廣東大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽高職高專類

1111第二屆廣東省大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽（高職高專類）試題注意事項(xiàng)：1、本試卷共六大題，滿分100分；時(shí)間150分鐘2、所有答案直接寫在試卷上，寫在草稿紙上作廢3、答卷前請(qǐng)將密封線內(nèi)各項(xiàng)填寫清楚。題號(hào)—一—二三四五六總分得分評(píng)卷人一、計(jì)算題（每小題6分，共48分）考考1）lim(cosx)=ot2xxtO解：原式=limecot2xlncosxlncosx=lime考考1）lim(cosx)=ot2xxtO解：原式=limecot2xlncosxlncosx=limetan2xxtOxtO―lncosxlim=3xtOtan2x不內(nèi)線封密lncosx—tanx因?yàn)閘im=limxtOtan2xxtO2tanxsec2x所以lim(cosx>ot2x=extO2）設(shè)函數(shù)y=1x2+3x+2求y(n)．解：因?yàn)閥=111x2+3x+2(x+1)(x+2)x+1x+2所以y(n)=(—1)nn!—(x+2)-n-13)計(jì)算J5(x-1)(x-3)(x-5)cos(x—3)dx1解：用換元法，設(shè)t=x—3原式=J2(t+2)t(t—2)costdx=J2t(t2—4)costdt=O2分4分6分4分6分4分6分—24）已知xT0時(shí)，4x-sin4x與xk是同階無窮小，求k-

解：因?yàn)閘im4x—sin4x=lim4—4cos4x=lim皿xt解：因?yàn)閘im4x—sin4x=lim4—4cos4x=lim皿xtoxkxtokxk-1xtokxk-1所以k=34分xk6分5）設(shè)曲線C由方程xey-y+e=0確定，求曲線C在點(diǎn)（0,e）處的切線方程.方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得ey+xeyy'—y'=03分=eex=04分所求切線方程為y-e=eex6分6)計(jì)算|sinxcos3xdx.1+cos2x解：原式=一|宜丄(cosx)dx1+cosx2分=-Icos2x一cosx+1一1]1+cosx丿(cosx)dx4分6分(、

cos3xcos2x、C6分+cosx+In11+cosx丿32IJ厶丿7）設(shè)曲線y=f（x）與曲線y=Inx在x=e處相切，求limxtOlimxtOx解：由已知可得f(e)=1,廣(e)=-ef2(e+x)—f2(e—x)f(e+x)—f(e-x)Z()())lim=limfle+x丿+fle—x〃xt0xxt0x/f(e+x)—f(e)+f(e—x)—f(e)]2分=2f(e)limxt04分6分=4f(e)廣(e)=6分e8)求極限lim(下丄++??nT8n2+1\；n2+nT8ff(g)=f(g)10分解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?分TOC\o"1-5"\h\zn111n2分—V—H+???+V—n2+nn2+1n2+2n2+nn2+1lim==1,lim=14分ns\：n2+nns<n2+1由夾逼準(zhǔn)則可得lim(〒丄+-=L+???+1)=15分nTaJn2+1Jn2+2Jn2+n二、(本題12二、(本題12分)當(dāng)0<x<|時(shí),證明不等式：sinx>x-冗3分當(dāng)03分當(dāng)0VxVarccos—日寸，兀廣(x)〉0;當(dāng)-28分證明：考慮函數(shù)f(x)兀此函數(shù)是初等函數(shù)’在0行是連續(xù)的。由于f(x)=cosx?！?，當(dāng)x=arccos—時(shí)，廣(x由于f(x)=cosx兀所以函數(shù)f所以函數(shù)f(x)=兀12分xe0,蘭只能在端點(diǎn)取最小值，而f(0)=fp2\2因此當(dāng)0<xV時(shí)’有sinx>-x。二、(本題10分)設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上可導(dǎo)，在(a,b)上連續(xù)，且f(a)=f(b)=0,證明：至少存在一點(diǎn)ge(a,b)使得廣G)=f◎證明：考慮函數(shù)F(x)=e-xf(x),6分由已知可得F(x)在［a,b］上可導(dǎo)，在(a,b)上連續(xù)，且F(a)=F(b)=0,利用羅爾中值定理，至少存在一點(diǎn)ge(a,b)使得F《)=0廣◎e弋-f◎e弋=0

四、(本題10分)設(shè)f(x),g(x)在［0,1］是連續(xù)的，證明：Cf(x)g(x)dx)<f1f2(x)dxJ1g2(x)dx；000若f1f(x)dx=ln2,證明f1(1+x)f2(x)dx>ln2-00證明：1)設(shè)t為任意實(shí)數(shù)，因?yàn)?f(x)+tg(x)》>0，所以f1(f(xf1(f(x)+tg(x)1dx>0nf1f2(x)dx+2tf1f(x)g(x)dx+12f1g2(x)dx>00000這就說明關(guān)于t的一元二次方程f1f2(x)dx+2tf1f(x)g(x)dx+12f1g2(x)dx=0的判000別式小于或等于零，即(有)f1f(x)g(x)dx<f1f2(x)dxf1g2(x)dx0002)利用1)中結(jié)論證明(ln2)2=(f1f(x)dx)0<f1(1+x)f2(x)dxf0=f1f(xX/1+x-f1(1+x)f2(x)dx―dxVoJl+x丿1dx=ln2,01+x03分4分8分所以10分f1(1+x)f2(x)dx>10分0五、（本題10分）設(shè)ke［0,3］，平面圖形S由直線y=kx,x=3-k,y=0圍成.1）求S繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積；2）問k取何值時(shí)，1）中所求得的旋轉(zhuǎn)體的體積最大，并求出最大值.解：1）設(shè)旋轉(zhuǎn)體的體積為V，則有5分2)因?yàn)?)因?yàn)閂'=辛k(3-k)3-k2(3-k)2=Kk(3-k)當(dāng)k=6時(shí)，宀0，并且由于在［0,3］的端點(diǎn)處有V=0，所以當(dāng)k=5時(shí),D中所求得的旋轉(zhuǎn)體的體積最大，最大值為鬻"。10分六、(本題10分)已知函數(shù)f(x)f'7-訂1)證明：|廣(x)1)證明：|廣(x)1<；162)證明：f(x)-2<「x一2；163)nms若數(shù)列｛a｝滿足a=x/7,a=￡7一茁,a=f(a)，證明liman13)nms存在，并求lima．nms解:1)因?yàn)閤e0,77］，所以f(x)二f(x)二-14￡7-7+x?、訂+x<<-4p49-7羽162分2)容易看出f(2)=2，所以利用拉格朗日中值定理有f(xf(x)-2|=f(x)-f(2j=f坨)||x—2<16|x-2|4分3)容易看出0<a,a<前，且若0<a<7亓，則有0<a<占，所以這樣12nn+2定義的數(shù)列｛a｝是有意義的。利用1