第四章-連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析課件

時域分析，以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)之和；yzs(t)=h(t)*f(t)。本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號ejωt為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和（對于周期信號）或積分（對于非周期信號）。

用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率，故稱為頻域分析。第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析1時域分析，以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號

從本章開始由時域轉(zhuǎn)入變換域分析。首先討論傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開，進而引出傅里葉變換。周期信號--傅里葉級數(shù)和傅里葉變換非周期信號—傅里葉變換第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析2從本章開始由時域轉(zhuǎn)入變換域分析。第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分發(fā)展歷史1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論時發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。進入20世紀以后，濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進一步應(yīng)用開辟了廣闊的前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點?！癋FT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析3發(fā)展歷史1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1信號分解為正交函數(shù)4.2傅里葉級數(shù)4.3周期信號的頻譜4.4非周期信號的頻譜——傅里葉變換4.5傅里葉變換的性質(zhì)4.6周期信號的傅里葉變換4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析4.8取樣定理4第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1信號分解為正交函數(shù)44.1信號分解為正交函數(shù)一、矢量正交與正交分解矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)與Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定義：其內(nèi)積為0。即信號分解為正交函數(shù)的原理與矢量分解為正交矢量的概念相似。4.1信號分解為正交函數(shù)54.1信號分解為正交函數(shù)一、矢量正交與正交分解矢量Vx4.1信號分解為正交函數(shù)由兩兩正交的矢量組成的矢量集合---稱為正交矢量集如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個正交矢量集。例如對于一個三維空間的矢量A=(2，5，8)，可以用一個三維正交矢量集{vx，vy，vz}分量的線性組合表示。即

A=vx+2.5vy+4vz

矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間，在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。64.1信號分解為正交函數(shù)由兩兩正交的矢量組成的矢量集合-4.1信號分解為正交函數(shù)二、信號正交與正交函數(shù)集1.定義：

定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個函數(shù)

1(t)和

2(t),若滿足(兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱

1(t)和

2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。2.正交函數(shù)集：

若n個函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)構(gòu)成一個函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集。74.1信號分解為正交函數(shù)二、信號正交與正交函數(shù)集1.定4.1信號分解為正交函數(shù)3.完備正交函數(shù)集：

如果在正交函數(shù)集{

1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在函數(shù)φ(t)(≠0）滿足則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}和虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集。(i=1，2，…，n)84.1信號分解為正交函數(shù)3.完備正交函數(shù)集：如果在正4.1信號分解為正交函數(shù)三、信號的正交分解設(shè)有n個函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為f(t)≈C1

1+C2

2+…+Cn

n

如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為94.1信號分解為正交函數(shù)三、信號的正交分解設(shè)有n個函數(shù)4.1信號分解為正交函數(shù)為使上式最小展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項不為0，寫為即所以系數(shù)104.1信號分解為正交函數(shù)為使上式最小展開上式中的被積函數(shù)4.1信號分解為正交函數(shù)代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過程見教材）在用正交函數(shù)去近似f(t)時，所取得項數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)n→∞時（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時有上式稱為(Parseval)巴塞瓦爾公式，表明：在區(qū)間(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。函數(shù)f(t)在區(qū)間(t1,t2)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和114.1信號分解為正交函數(shù)代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過程見對周期信號而言，在滿足狄里赫利(Dirichlet)條件的情況下，所展開的無窮級數(shù)稱為傅里葉級數(shù)。展開的無窮級數(shù)為三角函數(shù)，稱為：三角形傅里葉級數(shù)。展開的無窮級數(shù)為指數(shù)形式，稱為：指數(shù)形傅里葉級數(shù)。狄里赫利(Dirichlet)條件條件1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應(yīng)是有限個。條件2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個。條件3:在一周期內(nèi)，信號絕對可積。4.2傅里葉級數(shù)4.2傅里葉級數(shù)12對周期信號而言，在滿足狄里赫利(Dirichlet)條件的情4.2傅里葉級數(shù)一、傅里葉級數(shù)的三角形式設(shè)周期信號f(t)，其周期為T，角頻率

=2

/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數(shù)——稱為f(t)的傅里葉級數(shù)

系數(shù)an,bn稱為傅里葉系數(shù)

可見，an是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)。直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度134.2傅里葉級數(shù)一、傅里葉級數(shù)的三角形式設(shè)周期信號f(t4.2傅里葉級數(shù)式中，A0=a0上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。其中，A0/2為直流分量；A1cos(

t+

1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同；A2cos(2

t+

2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(n

t+

n)稱為n次諧波?？梢夾n是n的偶函數(shù)，

n是n的奇函數(shù)。an=Ancos

n，bn=–Ansin

n，n=1,2,…將上式同頻率項合并，可寫為144.2傅里葉級數(shù)式中，A0=a0上式表明，周期信號可4.2傅里葉級數(shù)二、波形的對稱性與諧波特性1.f(t)為偶函數(shù)——對稱縱坐標bn=0，展開為余弦級數(shù)。2.f(t)為奇函數(shù)——對稱于原點an=0，展開為正弦級數(shù)。實際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即f(t)=fod(t)+fev(t)由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以154.2傅里葉級數(shù)二、波形的對稱性與諧波特性1.f(t)4.2傅里葉級數(shù)3.f(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=–f(t±T/2)此時其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=0164.2傅里葉級數(shù)3.f(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=三、周期信號的對稱性與付立葉系數(shù)的關(guān)系。FF4.2傅里葉級數(shù)17三、周期信號的對稱性與付立葉系數(shù)的關(guān)系。FF4.2傅里葉解:4.2傅里葉級數(shù)18解:4.2傅里葉級數(shù)184.2傅里葉級數(shù)194.2傅里葉級數(shù)194.2傅里葉級數(shù)204.2傅里葉級數(shù)204.2傅里葉級數(shù)214.2傅里葉級數(shù)214.2傅里葉級數(shù)224.2傅里葉級數(shù)22周期信號的傅里葉級數(shù)的項數(shù)愈多，即諧波分量愈多，合成波形越接近原始波形，波形的邊緣愈陡峭。頻率較低的諧波振幅較大，是組成原始波形的主體；頻率較高的諧波振幅較小，主要影響波形的細節(jié)。4.2傅里葉級數(shù)23周期信號的傅里葉級數(shù)的項數(shù)愈多，即諧波分量愈多，合成波形越接波形變化愈劇烈，高頻分量愈豐富；波形變化愈緩慢，低頻分量愈豐富。在間斷點附近，隨著合成波形所含諧波分量的增高，合成波形的尖峰愈靠近間斷點，但尖峰幅度并未明顯減小。即時所含諧波次數(shù)趨于∞時，間斷點附近仍有9%的偏差。這種現(xiàn)象稱為吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象。4.2傅里葉級數(shù)24波形變化愈劇烈，高頻分量愈豐富；4.2傅里葉級數(shù)24解:4.2傅里葉級數(shù)25解:4.2傅里葉級數(shù)254.2傅里葉級數(shù)264.2傅里葉級數(shù)26解:4.2傅里葉級數(shù)27解:4.2傅里葉級數(shù)274.2傅里葉級數(shù)284.2傅里葉級數(shù)284.2傅里葉級數(shù)294.2傅里葉級數(shù)29解:4.2傅里葉級數(shù)30解:4.2傅里葉級數(shù)304.2傅里葉級數(shù)314.2傅里葉級數(shù)31三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪胏osx=(ejx+e–jx)/24.2傅里葉級數(shù)32三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，4.2傅里葉級數(shù)上式中第三項的n用–n代換，A–n=An，

–n=–

n，則上式寫為令所以334.2傅里葉級數(shù)上式中第三項的n用–n代換，A–n=A4.2傅里葉級數(shù)令復(fù)數(shù)稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。n=0,±1,±2，…表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。F0=A0為直流分量。344.2傅里葉級數(shù)令復(fù)數(shù)稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)4.2傅里葉級數(shù)四、周期信號的功率——Parseval等式（帕賽瓦爾定理）周期信號一般是功率信號，其平均功率為周期信號的平均功率等于傅里葉級數(shù)展開各諧波分量有效值的平方和，即時域和頻域的能量守恒。354.2傅里葉級數(shù)四、周期信號的功率——Parseval等4.3周期信號的頻譜4.3周期信號的頻譜及特點一、信號頻譜的概念 信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將An~ω和

n~ω的關(guān)系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為n≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Fn|~ω和

n~ω的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實數(shù)，幅度譜和相位譜可畫在一幅圖上。正值代表的相位為0，負值代表的相位為。364.3周期信號的頻譜4.3周期信號的頻譜及特點一、信4.3周期信號的頻譜例：周期信號f(t)=試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率Ω，畫出它的單邊頻譜圖，并求f(t)的平均功率。解首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達式，即顯然1是該信號的直流分量。的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24，基波角頻率Ω=2π/T=π/12根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為P=374.3周期信號的頻譜例：周期信號f(t)=解4.3周期信號的頻譜是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次諧波分量；是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次諧波分量；畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖384.3周期信號的頻譜是f(t)的[π/4]/[π/124.3周期信號的頻譜二、周期信號頻譜的特點舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為

的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數(shù)）394.3周期信號的頻譜二、周期信號頻譜的特點舉例：有一幅度4.3周期信號的頻譜,n=0,±1，±2，…Fn為實數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。設(shè)T=4τ畫圖。零點為所以，m為整數(shù)。404.3周期信號的頻譜,n=0,±1，±2，…F特點：

(1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性，兩譜線間為。譜線位置是基頻Ω的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。(3)周期矩形脈沖信號包含無限多條譜線，可分解為無限多個頻率分量。但分量幅度隨頻率增高而減小。信號能量主要集中在第一個零點內(nèi)。通常把這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號的頻帶寬度，用符號B表示。

4.3周期信號的頻譜41特點：4.3周期信號的頻譜414.3周期信號的頻譜424.3周期信號的頻譜424.3周期信號的頻譜譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系(a)T一定，

變小，信號帶寬變寬，頻帶所含分量增多。(b)

一定，T增大，間隔

減小，頻譜變密。幅度減小。如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。

434.3周期信號的頻譜譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系(a)T4.4傅里葉變換4.4非周期信號的頻譜—傅里葉變換一、傅里葉變換非周期信號f(t)可看成是周期T→∞時的周期信號。前已指出當(dāng)周期T趨近于無窮大時，譜線間隔

趨近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令(單位頻率上的頻譜）稱F(jω)為頻譜密度函數(shù)。444.4傅里葉變換4.4非周期信號的頻譜—傅里葉變換一4.4傅里葉變換考慮到：T→∞，Ω→無窮小，記為dω；nΩ→ω（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而同時，∑→∫于是，傅里葉變換式“-”傅里葉反變換式F(jω)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。f(t)稱為F(jω)的傅里葉反變換或原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級數(shù)454.4傅里葉變換考慮到：T→∞，Ω→無窮小，記為dω；同4.4傅里葉變換也可簡記為F(jω)=F[f(t)]f(t)=F

–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)F(jω)一般是復(fù)函數(shù)，寫為F(jω)=|F(jω)|ej

(ω)=R(ω)+jX(ω)說明(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴格的數(shù)學(xué)步驟。可證明，函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的充分條件:(2)用下列關(guān)系還可方便計算一些積分464.4傅里葉變換也可簡記為F(jω)=F[f4.4傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換單邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–

tε(t)，

>0實數(shù)2.雙邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–

t

,

>0474.4傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換單邊指數(shù)函數(shù)f(4.4傅里葉變換3.門函數(shù)(矩形脈沖)4.沖激函數(shù)(t)、′(t)484.4傅里葉變換3.門函數(shù)(矩形脈沖)4.沖激函數(shù)4.4傅里葉變換5.常數(shù)1有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，

(t)等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。

可構(gòu)造一函數(shù)序列{fn(t)}逼近f

(t)，即而fn(t)滿足絕對可積條件，并且{fn(t)}的傅里葉變換所形成的序列{Fn(j

)}是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F

(j

)為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。494.4傅里葉變換5.常數(shù)1有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一4.4傅里葉變換構(gòu)造f

(t)=e-

t

，

>0←→所以又因此，1←→2()

另一種求法：(t)←→1代入反變換定義式，有將→t，t→-

再根據(jù)傅里葉變換定義式，得504.4傅里葉變換構(gòu)造f(t)=e-t，>6.符號函數(shù)4.4傅里葉變換7.階躍函數(shù)(t)516.符號函數(shù)4.4傅里葉變換7.階躍函數(shù)(t)514.4傅里葉變換歸納記憶：1.F變換對2.常用函數(shù)F變換對：δ(t)ε(t)e-

t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)e–

|t|112πδ(ω)524.4傅里葉變換歸納記憶：1.F變換對2.常用函4.5傅里葉變換的性質(zhì)4.5傅里葉變換的性質(zhì)一、線性(LinearProperty)Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)thenProof:

F[af1(t)+bf2(t)]=[aF1(jω)+bF2(jω)][af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]534.5傅里葉變換的性質(zhì)4.5傅里葉變換的性質(zhì)一、線性4.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample

F(jω)=?Ans:f

(t)=f1(t)–g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)∴F(jω)=2πδ(ω)-2Sa(ω)‖-544.5傅里葉變換的性質(zhì)ForexampleF(jω4.5傅里葉變換的性質(zhì)二、對稱性質(zhì)(SymmetricalProperty)Iff(t)←→F(jω)thenProof:（1）in(1)t→ω，ω→tthen（2）in(2)ω→-ωthen∴F(jt)←→2πf(–ω)endF(jt)←→2πf(–ω)554.5傅里葉變換的性質(zhì)二、對稱性質(zhì)(Symmetrica4.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample←→F(jω)=?Ans:ifα=1,∴*ifF(jω)=?564.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample←→F(j4.5傅里葉變換的性質(zhì)三、時移性質(zhì)(TimeshiftingProperty)Iff(t)←→F(jω)thenwhere“t0”isrealconstant.Proof:F[f(t–t0)]574.5傅里葉變換的性質(zhì)三、時移性質(zhì)(Timeshifti4.5傅里葉變換的性質(zhì)ForexampleF(jω)=?Ans:

f1(t)=g6(t-5),

f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴F(jω)=‖+584.5傅里葉變換的性質(zhì)ForexampleF(j4.5傅里葉變換的性質(zhì)四、頻移性質(zhì)(FrequencyShiftingProperty)Iff(t)←→F(jω)thenProof:where“ω0”isrealconstant.F[ejω0t

f(t)]=F[j(ω-ω0)]endForexample1f(t)=ej3t←→F(jω)=?Ans:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)594.5傅里葉變換的性質(zhì)四、頻移性質(zhì)(Frequency4.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample2f(t)=cosω0t

←→F(jω)=?Ans:F(jω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]Forexample3Giventhatf(t)←→F(jω)Themodulatedsignalf(t)cosω0t←→?

604.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample2f(t4.5傅里葉變換的性質(zhì)五、尺度變換性質(zhì)(ScalingTransformProperty)Iff(t)←→F(jω)thenwhere“a”isanonzerorealconstant.Proof:F[f(at)]=Fora>0,F[f(at)]fora<0,F[f(at)]Thatis,f(a

t)←→Also,lettinga=-1,f(-t)←→F(-jω)614.5傅里葉變換的性質(zhì)五、尺度變換性質(zhì)(Scaling4.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample1Giventhatf(t)←→F(jω),findf(at–b)←→?Ans:

f(t–b)←→e-jωb

F(jω)f(at–b)←→orf(at)←→f(at–b)=624.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample1Giv4.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample2f(t)=←→F(jω)=?Ans:Usingsymmetry,usingscalingpropertywitha=-1,sothat,634.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample2f(t4.5傅里葉變換的性質(zhì)六、卷積性質(zhì)(ConvolutionProperty)Convolutionintimedomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)Convolutioninfrequencydomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)644.5傅里葉變換的性質(zhì)六、卷積性質(zhì)(Convolutio4.5傅里葉變換的性質(zhì)Proof:

F[f1(t)*f2(t)]=UsingtimeshiftingSothat,

F[f1(t)*f2(t)]==F1(jω)F2(jω)654.5傅里葉變換的性質(zhì)Proof:F[f1(t)*4.5傅里葉變換的性質(zhì)ForexampleAns:Usingsymmetry,664.5傅里葉變換的性質(zhì)ForexampleAns:Us4.5傅里葉變換的性質(zhì)七、時域的微分和積分(DifferentiationandIntegrationintimedomain)Iff(t)←→F(jω)thenProof:f(n)(t)=

(n)(t)*f(t)←→(jω)nF(jω)f(-1)(t)=

(t)*f(t)←→674.5傅里葉變換的性質(zhì)七、時域的微分和積分Iff4.5傅里葉變換的性質(zhì)f(t)=1/t2←→?Forexample1Ans:684.5傅里葉變換的性質(zhì)f(t)=1/t2←→?For4.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample2Giventhatf

(t)←→F1(jω)Prooff(t)←→F1(jω)+[f(-∞)+f(∞)]()ProofSoSummary:if

f(n)(t)←→Fn(jω)，andf(-∞)+f(∞)=0Thenf(t)←→F

(jω)=Fn(jω)/(jω)n694.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample2Give4.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample3Determinef(t)←→F

(jω)Ans:f”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)F2(jω)=F[f”(t)]=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2F

(jω)=Notice:dε(t)/dt=(t)←→1ε(t)←×→1/(jω)704.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample3Dete4.5傅里葉變換的性質(zhì)八、頻域的微分和積分(DifferentiationandIntegrationinfrequencydomain)Iff(t)←→F(jω)then(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)whereForexample1Determinef(t)=tε(t)←→F

(jω)=?Ans:714.5傅里葉變換的性質(zhì)八、頻域的微分和積分Iff4.5傅里葉變換的性質(zhì)Notice:tε(t)=ε(t)*ε(t)←→It’swrong.Because

(

)

(

)and(1/j

)

(

)isnotdefined.Forexample2DetermineAns:724.5傅里葉變換的性質(zhì)Notice:tε(t)九、帕斯瓦爾關(guān)系(自學(xué))(Parseval’sRelationforAperiodicSignals)Proof|F(jω)|2isreferredtoastheenergy-densityspectrumoff(t).單位頻率上的頻譜(能量密度譜）J·s4.5傅里葉變換的性質(zhì)73九、帕斯瓦爾關(guān)系(自學(xué))Proof|F(jω)|2isrForexampleDeterminetheenergyofAns:4.5傅里葉變換的性質(zhì)74ForexampleDeterminetheenerg4.5傅里葉變換的性質(zhì)十、奇偶性(Parity)(自學(xué))Iff(t)isreal,then=R(ω)+jX(ω)SothatR(ω)=R(–ω),X(ω)=–X(–ω)|F(jω)|=|F(–jω)|,

(ω)=–

(–ω)(2)Iff(t)=f(-t),thenX(ω)=0,F(jω)=R(ω)Iff(t)=-f(-t),thenR(ω)=0,F(jω)=jX(ω)754.5傅里葉變換的性質(zhì)十、奇偶性(Parity)(自學(xué))4.6周期信號的傅里葉變換4.6周期信號傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換1←→2πδ(ω)由頻移特性得ejω0t←→2πδ(ω–ω0)e–jω0t←→2πδ(ω+ω0)cos(ω0t)=?(ejω0t+e–jω0t)←→π[δ(ω–ω0)+δ(ω+ω0)]sin(ω0t)=

(ejω0t-e–jω0t)/(2j)←→jπ[δ(ω+ω0)–δ(ω–ω0)]764.6周期信號的傅里葉變換4.6周期信號傅里葉變換一4.6周期信號傅里葉變換二、一般周期信號的傅里葉變換例1：周期為T的單位沖激周期函數(shù)

T(t)=解：(1)774.6周期信號傅里葉變換二、一般周期信號的傅里葉變換例14.6周期信號傅里葉變換例2：周期信號如圖，求其傅里葉變換。解：周期信號f(t)也可看作一時限非周期信號f0(t)的周期拓展。即f(t)=

T(t)*f0(t)F(jω)=Ω

Ω(ω)F0(jω)F(jω)=本題f0(t)=g2(t)←→(2)(2)式與上頁(1)式比較，得這也給出求周期信號傅里葉級數(shù)的另一種方法。784.6周期信號傅里葉變換例2：周期信號如圖，求其傅里葉變4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。對周期信號：對非周期信號：其基本信號為ej

t一、基本信號ej

t作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)說明：頻域分析中，信號的定義域為(–∞，∞)，而t=–∞總可認為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫為y(t)。794.7LTI系統(tǒng)的頻域分析4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵是角頻率ω的基本信號ej

t時，其響應(yīng)而上式積分正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j

)，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。y(t)=H(j

)ej

tH(j

)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。y(t)=h(t)*ej

t804.7LTI系統(tǒng)的頻域分析設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析二、一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)ej

tH(j

)ej

tF(j

)ej

td

F(j

)H(j

)ej

td

齊次性可加性‖f(t)‖y(t)=F

–1[F(j

)H(j

)]Y(j

)=F(j

)H(j

)814.7LTI系統(tǒng)的頻域分析二、一般信號f(t)作用于LT4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)H(j

)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Y(j

)與激勵f(t)的傅里葉變換F(j

)之比，即

H(j

)

稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；θ()稱為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。

H(j

)

是

的偶函數(shù)，θ(

)是

的奇函數(shù)。頻域分析法步驟：傅里葉變換法824.7LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)H(j)可定義為系統(tǒng)4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法。周期信號若則可推導(dǎo)出834.7LTI系統(tǒng)的頻域分析對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法。4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析例：某LTI系統(tǒng)的

H(j

)和θ()如圖，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。解法一：用傅里葉變換F(j

)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)]Y(j

)=F(j

)H(j

)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(j5)+δ(ω+5)H(-j5)]+4π[δ(ω–10)H(j10)+δ(ω+10)H(-j10)]H(j

)=H(j

)

ejθ()=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)]y(t)=F-1[Y(j

)]=2+2sin(5t)844.7LTI系統(tǒng)的頻域分析例：某LTI系統(tǒng)的H(j)4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析解法二：用三角傅里葉級數(shù)f(t)的基波角頻率Ω=5rad/sf(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=0y(t)=2+4×0.5cos(Ωt–0.5π)=2+2sin(5t)854.7LTI系統(tǒng)的頻域分析解法二：用三角傅里葉級數(shù)f(t4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析三、頻率響應(yīng)H(j

)的求法1.H(j

)=F[h(t)]

2.H(j

)=Y(j

)/F(j

)由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。由電路直接求出。例1：某系統(tǒng)的微分方程為y′(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tε(t)時的響應(yīng)y(t)。解：微分方程兩邊取傅里葉變換j

Y(j

)+2Y(j

)=F(j

)864.7LTI系統(tǒng)的頻域分析三、頻率響應(yīng)H(j)的求法14.7LTI系統(tǒng)的頻域分析f(t)=e-tε(t)←→Y(j

)=H(j

)F(j

)y(t)=(e-t–e-2t)ε(t)例2：如圖電路，R=1Ω，C=1F，以uC(t)為輸出，求其h(t)。解：畫電路頻域模型h(t)=e-tε(t)

874.7LTI系統(tǒng)的頻域分析f(t)=e-tε(t)←4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：一類是信號的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。1、無失真?zhèn)鬏?/p>

（1）定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化。即輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘枒?yīng)為y(t)=Kf(t–td)其頻譜關(guān)系為Y(j

)=Ke–j

tdF(j

)884.7LTI系統(tǒng)的頻域分析四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對于信4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏敚瑢ο到y(tǒng)h(t)，H(j

)的要求是：(a)對h(t)的要求：h(t)=K

(t–td)(b)對H(j

)的要求：H(j

)=Y(j

)/F(j

)=Ke-j

td即

H(j

)

=K,θ(

)=–

td

上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號是，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。(2)無失真?zhèn)鬏敆l件：894.7LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)h4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號通過該系統(tǒng)時，不產(chǎn)生失真的是(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)904.7LTI系統(tǒng)的頻域分析例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析2、理想低通濾波器

具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。

c稱為截止角頻率。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為：(1)沖激響應(yīng)

h(t)=?-1[g2

c()e-jtd]=可見，它實際上是不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。914.7LTI系統(tǒng)的頻域分析2、理想低通濾波器具有如圖所4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析(2)階躍響應(yīng)

g(t)=h(t)*

(t)=經(jīng)推導(dǎo)，可得稱為正弦積分特點：有明顯失真，只要

c<∞，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截斷效應(yīng)引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。gmax=0.5+Si(π)/π=1.0895924.7LTI系統(tǒng)的頻域分析(2)階躍響應(yīng)g(t)=h(4.7LTI系統(tǒng)的頻域分析3、物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件

就時域特性而言，一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在t<0時必須為0，即h(t)=0,t<