雙曲線相關知識點復習

雙曲線相關知識點講解一?雙曲線的定義及雙曲線的標準方程：1雙曲線定義：到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（V|F1F2I）的點的軌跡（||PFJ-PF』=2a<|F1F2|（a為常數(shù)））這兩個定點叫雙曲線的焦點.要注意兩點：（1）距離之差的絕對值.（2）2aV|F1F2I,這兩點與橢圓的定義有本質的不同.當IMF1I-|MF2I=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應的一支；當IMF1I-IMF2I=-2a時，曲線僅表示焦點F1所對應的一支；當2a=IF1F21時，軌跡是一直線上以F「F2為端點向外的兩條射線；當2a>|FiF21時，動點軌跡不存在.雙曲線的標準方程：［-b2=1和二-b2=1（a>0，b>0）.這里b2=c2-a2，其中|FF|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.雙曲/畝標準方程判別方法是：如果x2項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題：⑴正確判斷焦點的位置；⑵設出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.雙曲線的內外部：⑴點P(x0,yo)在雙曲線|2-b-=1(a>0,b>0)的內部。壬-*>1-

(2)點P(x0,y0)在雙曲線m-壬=1(a>0,b>0)的外部。壬-壬<1-雙曲線的方程與漸近線方程的關系（1） 若雙曲線方程為上-b_=1°漸近線方程：三-苔=0。y=±-x.（2） 若漸近線方程為y=±嘰o:±b=0°雙曲線可設為土-M=X.（3） 若雙曲線與三-親=1有公共漸近線，可設為三-蘇=X（"0，焦點在x軸上，X<0，焦點在y軸上）.雙曲線的簡單幾何性質擋-虻=1（a>0，b>0）a2 b2⑴范圍：IxINa，y^R

⑵對稱性：關于尤、y軸均對稱，關于原點中心對稱⑶頂點：軸端點A1（—a，0），A2（S0）⑷漸近線：若雙曲線方程為擋-^2=1n漸近線方程擋-^2=0ny=±嘰a2b2 a2b2 a若漸近線方程為y=±bxna±b=0n雙曲線可設為土-b-八若雙曲線與三-三=1有公共漸近線，可設為三-b-八（人〉o，焦點在x軸上，X<0，焦點在y軸上）與雙曲線咔-22=1共漸近線的雙曲線系方程是-22=槌"0）ab2 a2b2與雙曲線三-22=1共焦點的雙曲線系方程是己二-^^=1a2b2 a2+kb2-k五雙曲線圭號=心〉0）與『壬=如〉0）的區(qū)別和聯(lián)系標準方程親-親=1(a,b〉0)ar-若=1(a,b〉0)性質焦點八、、八、、(c,0),(-c,0)，(0,c),(0,-c)焦距2c范圍1xl>a,ygRlyl>a,xgR頂點(a,0),(-a,0)(0,-a),(0,a)對稱性關于x軸、y軸和原點對稱B的橫坐標，則|A8|=J1+k26.弦長公式：若直線y=kx+b與圓錐曲線相交于兩點AB的橫坐標，則|A8|=J1+k2，若y1，y2分別為A、B的縱坐標，則|AB|=y1-y2I。

典型例題分析考點1雙曲線的定義及標準方程題型1:運用雙曲線的定義［例1］某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的距離都是1020m.試確定該巨響發(fā)生的位置.（假定當時聲音傳播的速度為340m/s:相關各點均在同一平面上）【解題思路】時間差即為距離差，到兩定點距離之差為定值的點的軌跡是雙曲線型的.［解析］如圖，以接報中心為原點O,正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系.設A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（—1020，0），B（1020，0），C（0，1020）設P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得IPAI=IPCI，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=—x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB|—|PA|=340X4=1360由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線n--=1上，依題意得a=680,c=1020，b2=c2-a2=10202-6802=5x3402故雙曲線方程為-―—=168025x3402用y=—x代入上式，得X=±680*5，V|PB|>|PA|,X=-680\'5,J=680%5,即尸(-680\.5,680\5),故PO=680勾而答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北45。距中心680（10^處.【名師指引】解應用題的關鍵是將實際問題轉換為“數(shù)學模型”【新題導練】J2 -1.設P為雙曲線X2-［a=1上的一點鳥、F2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF］|：|PF2|=3：2,則△pf1f2的面積為 （ ） _解析：a=1,b=廿12,c=普13，由|尸尸|：|尸尸|=3:2①又|PF|-1PF2|=2a=2,②由①②解得|PF「=6,|PF「=4.

IPF|2+IPF|2=52,1FF|2=52,1 2 12PFF為百角三角形，12一1, ,, ,1-<—S=IPFI-1PFI=x6x4=12.故選B。TOC\o"1-5"\h\z△PF］F2 2 1 22X2y2一如圖2所示，F(xiàn)為雙曲線C:云一三=1的左9 16焦點，雙曲線C上的點P與P7iG=1,2,3）關于y軸對稱，則PF|+|PF|+|PF|-|PF-|PF|-\PF的值是（）1 2 3 4 5 6A.9B.16C.18 D.27［解析］|PF|-|PF|=|PF|-PF|=|PF|-|PF|=6，選C16 2’ 5 3 41X2 y23.P是雙曲線一-b-=1(Q>0,b>0)左支上的一點，F(xiàn)］、F2分別是左、為2。，則APFF2的內切圓的圓心的橫坐標為()(A)—a (B)—b (C)—c (D)a+b—c［解析］設APF1F2的內切圓的圓心的橫坐標為X0，由圓的切線性質知，PF—PF=Ic—xI—Ix—（-c）I=2anx=—a2 1 0 0 0題型2求雙曲線的標準方程［例2］已知雙曲線C與雙曲線蘭-號=1有公共焦點，且過點(3,，16 4的方程.【解題思路】運用方程思想，列關于a,b,c的方程組圖2右焦點，且焦距2).求雙曲線CX2y圖2右焦點，且焦距2).求雙曲線C［解析］解法一：設雙曲線方程為一2—^^=1.由題意易求c=2「5.TOC\o"1-5"\h\z(3件：2)2 4又雙曲線過點(3^2，2)，「? 一—=1.a2 b2又Va2+b2=(2t5)2，.展2=12,b2=8.X2y2故所求雙曲線的方程為X。-y=1.12 8X2 y2解法二：設雙曲線方程為~-—-—-=1，16—k4+k將點(3"2，2)代入得k=4，所以雙曲線方程為三一=1.12 8【名師指引】求雙曲線的方程，關鍵是求a、》，在解題過程中應熟悉各元素(a、b、c、e及準線)之間的關系，并注意方程思想的應用.【新題導練】已知雙曲線的漸近線方程是y=±工，焦點在坐標軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程2為；［解析］設雙曲線方程為X2-4J2=X，當人〉0時，化為〒—=—=1，.，?2=1。:.X=2。，TOC\o"1-5"\h\z人人 \44當X<0時，化為 —-^-=1， 2-—-=10/?X=—20，\o"CurrentDocument"人一X \ 4——4X2y2 y2x2,綜上，雙曲線方程為布一飛-=1或w =1以拋物線y2=8%'3x的焦點F為右焦點，且兩條漸近線是X±\；3y=0的雙曲線方程為 .［解析］拋物線y2=8拓X的焦點F為(2占,0)，設雙曲線方程為X2—3y2=X，4X x2y2一.=(2*3)2/.X=9，雙曲線方程為虧—3=16.已知點M(-3,0)，N(3,0)，8(1,0)，動圓C與直線MN切于點B，過M、N與圓C相切的兩直線相交于點尸，則尸點的軌跡方程為TOC\o"1-5"\h\zy2 . y2 .A.x2———=1(x<—1) B.x2———=1(x>1)8 8y2 < y 2C.x2+q=1(x>0) D.x2一=1(x>1)8 10［解析］PM—PN=BM—BN=2，P點的軌跡是以M、N為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，選B考點2雙曲線的幾何性質題型1與漸近線有關的問題焦點為(0,6)，且與雙曲線旦—y2=1有相同的漸近線的雙曲線方程是 ()2A.旦—匹=1 B.坦—均=1 C.圮—旦=1 D.旦—圮=11224 1224 2412 2412［解析］從焦點位置和具有相同的漸近線的雙曲線系兩方面考慮，選B基礎鞏固訓練…一工2 V2 , ?,X2V2 以橢圓+ =1的右焦點為圓心，且與雙曲線云-三=1的漸近線相切的圓的方169144 916程是（A）X2+y2-10X+9=0 （B）X2+y2-10%-9=0（C）X2+y2+10x+9=0 （D）X2+y2+10x-9=0［解析］橢圓與雙曲線共焦點，焦點到漸近線的距離為b，選A類型三：綜合練習1.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2,0），右頂點為1&0）.（I） 求雙曲線C的方程（II） 若直線l:V=kx+J2與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B且OA?OB>2（其中O為原點），求k的取值范圍, … X2V2,解（1）設雙曲線方程為一—一=1a2b2由已知得a=寸3,c=2，再由a2+b2=22，得b2=1X2故雙曲線C的方程為"■-y2=1.(2)將y=kx+(2代入%2-y2=1得(1-3k2)x21—3k2壬0由直線l與雙曲線交與不同的兩點得（ （l）A= +36（1-32）=36（1-k2）>0①設A(x,y),B(x,y),，則AA AB-9'= ，由OA?OB>2得xx+yy>2，B1一3k2 ABAB而xx+yy=xx+(kx+偵2)(kx_ 2)=(k2+1)xx+\2k(x+x)+2ABABABA b AB AB-9 :― 6\2k 3k2+7=(k2+1) +偵22k +2= 1-3k2 1-3k2 3k2-13k2+7 一 -3k2+9 - 1…一于是行>2，即成=>°解此不等式得3<k2<3.②故的取值范圍為(故的取值范圍為(-1，-W-)UI\,172.已知直線y=ax+1與雙曲線3x2->2=1交于A、B點。求a的取值范圍；(2)若以AB為直徑的圓過坐標原點，求實數(shù)a的值； 1 (3)是否存在這樣的實數(shù)a,使A、B兩點關于直線y=x對稱？若存在，2請求出a的值；若不存在，說明理由?！竬=ax+1解：(1)由< 消去y，得(3-a2)x2-2ax—2=0(1)13x2—y2=13-a2豐0 7 k依題意〈 即-J6<a<J6且a。邛(2)A>0x+x=2。(3)(2fA(x1(2fA(x1,y1)，TOC\o"1-5"\h\z—2 .xx= (4)12 3-a2?/以AB為直徑的圓過原點..?OA1OB:.xx+yy=012 12但yy=a2xx+a(x+x)+12a(3)(4)，x+x=3-2 2a?..(a2+1)- +a- +1=0解得a=±1且滿足(2)1 「 1(3)假設存在實數(shù)a，使A、B關于y=5x對稱，則直線y=ax+1與y=；x垂直A A即a即a=-2直線i的方程為y=-2x+1將a=-2代入⑶得x1+x2=4AB中點的橫坐標為2 縱坐標為y=-2x2+1=-3

,…、 1 1但AB中點(2,-3)不在直線y="X上，即不存在實數(shù)a，使A、B關于直線y=5x對稱。(1)橢圓C:+匕=1(a>b>0)上的點A(1,七)到兩焦點的距離之和為4,求橢圓的方程；設K是(1)中橢圓上的動點，F(xiàn)1是左焦點，求線段F1K的中點的軌跡方程；已知橢圓具有性質:若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩點，P是橢圓上任意一點,當直線PM、PN的斜率都存在并記為y乩時，那么kpM-嘰是與點P位置無關的定值。試對雙曲線好-尹=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明。a2b2解：(1)好+尹=14 3設中點為(x,y),F1(-1,0)K(-2-x,-y)在甘+年=1上—設M(x,y),N(-x,-y),P(x,y),x尹x1 1 1 1 ooo1則y2=b2(號一1) y2=b2(x2一1)1kPM-kkPM-k=y0—”PN Xo-%-y“+”=y2-y2=X0+X1 X0-X22_2b2(^ozi)a2 =b2X0-X2為定值.y24.已知雙曲線x2-專=1y24.已知雙曲線x2-專=1,問過點A(1,1)能否作直線/，使l與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在求出直線l的方程，若不存在說明理由。錯解設符合題意的直線l存在并設P(氣，X之)、X12一耳=1⑴)-(2)(X-X)(X+X)=2(y=2(4)=2(5)將=2(y=2(4)=2(5)將(4)、(5)代入(3)得 X1-x=2(y1-y2)若X1 則直線I的斜率k= =2 所以符合題設條件的直線l存在。X一X其方程為2x-y-1=0剖析(3)式成立的前提下，由(4)、(5)兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應對所求直線進行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯—y)(y+y)(3) 因為A(1,1)為線段pq的中點，12 12誤的。應在上述解題的基礎上，再由誤的。應在上述解題的基礎上，再由y=2x-1y2 得2x2—4x+3=。 根據(jù)△=—8<。，說明所求直線不存在。TOC\o"1-5"\h\zX2- =125.已知兩定點F1(-很,0),F'很,0),滿足條件\PF2|-\PFJ=2的點P的軌跡是曲線E，直線y=kx—1與曲線E交于A、B兩點。 _(I)求k的取值范圍； ——(II)如果aB=6/3且曲線E上存在點C,使OAbO=m,O求C秫的值和AABC的?^S。 —一一解：(I)由雙曲線的定義可知，曲線E是以F](—^2,0),F2G2,0)為焦點的雙曲線的左支，且c=<2,a=1,易知b=1故曲線E的方程為x2-y2=1(xv0)設A(x,y),B(x,y)，由題意建立方程組[y="一：11 22 [x2-y2=1消去y，得(1-k2)x2+2kx-2=0又已知直線與雙曲線左支交于兩點A,B，有1-k2^0A=(2k)-8G-k2)〉0< -2k 解得-很<kv-1x+x= <01 2 1-k2-2 八|罕2=斥〉0

依題意得2?尹=點整理后得28k4-55k2+依題意得2?尹=點但―、2<k<—1 k= 一 2故直線AB的方程為左-x+y+1=0設C(x,y)，由已知0A+OB=mOC，得(x,y)+(x,y)=(mx,my)0 0 1 1 2 2 0 0:.(mx0,my。)=fX±S:.(mx0,my。)=2又"l+%=切2又"l+%=切=—4、'5y+y=k(x+x)—2+x2)—2=k2^—2=k^~i=8?:點Cf-4右將點C的坐標代入曲線E的方程，得蘭—里=1得m=±4,m2m2但當m=—4時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意：.m=4，點C的坐標為［<5,2)C到AB的距離為+12:+12:AABC的面積S==*'36?已知P為雙曲線〉〉1(a>b>0)的右支上一點(yp>°)'A、B分別是橢圓X2y2一 …— .房+b_=1的長軸頂點,連接店交橢圓于D'若AAC?與g面積相等.求直線PD的斜率和直線CD的傾斜角;a,⑵當方的值為多少時，直線CD恰好過橢圓的右焦點?7.已知雙曲線的焦點在X軸上，漸近線方程為y二±氣；'2工，焦距為2%：3.（1） 求雙曲線的方程；（2） 過點A（2,1）的直線l與雙曲線交于P、P，求線段PP的中點P的軌跡方程；TOC\o"1-5"\h\z1 2 12（3） 過點B（U）能否作直線m，使m與所給雙曲線有兩個交點Q、Q2，且點B是線段QQ2的中點，若m存在，求出它的方程；若不存在，說明理由.8.已知雙曲線X2-y2=2的左、右焦點分別為F，F(xiàn)，過點F的動直線與雙曲線相交于1 2 2A，B兩點.（I） 若動點M滿足FM=FA+FB+FO（其中O為坐標原點），求點M的軌跡方程；1 1 1 1（II） 在X軸上是否存在定點C，使CA?CB為常數(shù)？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由. _解：由條件知F（-2，0），F(xiàn)（2，0），設A（x，y），B（x，y）.1 2 11 2 2（I）解法一:（I）設M（x，y），則則FM=（x+2，y），F(xiàn)A=（x+2，y），1 1 1 1

FB=(x+2,y)，F(xiàn)O=(2,0)，由FM=FA+FB+FO得1 2 2 1 1x+x=x—4,、y1+y2=yx+2x+x=x—4,、y1+y2=y于是AB的中點坐標為一 y一 y/ 、即y-y=o(x-x).1 2x-81 2TOC\o"1-5"\h\z當AB不與x軸垂直時，亳~y2=——2 ox1-x2x-4—2x-8又因為A,B兩點在雙曲線上，所以xLi2=2，x;-y;=2，兩式相減得(x-x)(x+x)=(y-y)(y+y)，即(x-x)(x-4)=(y-y)y.12 12 12 12 1 2 1 2將y-y=-^(x-x)代入上式，化簡得(x—6)2—y2=4.1 2x-81 2當AB與x軸垂直時，x1=x2=2，求得M(8,0)，也滿足上述方程.所以點M的軌跡方程是(x-6)2-y2=4.(II)假設在x軸上存在定點C(m，0)，使CA^B為常數(shù).當AB不與x軸垂直時，設直線AB的方程是y=k(x—2)(k豐土1).代入x2-y2=2有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0.4k2則x,x是上述方程的兩個實根，所以x+x=—-1 2 1 2 k2-1于是CACB=(x-m)(x-m)+k2(x-2)(x-2)TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2=(k2+1)x1x-(2k2+m)(x+x)+4k2+m2(k2+1)(4k2+2)—4k2(2k2+m)+我2 2k2-1 — k2-1 2m22(1-2m)k2+2 4-4m +m2=2(1-2m)+ +m2.k2-1 k2-1因為C^^B是與k無關的常數(shù)，所以4-4m=0,即m=1,此時C^^B=-1.當AB與x軸垂直時，點A,B的坐標可分別設為（2八：2）,（2,-寸2）,此時C^^B=（,2）』1,一點）=—1.故在頊上存在定點C（1,0），使CAaCB為常數(shù).22..海市虹曰區(qū)ZU1U-WU11學年第二學期高三教學防是測試理科）〔本題滿分姑分）已規(guī)T- °ffl圓二+寫=1 過點"任0）,威Q,3）的宜線傾斜前為里，原點到該a-b~ 6直線的距離為蟲.lid求橋01的方程「斜率大1?零的宜^過D（-k功與榔同交于E?「兩點.若旬=2方克求宜眺EF的方程：匚舞是否存在實數(shù)卜宜^y=Lt+2^jH于戶，0四點.以用為直徑的圓過點Bf-L□）?若存在.求出A的值打若不存在卜諧說明理由.找、，閉分）<l〕ill—=--—U'b=— ■-Ja'+b2、得4=Vs.b=1、TOC\o"1-5"\h\zt；3 2 2 2和椰5程是，y+;.-=1 Sk2）設E「：.v=JH_y-]ini>0）代A+v?=i，^（wr2+3）t2-2my-2-U?3設E0、Wgyj.iI|ED=2E7,得y,=-2y?.2jji --h~2 ..由v,+為二一如二—； ■LA=-2;■/=—: 8 分W+3 ? m"+3得[一蝴一「=一.，?，m=l，用=-lL舍■上LL汶害上Illi分）"+3tn"+3.國哉EF的方程為:x-y-1l'|ia-y+I=0 10分n-L抵將}=h+上氣FV-k符〔3尸4ISA-+12虹+9二1）D3UP（xrQ%、.、）.p口九TL役的園id：少—L0）.則PD1Qh-即[.弓+LjUg+Lt,1=（*+頃電+1）+」'E=。.■<A,+--y2=kx.2+2.TOC\o"1-5"\h\z得偵'+IiJtjX,,+（.!&+1心]+jc?）+5=—I；：+:汀=0. 14 分7 7解得A=—、此INr■■[VA>0■.-.{n-\k=--滿足題設條件一 1泌9.（2009上海卷）（本題滿分16分）已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為FC3,0），一條漸近線m：x+<2y=0,設過點A（-^■'2,0）的直線l的方向向量V=（1,k）。（1） 求雙曲線C的方程；（2） 若過原點的直線h//1，且a與1的距離為福，求K的值；（3） 證明：當k>皇時，在雙曲線C的右支上不存在點。，使之到直線l的距離2為柜.（1）解設雙曲線C的方程為X2-2J2=X（人〉0）TOC\o"1-5"\h\zc人一 一 _一. X2 一.,.入+萬 涓，解得X=2,雙曲線C的方程為~2—y2=1解直線l:kx-y+3<2k=0，直線a:kx-y=0/\3顯k\ 、、還由題意，得，—==\6，解得k=±~—~1+k2 2證明方法一設過原點且平行于l的直線b:kx-y=0則直線l與b的距離d=3*2\婦,當k>墮2時，d>46<1+k2 2又雙曲線C的漸近線為x±<2y=0雙曲線C的右支在直線b的右下方，雙曲線C右支上的任意點到直線l的距離大于如6。故在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為/6(3)方法二假設雙曲線C右支上存在點Q(X0,y0)到直線l的距離為J6，'1R-*+3獨部⑴則］ JT+k2TOC\o"1-5"\h\zX2-2y2=2 (2)由(1)得y=kx+3^2k土J6.J1+k2設t=3克k±*f1+k2，一v2 一?r 一當