中國科學(xué)大學(xué)隨機(jī)過程（孫應(yīng)飛）復(fù)習(xí)題及答案

中國科學(xué)大學(xué)隨機(jī)過程（孫應(yīng)飛）復(fù)習(xí)題及答案中國科學(xué)大學(xué)隨機(jī)過程（孫應(yīng)飛）復(fù)習(xí)題及答案（1）設(shè)是一個(gè)實(shí)的零均值二階矩過程，其相關(guān)函數(shù)為，且是一個(gè)周期為的函數(shù)，即，求方差函數(shù)。解：由定義，有：（2）試證明：如果是一獨(dú)立增量過程，且，那么它必是一個(gè)馬爾可夫過程。證明：我們要證明：，有形式上我們有：因此，我們只要能證明在已知條件下，與相互獨(dú)立即可。由獨(dú)立增量過程的定義可知，當(dāng)時(shí)，增量與相互獨(dú)立，由于在條件和下，即有與相互獨(dú)立。由此可知，在條件下，與相互獨(dú)立，結(jié)果成立。（3）設(shè)隨機(jī)過程為零初值（）的、有平穩(wěn)增量和獨(dú)立增量的過程，且對每個(gè)，，問過程是否為正態(tài)過程，為什么？解：任取，則有：由平穩(wěn)增量和獨(dú)立增量性，可知并且獨(dú)立因此是聯(lián)合正態(tài)分布的，由可知是正態(tài)過程。（4）設(shè)為為零初值的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動過程，問次過程的均方導(dǎo)數(shù)過程是否存在？并說明理由。解：標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動的相關(guān)函數(shù)為：如果標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動是均方可微的，則存在，但是：故不存在，因此標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動不是均方可微的。（5）設(shè)，是零初值、強(qiáng)度的泊松過程。寫出過程的轉(zhuǎn)移函數(shù)，并問在均方意義下，是否存在，為什么？解：泊松過程的轉(zhuǎn)移率矩陣為：其相關(guān)函數(shù)為：，由于在，連續(xù)，故均方積分存在。在一計(jì)算系統(tǒng)中，每一循環(huán)具有誤差的概率與先前一個(gè)循環(huán)是否有誤差有關(guān)，以0表示誤差狀態(tài)，1表示無誤差狀態(tài)，設(shè)狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移矩陣為：試說明相應(yīng)齊次馬氏鏈?zhǔn)潜闅v的，并求其極限分布（平穩(wěn)分布）。解：由遍歷性定理可知此鏈?zhǔn)潜闅v的，極限分布為。（7）設(shè)齊次馬氏鏈一步轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：（a）寫出切普曼一柯爾莫哥洛夫方程（C—K方程）；（b）求步轉(zhuǎn)移概率矩陣；（c）試問此馬氏鏈?zhǔn)瞧椒€(wěn)序列嗎？為什么？解：（a）略（b）（c）此鏈不具遍歷性（8）設(shè)，其中為強(qiáng)度為的Poission過程，隨機(jī)變量與此Poission過程獨(dú)立，且有如下分布：問：隨機(jī)過程是否為平穩(wěn)過程？請說明理由。由于：故是平穩(wěn)過程。（9）設(shè)，其中與獨(dú)立，都服從（a）此過程是否是正態(tài)過程？說明理由。（b）求此過程的相關(guān)函數(shù)，并說明過程是否平穩(wěn)。證明：（a）任取，則有：由于與獨(dú)立，且都服從，因此可得服從正態(tài)分布，由上式可知隨機(jī)向量服從正態(tài)（高斯）分布，所以過程是正態(tài)（高斯）過程。（b）由：由于相關(guān)函數(shù)不是時(shí)間差的函數(shù)，因此此過程不是平穩(wěn)過程。（10）設(shè)，是零初值、強(qiáng)度的泊松過程。(a)求它的概率轉(zhuǎn)移函數(shù);(b)令，說明存在，并求它的二階矩。解：(a)先求相關(guān)函數(shù)：對任意的，在處連續(xù)，故均方連續(xù)，因此均方可積，存在。將代入計(jì)算積分即可。由，得：(11)設(shè)一口袋中裝有三種顏色(紅、黃、白)的小球，其數(shù)量分別為3、4、3?，F(xiàn)在不斷地隨機(jī)逐一摸球，有放回，且視摸出球地顏色計(jì)分：紅、黃、白分別計(jì)1、0、-1分。第一次摸球之前沒有積分。以表示第次取出球后的累計(jì)積分，(a)，是否齊次馬氏鏈？說明理由。如果不是馬氏鏈，寫出它的有窮維分布函數(shù)族；如果是，寫出它的一步轉(zhuǎn)移概率和兩步轉(zhuǎn)移概率。令，求。解：(a)是齊次馬氏鏈。由于目前的積分只與最近一次取球后的積分有關(guān)，因此此鏈具有馬氏性且是齊次的。狀態(tài)空間為：。(b)即求首達(dá)概率，注意畫狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖。(12)考察兩個(gè)諧波隨機(jī)信號和，其中：式中和為正的常數(shù)；是內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。(a)求的均值、方差和相關(guān)函數(shù)；(b)若與獨(dú)立，求與的互相關(guān)函數(shù)。解：(a)，(b)(13)令諧波隨機(jī)信號：式中為固定的實(shí)數(shù)；是內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，考察兩種情況：幅值為一固定的正實(shí)數(shù)；幅值為一與獨(dú)立，分布密度函數(shù)為的隨機(jī)變量；試問諧波隨機(jī)信號在兩種情況下是平穩(wěn)的嗎？(a)如12題(b)略(14)設(shè)是一強(qiáng)度為的Poission過程，記，試求隨機(jī)過程的均值和相關(guān)函數(shù)。解：利用導(dǎo)數(shù)過程相關(guān)函數(shù)與原過程相關(guān)函數(shù)的關(guān)系即可得：(15)研究下列隨機(jī)過程的均方連續(xù)性，均方可導(dǎo)性和均方可積性。當(dāng)均方可導(dǎo)時(shí)，試求均方導(dǎo)數(shù)過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。(a)，其中是相互獨(dú)立的二階矩隨機(jī)變量，均值為，方差為；(b)，其中是相互獨(dú)立的二階矩隨機(jī)變量，均值為，方差為。略(16)求下列隨機(jī)過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)，從而判定其均方連續(xù)性和均方可微性。，其中是參數(shù)為1的Wienner過程。,其中是參數(shù)為的Wienner過程。解：(a)連續(xù)，故均方連續(xù)，均方可積。（b）均方連續(xù)，均方可積。（17）討論Wienner過程和Poission過程的均方連續(xù)性、均方可導(dǎo)性和均方可積性。解：略。（18）設(shè)有平穩(wěn)隨機(jī)過程，它的相關(guān)函數(shù)為，其中為常數(shù)，求（為常數(shù)）的自協(xié)方差函數(shù)和方差函數(shù)。解：略。（19）設(shè)有實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，它的均值為零，相關(guān)函數(shù)為，若，求的自協(xié)方差函數(shù)和方差函數(shù)解：（20）設(shè)和是參數(shù)分別為和的時(shí)齊Poission過程，證明在的任一到達(dá)時(shí)間間隔內(nèi)，恰有個(gè)事件發(fā)生的概率為：證明：令為的任一到達(dá)時(shí)間間隔并且，即的分布密度為：由此可知：（21）設(shè)隨機(jī)振幅、隨機(jī)相位正弦波過程，其中隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且有分布：令：試求過程的均值函數(shù)。解：由定義，隨機(jī)過程的均值函數(shù)為：而由于當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量的分布密度為：因此有：即：（22）設(shè)有一泊松過程，固定兩時(shí)刻，且，試證明證明：由于，有其中所以（23）設(shè)為零均值的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，和為兩個(gè)待定的正常數(shù)()，問在什么情況下仍為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動？說明理由。解：由為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動可知為正態(tài)過程，由正態(tài)分布的性質(zhì)可知為正態(tài)過程，令，則有因此，要使仍為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動，必須，即：(24)設(shè)有無窮多只袋子，各裝有紅球只，黑球只及白球只。今從第1個(gè)袋子隨機(jī)取一球，放入第2個(gè)袋子，再從第2個(gè)袋子隨機(jī)取一球，放入第3個(gè)袋子，如此繼續(xù)。令(a)試求的分布；(b)試證為馬氏鏈，并求一步轉(zhuǎn)移概率。解：(a)的分布為：(b)的一步轉(zhuǎn)移概率為：(25)設(shè)有隨機(jī)過程，與是相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，期望均為0，方差分別為和。證明過程均方可導(dǎo)，并求導(dǎo)過程的相關(guān)函數(shù)。證明：計(jì)算得：由于相關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：它是一連續(xù)函數(shù)，因此過程均方可導(dǎo)，導(dǎo)過程的相關(guān)函數(shù)由上式給出。(26)設(shè)是初值為零標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動過程，試求它的概率轉(zhuǎn)移密度函數(shù)。解：由標(biāo)準(zhǔn)維納過程的定理：設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)維納過程，則對任意，的聯(lián)合分布密度為：其中：可知：當(dāng)時(shí)，的聯(lián)合分布密度為：的分布密度為：因此(27)設(shè)有微分方程，初值為常數(shù)，是標(biāo)準(zhǔn)維納過程，求隨機(jī)過程在時(shí)刻的一維概率密度。解：方程的解：由于為維納過程，故為正態(tài)過程，因此有：

故的一維概率密度為：（28）設(shè)給定隨機(jī)過程及實(shí)數(shù)，定義隨機(jī)過程試將的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)用過程的一維和二維分布函數(shù)來表示。解：由均值函數(shù)的定義，有：由自相關(guān)函數(shù)的定義，有：（29）設(shè)是一個(gè)零均值的平穩(wěn)過程，而且不恒等于一個(gè)隨機(jī)變量，問是否仍為平穩(wěn)過程，為什么？不是平穩(wěn)過程（30）設(shè)為平穩(wěn)過程，其自相關(guān)函數(shù)是以為周期的函數(shù)，證明：是周期為的平穩(wěn)過程。證明：由于由切比雪夫不等式有：由相關(guān)函數(shù)的周期性，可知：對于，有：因此即是周期為的平穩(wěn)過程。以下資料為贈送資料：因此即是周期為的平穩(wěn)過程。以下資料為贈送資料：《滴水之中見精神》主題班會教案活動目的：教育學(xué)生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個(gè)人都要保護(hù)它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。活動過程：1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個(gè)謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”主持人口述謎語：“雙手抓不起，一刀劈不開，煮飯和洗衣，都要請它來?！敝鞒秩藛枺骸罢l知道這是什么？”生答：“水！”一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學(xué)們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。水說：“同學(xué)們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！奔祝喝绻麤]有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的?；ㄕf：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻(xiàn)了。主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》竹板一敲來說話，水的用處真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。主持人：同學(xué)們，聽完了這個(gè)快板，你們說水的用處大不大？甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。2?主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？(生)：我要節(jié)約用水，保護(hù)水源。(生)：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。(生)：前幾天，我看到了學(xué)校電視里轉(zhuǎn)播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學(xué)們看得可認(rèn)真了，知道了我們北京是個(gè)缺水城市，我們再不能浪費(fèi)水了。(生)：我要用洗腳水沖廁所。3?主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點(diǎn)掌聲。(生)：小明讓爸爸刷車時(shí)把水龍頭開小點(diǎn)，請回答對不對。(生)：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。一生跑上說：主持人請把手機(jī)借我用用好嗎？我想現(xiàn)在就給姥姥打個(gè)電話，告訴她做飯時(shí)別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。(電話內(nèi)容略寫)一生說：主持人我們想給大家表演一個(gè)小品行嗎？主持人：可以，大家歡迎！請看小品《這又不是我家的》大概意思是：學(xué)校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學(xué)生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關(guān)水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的?！迸园祝骸澳怯质钦l家的呢？”主持人：看完這個(gè)小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？甲：剛才三個(gè)同學(xué)太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應(yīng)該把水龍頭關(guān)上。乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關(guān)就主動關(guān)上了。主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發(fā)現(xiàn)水龍頭沒關(guān)會怎樣做呢？齊：主動關(guān)好。小記者：同學(xué)們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會，我想采訪一下，行嗎？主持人：可以。小記者：這位同學(xué)，你好！通過參加今天的班會你有什么想法，請談?wù)労脝?？答：我要做?jié)水的主人，不浪費(fèi)一滴水。小記者：請這位同學(xué)談?wù)労脝?？答：今天參加班會我知道了?jié)約每一滴水要從我們每個(gè)人做起。我想把每個(gè)廁所都貼上“節(jié)約用水”的字條，這樣就可以提醒同學(xué)們節(jié)約用水了。小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務(wù)先走了，同學(xué)們再見！水跑上來說：同學(xué)們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請你們今后一定節(jié)約用水呀！讓人類和動物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你們還有發(fā)言的嗎？答：有。生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節(jié)約用水就等于保護(hù)我們?nèi)祟愖约?。動物：小熊上場說：我代表動物家族謝謝你了，我們也會保護(hù)你的！花草樹木跑上場說：我們也不會忘記你的貢獻(xiàn)！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學(xué)們的笑聲不斷。主持人：水伯伯，您這是干什么呢？水伯伯：因?yàn)槲姨吲d了，今后還請你們多關(guān)照我呀！主持人：水伯伯，請放心，今后我們一定會做得更好！再見！4?主持人：大家歡迎老師講話！同學(xué)們，今天我們召開的班會非常生動，非常有意義。水是生命之源，無比珍貴，愿同學(xué)們能加倍珍惜它，做到節(jié)約一滴水，造福子孫后代。5?主持人宣布：“水”是萬物之源主題班會到此結(jié)束。6.活動效果：此次活動使學(xué)生明白了節(jié)約用水的道理，浪費(fèi)水的現(xiàn)象減少了，宣傳節(jié)約用水的人增多了，人人爭做節(jié)水小標(biāo)兵以下資料為贈送資料：《滴水之中見精神》主題班會教案活動目的：教育學(xué)生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個(gè)人都要保護(hù)它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代?；顒舆^程：1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個(gè)謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”主持人口述謎語：“雙手抓不起，一刀劈不開，煮飯和洗衣，都要請它來。”主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學(xué)們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。水說：“同學(xué)們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！奔祝喝绻麤]有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的?；ㄕf：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻(xiàn)了。主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》竹板一敲來說話，水的用處真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。主持人：同學(xué)們，聽完了這個(gè)快板，你們說水的用處大不大？甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。2?主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？(生)：我要節(jié)約用水，保護(hù)水源。(生)：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。(生)：前幾天，我看到了學(xué)校電視里轉(zhuǎn)播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學(xué)們看得可認(rèn)真了，知道了我們北京是個(gè)缺水城市，我們再不能浪費(fèi)水了。(生)：我要用洗腳水沖廁所。3?主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點(diǎn)掌聲。(生)：小明讓爸爸刷車時(shí)把水龍頭開小點(diǎn)，請回答對不對。(生)：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。一生跑上說：主持人請把手機(jī)借我用用好嗎？我想現(xiàn)在就給姥姥打個(gè)電話，告訴她做飯時(shí)別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。(電話內(nèi)容略寫)一生說：主持人我們想給大家表演一個(gè)小品行嗎？主持人：可以，大家歡迎！請看小品《這又不是我家的》大概意思是：學(xué)校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學(xué)生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關(guān)水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的?！迸园祝?/p>