取線性反饋控制令得閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程

6.1.1可控性與可達性可控性定義：對式(6-1)所示系統(tǒng)，若可以找到控制序列u(k)，能在有限時間NT內(nèi)驅(qū)動系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)x(0)到達任意期望狀態(tài)x(N)=0，則稱該系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的（簡稱是可控的）?？蛇_性定義：對式(6-1)所示系統(tǒng)，若可以找到控制序列u(k)，能在有限時間NT內(nèi)驅(qū)動系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)x(0)到達任意期望狀態(tài)x(N)，則稱該系統(tǒng)是狀態(tài)完全可達的。離散系統(tǒng)：(6-1)第一頁1第二頁，共41頁。推導(dǎo)離散系統(tǒng)可控及可達應(yīng)滿足的條件1.可達性條件利用迭代法

(6-3)為使唯一存在，應(yīng)滿足下述充分必要條件：（1）x是n維向量，所以(6-3)必須是n維線性方程，故N=n。（2）必須滿足：依式(6-3)可得允許控制第二頁2第三頁，共41頁。推導(dǎo)離散系統(tǒng)可控及可達應(yīng)滿足的條件2.可控性條件(6-3)為使上述線性方程組有解，必須若F是可逆的，則或N=n可控陣系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充分必要條件可控性與可達性一致由于采樣系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣F=eAT可逆，故采樣系統(tǒng)的可達性與可控性一致。第三頁3第四頁，共41頁。6.1.2可觀性可觀性定義：對式(6-1)所示系統(tǒng)，如果可以利用系統(tǒng)輸出，在有限的時間NT內(nèi)確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)，則稱該系統(tǒng)是可觀的。系統(tǒng)的可觀性只與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及輸出信息的特性有關(guān)，與控制矩陣G無關(guān)，為此，以后可只研究系統(tǒng)的自由運動(6-6)：(6-6)離散系統(tǒng)：(6-1)第四頁4第五頁，共41頁。6.1.2可觀性可觀性定義：對式(6-6)所示系統(tǒng)，如果可以利用系統(tǒng)輸出，在有限的時間NT內(nèi)確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)，則稱該系統(tǒng)是可觀的。(6-6)離散系統(tǒng)：已知，為使x(0)有解，要求：(6-8)(1)式(6-8)代數(shù)方程組一定是n維的。(2)令k=n-1，則應(yīng)有其中可觀陣第五頁5第六頁，共41頁。6.1.3可控性及可觀性某些問題的說明1.系統(tǒng)組成部份S1:可控可觀部分S2:不可控及不可觀部分S3:可控不可觀部分S4:可觀不可控部分。系統(tǒng)脈沖傳函只反映了系統(tǒng)中可控可觀那部分狀態(tài)S1的特性。2.表示系統(tǒng)可控性及可觀性的另一種方式可以采用系統(tǒng)模態(tài)可控及可觀的表示方式。3.系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)不能全面反映系統(tǒng)特性的原因系統(tǒng)傳遞函數(shù)中發(fā)生了零點和極點相對消的現(xiàn)象。

圖6-3系統(tǒng)的分解第六頁6第七頁，共41頁。6.1.4采樣系統(tǒng)可控可觀性與采樣周期的關(guān)系對于采樣系統(tǒng)，不加證明給出下述結(jié)論：(1)若原連續(xù)系統(tǒng)是可控及可觀的，經(jīng)過采樣后，系統(tǒng)可控及可觀的充分條件是：對連續(xù)系統(tǒng)任意2個相異特征根λp、λq，下式應(yīng)成立：采樣對象：連續(xù)對象：若連續(xù)系統(tǒng)的特征根無復(fù)根時，則采樣系統(tǒng)必定是可控及可觀的。(2)若已知采樣系統(tǒng)是可控及可觀的，原連續(xù)系統(tǒng)一定也是可控及可觀的。第七頁7第八頁，共41頁。6.1離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的基本特性6.2狀態(tài)反饋控制律的極點配置設(shè)計6.3狀態(tài)觀測器設(shè)計6.4調(diào)節(jié)器設(shè)計（控制律與觀測器的組合）6.5控制系統(tǒng)最優(yōu)二次型設(shè)計第八頁8第九頁，共41頁。6.2.1狀態(tài)反饋控制根據(jù)(6-14)有結(jié)論：(1)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程由[F-GK]決定，系統(tǒng)的階次不改變。通過選擇狀態(tài)反饋增益K，可以改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(2)閉環(huán)系統(tǒng)的可控性由[F-GK]及G決定。可以證明，如開環(huán)系統(tǒng)可控，閉環(huán)系統(tǒng)也可控，反之亦然。(3)閉環(huán)系統(tǒng)的可觀性由[F-GK]及[C-DK]決定。如果開環(huán)系統(tǒng)是可控可觀的，加入狀態(tài)反饋控制，由于K的不同選擇，閉環(huán)系統(tǒng)可能失去可觀性。取線性反饋控制令，得閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程(6-14)(6-12)圖6-7狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第九頁9第十頁，共41頁。根據(jù)(6-14)有結(jié)論：(4)狀態(tài)反饋時閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為可見，狀態(tài)反饋增益矩陣K決定了閉環(huán)系統(tǒng)的特征根?？梢宰C明，如果系統(tǒng)是完全可控的，通過選擇K陣可以任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的特征根。(5)狀態(tài)反饋與閉環(huán)系統(tǒng)零點的關(guān)系

狀態(tài)反饋不能改變或配置系統(tǒng)的零點。第十頁10第十一頁，共41頁。6.2.2單輸入系統(tǒng)的極點配置基本思想:由系統(tǒng)性能要求確定閉環(huán)系統(tǒng)期望極點位置，然后依據(jù)期望極點位置確定反饋增益矩陣K。(本節(jié)主要討論單輸入系統(tǒng)的極點配置方法)

1.系數(shù)匹配法狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)特征方程閉環(huán)系統(tǒng)期望特征根為:閉環(huán)系統(tǒng)期望特征方程：對應(yīng)系數(shù)相等，得n個代數(shù)方程可求得n個未知系數(shù)第十一頁11第十二頁，共41頁。單輸入系統(tǒng)的極點配置2.Ackermann公式建立在可控標準型基礎(chǔ)上的一種計算反饋陣K的方法，對于高階系統(tǒng)，便于用計算機求解.

閉環(huán)系統(tǒng)期望特征方程：其中第十二頁12第十三頁，共41頁。3.使用極點配置方法的注意問題(1)系統(tǒng)完全可控是求解該問題的充分必要條件。若系統(tǒng)有不可控模態(tài)，利用狀態(tài)反饋不能移動該模態(tài)所對應(yīng)的極點。(2)實際應(yīng)用極點配置法時，首先應(yīng)把閉環(huán)系統(tǒng)期望特性轉(zhuǎn)化為z平面上的極點位置。(3)理論上，反饋增益，系統(tǒng)頻帶，快速性。

u(k)執(zhí)行元件飽和系統(tǒng)性能。實際要考慮到所求反饋增益物理實現(xiàn)的可能性

。(4)系統(tǒng)階次較低時，可以直接利用系數(shù)匹配法；系統(tǒng)階次較高時，應(yīng)依Ackermann公式，利用計算機求解。第十三頁13第十四頁，共41頁。6.2.3多輸入系統(tǒng)的極點配置對于n階系統(tǒng)，最多需要配置n個極點。單輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋增益K矩陣為1×n維，其中的n個元素可以由n個閉環(huán)特征值要求唯一確定。對于多輸入系統(tǒng)，K陣是m×n維，如果只給出n個特征值要求，K陣中有m×(n-1)個元素不能唯一確定，必須附加其他條件，如使‖K‖最小，得到最小增益陣；給出特征向量要求，使部分狀態(tài)量解耦等。事實上，對于多輸入多輸出系統(tǒng)，一般不再使用單純的極點配置方法設(shè)計，而常用如特征結(jié)構(gòu)配置、自適應(yīng)控制、最優(yōu)控制等現(xiàn)代多變量控制方法設(shè)計。第十四頁14第十五頁，共41頁。6.1離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的基本特性6.2狀態(tài)反饋控制律的極點配置設(shè)計6.3狀態(tài)觀測器設(shè)計6.4調(diào)節(jié)器設(shè)計（控制律與觀測器的組合）6.5控制系統(tǒng)最優(yōu)二次型設(shè)計第十五頁15第十六頁，共41頁。6.3.1系統(tǒng)狀態(tài)的開環(huán)估計狀態(tài)估計：圖6-10開環(huán)估計器結(jié)構(gòu)圖估計誤差：估計誤差狀態(tài)方程：(1)如果原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，那么觀測誤差將隨著時間的增加而發(fā)散；(2)如果F陣的模態(tài)收斂很慢，觀測值也不能很快收斂到的值，將影響觀測效果。(3)開環(huán)估計只利用了原系統(tǒng)的輸入信號，并沒有利用原系統(tǒng)可測量的輸出信號。第十六頁16第十七頁，共41頁。6.3.2全階狀態(tài)觀測器設(shè)計1.預(yù)測觀測器圖6-11閉環(huán)狀態(tài)估計器預(yù)估閉環(huán)觀測器方程估計誤差狀態(tài)方程：(6-35)觀測器設(shè)計的基本問題：要及時地求得狀態(tài)的精確估計值，也就是要使觀測誤差能盡快地趨于零或最小值。從式(6-35)可見，合理地確定增益L矩陣，可以使觀測器子系統(tǒng)的極點位于給定的位置，加快觀測誤差的收斂速度。

第十七頁17第十八頁，共41頁。觀測誤差產(chǎn)生的原因(1)構(gòu)造觀測器所用的模型參數(shù)與真實系統(tǒng)的參數(shù)不可能完全一致。(2)觀測器與對象的初始狀態(tài)很難一致。(3)外干擾→有穩(wěn)態(tài)誤差狀態(tài)觀測器極點配置的目的，使，而設(shè)一般第十八頁18第十九頁，共41頁。計算觀測器增益L方法一：系數(shù)匹配法觀測器期望特征多項式：方法二Ackermann公式計算法觀測器特征方程期望特征方程：對應(yīng)系數(shù)相等，得m個代數(shù)方程可求得m個未知系數(shù)其中：系統(tǒng)可觀陣(6-36)第十九頁19第二十頁，共41頁。6.3.2全階狀態(tài)觀測器設(shè)計2.現(xiàn)今值觀測器預(yù)估

估計誤差狀態(tài)方程：(6-41)觀測器極點的配置由[F

CF]的可觀性決定。分析表明，若[F

C]可觀，則[F

CF]必定也可觀。選擇反饋增益L亦可任意配置現(xiàn)今值觀測器的極點。觀測誤差

預(yù)測值得修正值圖6-12現(xiàn)今值觀測器第二十頁20第二十一頁，共41頁。圖6-13預(yù)測觀測器與現(xiàn)今值觀測器的區(qū)別現(xiàn)今值觀測器與預(yù)測觀測器比較主要差別：預(yù)測觀測器利用陳舊的y(k)測量值產(chǎn)生觀測值現(xiàn)今值觀測器利用當前測量值y(k+1)產(chǎn)生觀測值，進行計算控制作用。由于ε≠0，故現(xiàn)今值觀測器是不能準確實現(xiàn)的，但采用這種觀測器，仍可使控制作用的計算減少時間延遲，比預(yù)測觀測器更合理。預(yù)測估計器現(xiàn)今觀測器轉(zhuǎn)移矩陣可觀性可觀可觀利用的測量值計算時間ε≠0第二十一頁21第二十二頁，共41頁。6.3.3降維狀態(tài)觀測器假設(shè)系統(tǒng)有p個狀態(tài)可測，有q=n-p個狀態(tài)需要觀測維可測維需觀測系統(tǒng)狀態(tài)方程可直接測得動態(tài)方程輸出方程可直接測得降維系統(tǒng)觀測誤差方程:其中觀測器增益L的求法可以采用系數(shù)匹配法，也可以利用Ackermann公式。第二十二頁22第二十三頁，共41頁。6.1離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的基本特性6.2狀態(tài)反饋控制律的極點配置設(shè)計6.3狀態(tài)觀測器設(shè)計6.4調(diào)節(jié)器設(shè)計（控制律與觀測器的組合）6.5控制系統(tǒng)最優(yōu)二次型設(shè)計第二十三頁23第二十四頁，共41頁。6.4.1調(diào)節(jié)器設(shè)計分離原理被控對象圖6-14觀測器與控制律的組合反饋狀態(tài)預(yù)測觀測誤差的狀態(tài)方程組合系統(tǒng)方程特征方程第二十四頁24第二十五頁，共41頁。調(diào)節(jié)器設(shè)計分離原理:分離原理：控制規(guī)律與觀測器可以分開單獨設(shè)計，組合后各自的極點不變。

組合系統(tǒng)的特征方程組合系統(tǒng)的階次為2n，它的特征方程分別由觀測器及原閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程組成，反饋增益K只影響反饋控制系統(tǒng)的特征根，觀測器反饋增益L只影響觀測器系統(tǒng)特征根。圖6-14觀測器與控制律的組合第二十五頁25第二十六頁，共41頁。6.4.2調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的控制器把觀測器系統(tǒng)與控制規(guī)律組合起來，構(gòu)成控制器控制器狀態(tài)方程特征方程對SISO系統(tǒng)，控制器的輸入為測量輸出y(k)，輸出為u(k)圖6-14觀測器與控制律的組合第二十六頁26第二十七頁，共41頁。6.4.3控制律及觀測器極點選擇控制律的極點由系統(tǒng)期望特性確定。觀測器極點通常選擇觀測器極點的最大時間常數(shù)為控制系統(tǒng)最小時間常數(shù)的(1/2~1/4)，由此確定觀測器的反饋增益L。觀測器極點時間常數(shù)越小，觀測值可以更快地收斂到真實值，但要求反饋增益L越大。過大的增益L，將增大測量噪聲，降低觀測器平滑濾波的能力，增大了觀測誤差。若觀測器輸出與對象輸出十分接近，L的修正作用較小，則L可以取得小些。弱對象參數(shù)不準或?qū)ο笊系母蓴_使觀測值與真實值偏差較大，L應(yīng)取得大些。若測量值中噪聲干擾嚴重，則L應(yīng)取得小些。實際系統(tǒng)設(shè)計L時，最好的方法是采用較真實的模型(包括作用于對象上的干擾及測量噪聲)進行仿真研究第二十七頁27第二十八頁，共41頁。6.1離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的基本特性6.2狀態(tài)反饋控制律的極點配置設(shè)計6.3狀態(tài)觀測器設(shè)計6.4調(diào)節(jié)器設(shè)計（控制律與觀測器的組合）6.5控制系統(tǒng)最優(yōu)二次型設(shè)計第二十八頁28第二十九頁，共41頁。6.5.1概述最優(yōu)控制實質(zhì)：將尋求一種最優(yōu)控制策略，使某一性能指標最佳。最優(yōu)控制問題常被稱為“二次型最優(yōu)控制問題。離散系統(tǒng)代價函數(shù)：通常的性能指標（代價函數(shù)）：為使代價函數(shù)有意義，應(yīng)要求：S、Q至少是對稱半正定的，R是對稱正定的。有限時間最優(yōu)代價函數(shù)無限時間最優(yōu)代價函數(shù)是有限的

離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制存在第二十九頁29第三十頁，共41頁。6.5.2無限時間離散最優(yōu)二次型其中的S、Q對稱半正定的，R對稱正定最優(yōu)控制存在有限時間情況：代價函數(shù)最優(yōu)控制：為Riccati陣，滿足其中，有第三十頁30第三十一頁，共41頁。無限時間離散最優(yōu)二次型代價函數(shù)注意：N趨于無窮大時，并不是所有有限時間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題都有解。1.被控對象及代價函數(shù)應(yīng)滿足的條件：(1)被控對象（F

G）應(yīng)是完全可控或可穩(wěn)定的——穩(wěn)態(tài)解存在的必要條件。

(2)控制加權(quán)陣R是正定的，狀態(tài)加權(quán)陣Q也是正定的——解存在的充分條件。穩(wěn)態(tài)最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題此時Riccati方程的解為：最優(yōu)控制為常值反饋增益陣即有或?qū)懗桑旱谌豁?1第三十二頁，共41頁。2.二次型最優(yōu)穩(wěn)態(tài)調(diào)節(jié)器的特性(1)上述所得到的設(shè)計結(jié)果不僅可以用于SISO系統(tǒng)，也可以用于MIMO系統(tǒng)及時變系統(tǒng)。通過改變Q、R各元素相對比值可以很容易地改變系統(tǒng)響應(yīng)，協(xié)調(diào)系統(tǒng)響應(yīng)速度和控制信號模值之間的關(guān)系。(2)若Q、R是正定的，P亦是正定的。若Q是半正定的，且（F

D）對完全可觀，其中D滿足則在這種條件下也可以證明P是正定的。(3)對于無限時間的最優(yōu)控制，若Q半正定，R正定，可以證明最優(yōu)控制使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，同時還具有一定的相位穩(wěn)定裕度和增益穩(wěn)定裕度。(4)最優(yōu)控制閉環(huán)極點軌跡：二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器閉環(huán)極點與代價函數(shù)加權(quán)陣密切相關(guān)，加權(quán)變化時閉環(huán)極點隨之變化，形成閉環(huán)極點軌跡。第三十二頁32第三十三頁，共41頁。6.5.3采樣系統(tǒng)最優(yōu)二次型設(shè)計1.采樣系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題采樣系統(tǒng)特點：對象連續(xù)積分代價函數(shù)J最小不同于離散系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題尋求分段常值控制不可采用連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)器理論與結(jié)果思路：采樣系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題離散系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題第三十三頁33第三十四頁，共41頁。6.5.3采樣系統(tǒng)最優(yōu)二次型設(shè)計1.采樣系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題采樣區(qū)段內(nèi)，系統(tǒng)狀態(tài)