J9(x,y)dxJ力兀 )n- yo 其他在上例中，&,n)可以看作是落在圓心為(0,0)半徑為的圓盤(pán)q中的一個(gè)點(diǎn)，它在該圓盤(pán)區(qū)域中服從(二維)均勻分布，即在圓盤(pán)q中的概率密度為常數(shù)，在圓盤(pán)q外的概率密度為0。也就是說(shuō)，它的概率密度可以寫(xiě)成下列形式：c(x,y)eQ0其他1"『^『口9(x,y)dxdy=JJcdxdy=cS(S是區(qū)域Q的面積)—QQQ一口 1可得c=--SQ由于圓盤(pán)q的面積S°二兀，所以化，n)的概率密度函數(shù)為1 . 八一，x2+y2<1兀0,其他雖然化,n)的二維聯(lián)合分布是均勻分布，但是它的邊緣分布卻不是均勻分布。

所以，在g=4條件下，n的條件概率分布為n1 2 3P{n=yjg=4}2 1 八- - 03 3例例中，已求得&,n）的聯(lián)合概率分布，容易求出它的邊緣分布如下:（）在己=4條件下，n的條件概率分布。p{己=31n—1}例例中，已求得&,n）的聯(lián)合概率分布，容易求出它的邊緣分布如下:（）在己=4條件下，n的條件概率分布。p{己=31n—1}二p{^=3,n―1}_0.1_1P{n=1}礪―6p{己=41n=1}=p化=4,n=1}0.21P{n=1}0.6p化―5in=1}=p化=5,n=1}_0.3_1P{n=1} 06—2g3 4 5p{g=xn=1}1 1 16 3 2所以，在n=1條件下，己的條件概率分布為p{n=1ig=4}=,P化=1,n=4}_0,2_2P{g=4} 03-3P{n=2ig=4}=P{g=2,n=4}_0,1_1""P{g=4} 03—3p{n=31g=4}=P{g=3,n=4} 0P{g=4} 0.3例 設(shè)二維隨機(jī)變量&,n）具有聯(lián)合概率密度4e-4e-2(x+y)0x>0,y>0

其他可求得它的邊緣概率密度為2e-2e-2xx>00x<02e-2yy>00y<0在n=y（y>0）條件下己的條件概率密度k（x1y）；在己=x（x>0）條件下”的條件概率密度%（y?x）。4e-2(x+y) =2e-2x2e-2y，=02e-2y%(y%(yIx)=.=]

值 Q(x)4e-2(x+y) =2e-2y2e-2x，=02e-2x例設(shè)&,n）的聯(lián)合分布函數(shù)為(e-x+1)(e-y+1)問(wèn)&，n是否相互獨(dú)立?解F(解F(x)=F(x,+8)=工limF(x,y)=limy-+(?(e-x+1)(e-y+1)F(y)=F(+8,y)=limF(x,y)=limn x.內(nèi) x-+?(e-x+1)(e-y+1)因?yàn)?e-x+1)(e-y+1)所以&，n相互獨(dú)立。例例中，對(duì)于第一次取出的白球數(shù)己和第二次取出的白球數(shù)n,已經(jīng)求得:（）有放回取球時(shí)，&,n）的聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布為（）無(wú)放回取球時(shí)，色,n）的聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布為在這兩種情況下，分別考慮己與n是否相互獨(dú)立。解（）有放回取球時(shí)，因?yàn)槭?0,n=0}= 0.36=0.6X0.6 = P{^=0}P[n=0}，P{^=0,n=1}= 0.24=0.6x0.4 = P{^=0}P{n=1}，P七=1,n=0}= 0.24=0.4X0.6 = P也=1}P{n=0}，P{^=1,n=1}= 0.16=0.4X0.4 = P也=1}P{n=1}，所以，己與n相互獨(dú)立。（）無(wú)放回取球時(shí)，因?yàn)镻{m=0,n=0}=0.3中0.6X0.6=P{m=0}P{n=0}，所以，己與n不相互獨(dú)立。例一個(gè)男孩和一個(gè)女孩約定晚上點(diǎn)到點(diǎn)在某地相會(huì)。設(shè)每人到達(dá)的時(shí)間是相互圖3-3獨(dú)立的，且到達(dá)時(shí)間服從這段時(shí)間上的均勻分布，求先到者要等待分鐘以上的概率。解設(shè)男孩來(lái)到的時(shí)間為點(diǎn)己分，女孩來(lái)到的時(shí)間為點(diǎn)n分，己和n是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從［0,60］上的均勻分布，概率密度分別為:0圖3-3獨(dú)立的，且到達(dá)時(shí)間服從這段時(shí)間上的均勻分布，求先到者要等待分鐘以上的概率。解設(shè)男孩來(lái)到的時(shí)間為點(diǎn)己分，女孩來(lái)到的時(shí)間為點(diǎn)n分，己和n是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從［0,60］上的均勻分布，概率密度分別為:0<x<60其他0<y<60其他因?yàn)榧号cn相互獨(dú)立，所以化,n）的聯(lián)合概率密度為f_1丫='叭x,y)二、(x即n(y)=j[60) 3600川 00<x<60,0<y<60其他根據(jù)題意，所求概率為-{1—n>10}+尸{n—己>10}。由對(duì)稱性可知，它等于2P{^—n>10}=2JJ①(x,y)dxdy=2JJ3600x一y>10 y<x—102dxdy360010-10dy= J60(x—10)dx=25360010 36例 設(shè)&,n）的聯(lián)合概率分布為求它們的和C=己+n的概率分布。解之的可能取值是，，n的可能取值是，，，容易看出，C=己+”的可能取值是，，，。p{Q=0}=p{m+n=0}=p{m=0,n=0}=0.2,p{Q=1}=尸憑+n=1}=p{m=0,n=1}+p{m=i,n=0}=0.1+0.3=0.4,p{C=2}=p{m+n=2}=p比=0,n=2}+p{m=1,n=1}=0.1+0.2=0.3,

p{C=3}=p{己+n=3}=p{己=1,n=2}=0.1。所以c=^+n的概率分布為C0 12 3P{C=z} 0.2 0.4 0.3 0.1k例 設(shè)隨機(jī)變量己，n相互獨(dú)立，己?仇”），n?b（n2M），證明CY+n?b(nJn2,P)。證由于己?bnjp）,n?bn2,p）,所以己，n的概率分布分別為P{己=i}=CiPi（1-P）n「 （i=0,1,2，…,n）n1 1和P{n=j}=Cjpj（1-p）n2-j（j=0,1,2，…，n）。

n2 2因?yàn)榧?，n相互獨(dú)立，所以由定理 可知，C=匕+n的概率分布為P{CP{C=k}=￡p{mi=0=i}P{n=k—i}=￡Cipi(1—p)n1-iCk-ipk-i(1—p)n2-k+in1i=0=￡CiCk-ipk(1—p)n1+n2-k=Ckpk(1—p)勺+n2-k (k=0,1,2，…，n+n