函數(shù)、方程、不等式以及它們的圖像

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念。函數(shù)的思想，就是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)，使問題得到解決。第一頁第二頁，共88頁。和函數(shù)有必然聯(lián)系的是方程，方程的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)的解就是函數(shù)也可以看作二元方程，通過方程進(jìn)行研究。第二頁第三頁，共88頁。，在x軸下方則是的作用還可以使動(dòng)態(tài)的y=f(x)的圖像上、下、左、右的移動(dòng)。不等式是函數(shù)與方程關(guān)系的一個(gè)更為廣泛的補(bǔ)充。函數(shù)y=f(x)圖像在x軸上方是。不等式第三頁第四頁，共88頁。函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡的目的。第四頁第五頁，共88頁。方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在：從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式，或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。第五頁第六頁，共88頁。圖像將使上述的思想具體化、形象化。它從幾何的角度描述問題的本質(zhì)、變化的規(guī)律，使數(shù)學(xué)問題更具有生命力。第六頁第七頁，共88頁。許多數(shù)學(xué)問題，不能簡單地歸結(jié)于函數(shù)、方程或是不等式，而是它們的綜合。通過解決這些數(shù)學(xué)問題，不僅是對(duì)我們數(shù)學(xué)知識(shí)掌握的考查，是對(duì)我們邏輯思維能力、形象思維能力、綜合解題能力、探索創(chuàng)新能力的考查，更重要的是讓我們體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間是如何相互聯(lián)系、相互滲透的，又是聯(lián)系滲透得那么驚人的深刻，那么意想不到的精彩。第七頁第八頁，共88頁。二、典型習(xí)題例題1、已知實(shí)數(shù)，，，求與的范圍。第八頁第九頁，共88頁。解：，且第九頁第十頁，共88頁。解：即a,b是一元二次方程的根，且兩根都大于c，令x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且都在又圖像開口向上的兩個(gè)不相等，則圖像與內(nèi)，第十頁第十一頁，共88頁。解：xyoc第十一頁第十二頁，共88頁。解：第十二頁第十三頁，共88頁。解：,,第十三頁第十四頁，共88頁。例題2、已知，求函數(shù)的最大值和最小值。第十四頁第十五頁，共88頁。解：建立方程組（兩式相乘并相減）由題意x，y不能同時(shí)為零，不妨設(shè)第十五頁第十六頁，共88頁。解：即為關(guān)于的一元二次方程，有實(shí)根第十六頁第十七頁，共88頁。例題3、設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，都有，且（1）求及；（2）證明f(x)是求。其圖像關(guān)于x=1對(duì)稱，對(duì)任意的周期函數(shù)；（3）已知第十七頁第十八頁，共88頁。解：（1）對(duì)任意的，都有類似地，

第十八頁第十九頁，共88頁。解：（2）已知f(x)圖像關(guān)于x=1對(duì)稱（，都有）有

第十九頁第二十頁，共88頁。解：又f(x)是R上的偶函數(shù)即f(x)是以2為周期的周期函數(shù)第二十頁第二十一頁，共88頁。解：（3）由（2）知2n也是f(x)的周期（把1分為2n個(gè)的和）第二十一頁第二十二頁，共88頁。解：第二十二頁第二十三頁，共88頁。例題4、已知集合M是滿足下列性質(zhì)的的全體：存在非零常數(shù)T，對(duì)任意，有成立。（2）設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像有公共點(diǎn)，證明：；（3）若函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。（1）函數(shù)是否屬于集合M？說明理由；第二十三頁第二十四頁，共88頁。解：（1）對(duì)于非零常數(shù)T，，由于對(duì)于任意的，不能恒成立，所以不屬于集合M。第二十四頁第二十五頁，共88頁。解：（2）由題意可知方程組有解顯然不是方程的解，所以存在非零常數(shù)T，使得第二十五頁第二十六頁，共88頁。解：對(duì)于，有第二十六頁第二十七頁，共88頁。解：（3）當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，已知對(duì)于任意恒成立存在非零常數(shù)T，對(duì)于任意有成立，即第二十七頁第二十八頁，共88頁。解：①當(dāng)時(shí)，恒成立，②當(dāng)時(shí)，恒成立由于x的任意性，則只有當(dāng)?shù)臅r(shí)候可能恒成立第二十八頁第二十九頁，共88頁。解：由①②可知，實(shí)數(shù)k的取值范圍是第二十九頁第三十頁，共88頁。例題5、函數(shù)在上有定義，且滿足時(shí)，有。（1）證明：在上是奇函數(shù)；第三十頁第三十一頁，共88頁。（2）對(duì)于數(shù)列，若，，試求：（3）求證：。；第三十一頁第三十二頁，共88頁。證明（1）：令令第三十二頁第三十三頁，共88頁。證明（1）：在上是奇函數(shù)；第三十三頁第三十四頁，共88頁。證明（2）：第三十四頁第三十五頁，共88頁。證明（2）：是以公比的等比數(shù)列為首項(xiàng)，2為第三十五頁第三十六頁，共88頁。證明（3）：由（2）第三十六頁第三十七頁，共88頁。證明（3）：證畢。第三十七頁第三十八頁，共88頁。例題6、已知，設(shè)P：函數(shù)單調(diào)遞減，Q：不等式的解集為R，如果P和Q有且僅有一個(gè)正確，在R上求c的取值范圍。第三十八頁第三十九頁，共88頁。解：P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減Q：不等式的解集為R函數(shù)在R上恒大于1第三十九頁第四十頁，共88頁。解：又當(dāng)函數(shù)在R上的最小值是2c，，即Q令第四十頁第四十一頁，共88頁。解：若P正確且Q不正確若P不正確且Q正確的取值范圍是。第四十一頁第四十二頁，共88頁。例題7、已知函數(shù)（1）若的定義域?yàn)榕袛嘣诙x域上的增減性，并用定時(shí)，使的值域?yàn)榈亩x區(qū)間請(qǐng)說明理由。。，義證明；（2）當(dāng)是否存在？第四十二頁第四十三頁，共88頁。解（1）：或，又

的定義域?yàn)閯t，第四十三頁第四十四頁，共88頁。解（1）：第四十四頁第四十五頁，共88頁。解（1）：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，時(shí)，，上是增函數(shù)當(dāng)函數(shù)在第四十五頁第四十六頁，共88頁。解（2）：由(1)可知，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，則由其值域?yàn)榈谒氖摰谒氖唔?，?8頁。解（2）：第四十七頁第四十八頁，共88頁。解（2）：則為方程的兩個(gè)根第四十八頁第四十九頁，共88頁。解（2）：方程有兩個(gè)大于3的不等實(shí)根，令第四十九頁第五十頁，共88頁。解（2）：xyo3第五十頁第五十一頁，共88頁。解（2）：當(dāng)時(shí)，存在這樣的區(qū)間；時(shí)，不存在這樣的區(qū)間。當(dāng)?shù)谖迨豁摰谖迨?，?8頁。

例題8、設(shè)函數(shù)和，已知時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。恒有第五十二頁第五十三頁，共88頁。

解：，對(duì)于恒成立，，令第五十三頁第五十四頁，共88頁。

解：表示以圓為的上半部分；，表示斜率為，截距為的平行直線系（a為參變量）；圓心，2為半徑的第五十四頁第五十五頁，共88頁。

解：xyo-2時(shí)，恒有的幾何意義為半圓恒在直線下方（如圖）第五十五頁第五十六頁，共88頁。

解：直線與半圓相切時(shí)，有（截距）第五十六頁第五十七頁，共88頁。

解：由圖可知，當(dāng)截距，即時(shí)，恒有，即恒有。第五十七頁第五十八頁，共88頁。例題9、已知拋物線和兩點(diǎn)直線交曲線C于第一象限內(nèi)的M、N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P是弦MN的中點(diǎn)，若直線BP與x軸交于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在A的左側(cè)，求直線MN的斜率k的取值范圍。，過點(diǎn)A作斜率為k的第五十八頁第五十九頁，共88頁。

解：（設(shè)直線MN的方程為由）第五十九頁第六十頁，共88頁。

解：設(shè)由（1）式直線方程為，令第六十頁第六十一頁，共88頁。

解：已知點(diǎn)Q在點(diǎn)左側(cè)即直線MN的斜率k的取值范圍是第六十一頁第六十二頁，共88頁。

例題10、已知對(duì)于任意的總過定點(diǎn)，求拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍。，拋物線第六十二頁第六十三頁，共88頁。

解：已知拋物線總過定點(diǎn)該方程對(duì)于任意的均成立第六十三頁第六十四頁，共88頁。

解：拋物線方程為第六十四頁第六十五頁，共88頁。

解：設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)令y=0第六十五頁第六十六頁，共88頁。

解：當(dāng)時(shí)，由第六十六頁第六十七頁，共88頁。

解：當(dāng)時(shí)，由當(dāng)時(shí)，第六十七頁第六十八頁，共88頁。

解：。綜上所述，對(duì)于任意的，而點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是,所以拋物線與第六十八頁第六十九頁，共88頁。是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，。(1)求在上的解析式；(2)證明在上是減函數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于x的不等式在內(nèi)的解集。例題11、第六十九頁第七十頁，共88頁。（1）解：，有則已知當(dāng)時(shí)，，第七十頁第七十一頁，共88頁。（1）解：第七十一頁第七十二頁，共88頁。（2）證：第七十二頁第七十三頁，共88頁。（2）證：即，在上是減函數(shù)。第七十三頁第七十四頁，共88頁。（3）解：由(2)可知時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于在上是減函數(shù)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根第七十四頁第七十五頁，共88頁。（3）解：(不合題意，舍去）第七十五頁第七十六頁，共88頁。（3）解：第七十六頁第七十七頁，共88頁。例題12、已知函數(shù)的圖像上有兩點(diǎn)、，且滿足，。第七十七頁第七十八頁，共88頁。（1）求證：（2）求證：的線段長的取值范圍是（3）問能否得出，中至少有一個(gè)為正數(shù)？請(qǐng)證明你的結(jié)論。；的圖像被x軸所截得；第七十八頁第七十九頁，共88頁。證明（1）：或?yàn)榉匠碳吹膶?shí)根第七十九頁第八十頁，共88頁。證明（1）：第八十頁第八十一頁，共88頁。證明（1）：，且第八十一頁第八十二頁，共88頁。證明（2）：設(shè)的兩