2021年北京二中高考數學模擬試卷附答案解析

2021年北京二中高考數學模擬試卷

一、單選題(本大題共10小題，共40.0分)

1.設集合力=[-2,2],B={y\y=(x-l)2,x&A},則AnB=()

A.[-2,2]B.[1,2]C.[0,2]D.[-2,9]

2.已知定義域為R的函數/(x)是奇函數，當時，/。)=|%-。2|一。2,且對xeR,恒有/(%+

1)>/(x),則實數a的取值范圍為()

A.[0,2]B.C.[-1,1]D.[-2,0]

3.下圖實線是函數y=/(x)(0WxW2a)的圖象，它關于點4(a,a)對稱.如

果它是一條總體密度曲線，則正數a的值為()

A.立

2

B.1

C.2

D.V2

4.若a€R,則“a=2”是“(a-l)(a-2)=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.若sin0-a)=|,則cos(y+2a)=()

A.JB.IC.-iD.J

6993

6.實驗中學“數學王子”張小明在自習課上，對正整數1,2,3,4,按如下形1

23

式排成數陣好朋友王大安問他“由上而下第20行中從左到右的第三個數是456

多少”張小明自上而下逐個排了兩節(jié)課，終于找到了這個數，聰明的你一定78910

知道這個數是（）

A.190B.191C.192D.193

3__

7.6.在AAFC中，b'=ac,旦2+c=3,cos3=，則AkS3C=

33

A.-B.——C.3D.-3

22

8.如圖所示，某幾何體的正視圖（主視圖），側視圖（左視圖）和俯視圖分別是等腰梯形，等腰直角三

角形和長方形，則該幾何體體積為（）

正視圖側視圖

9.已知定義在R上的函數若函數k（x）=/（%）+ax恰有2個零點，則實數a

的取值范圍為（）

A.—1)U{0}U(1,4-00)B.(―1,—^)U{0}U(1,4-00)

C.(-l,-j)U{0}U(-|,+c?)D.(-o),-l)u{0}u(-j,l)

10.下列四組函數中，表示同一函數的是()

A./(x)=g(x)=x+1B./(x)=x,g(x)=?

C./(x)-x,Ig(x)-Vx1D./(x)-|x|.g(x)-

二、單空題(本大題共5小題，共25.0分)

11.國家新能源汽車補貼政策，刺激了電動汽車的銷售，據市場調查發(fā)現，某地區(qū)今年Q型電動汽

車的銷售將以每月10%的增長率增長；R型電動汽車的銷售將每月遞增20輛，已知該地區(qū)今年1

月份銷售Q型和R型車均為50輛，據此推測該地區(qū)今年Q型汽車銷售量約為輛；這兩款車

的銷售總量約為輛.（參考數據：l」ii=2.9,LI短。3.1,l.M3a3.5）

12.若函數/（%）=cosx-s譏x在［-a,a］是單調遞減，貝!la的最大值是.

13.現有一排10個位置的空停車場，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空

車位且甲車在乙、丙兩車之間的停放方式共有種.

馬-，=』相切,

14.已知拋物線/=瞬的準線旨與雙曲線郎則雙曲線烈的離心率忽=

15.設0WXW2,則函數1=9"一2+3的最大值為

三、解答題（本大題共6小題，共85.0分）

16.如圖，在直棱柱4BC-4—G中,4BaC=《4B=4C=V7,44i=3,

D是BC的中點，點E在棱BBi上運動.

(1)證明：AD1QE

(2)當異面直線4C,GE所成的角為g時，求三棱柱6-4/汪的體積.

17.已知函數/Q)=sin(三一》.

(1)請用“五點法”畫出函數f(x)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖(先在所給的表格中填上所需

的數值，再畫圖)；

(2)求函數/(x)的單調遞增區(qū)間.

18.某數學興趣小組有男生2名，記為a,b,女生3名，記為c,d,e.現從中任選2名學生去參加學校

數學競賽.

(1)寫出所有的基本事件并計算其個數：

(2)求參賽學生中恰好有1名男生的概率；

(3)求參賽學生中至少有1名男生的概率.

19.已知圓Fi：(x+V3)2+y2=16.圓心為國,定點尸2(四,0)，P為圓&上一點，線段PF2的垂直

平分線與直線P&交于點Q.

(1)求點Q的軌跡C的方程：

(2)過點(0,2)的直線/與曲線C交于不同的兩點4和B,且滿足N40B<90。(。為坐標原點)，求直線［斜

率的取值范圍.

20.已知函數/(%)=ax+Inx,

(1)求/(%)的單調區(qū)間和極值；

(2)設g(%)=%2-2%+2,若對任意%1G(0,+oo),均存在%?€[0,1],使得/(%力＜9(不)，求實數a的

取值范圍.

21.若一3e{a—3,2a-l,a2+l)，求實數a的值.

參考答案及解析

1.答案：c

解析:解：??,集合A=[-2,2],

B={y\y=(x-l)2,xEA]={y|0<y<9]=[0,9],

AryB=[0,2].

故選：C.

求出集合4,B,由此能求出4nB.

本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

2.答案：B

解析：

本題考查學生應用知識分析解決問題的能力，考查數形結合的能力，用圖象分析解決問題的能力,

屬中檔題.

解：定義域為R的函數〃x)是奇函數，

當x>0時,/(%)=1…=仁2m，

f(x)是定義域為R的奇函數，所以的圖象如圖所示：

當x<0時，函數的最大值為a2,

???對xGR,恒有f(x+1)>/-(%),/'(x)向左移動1個單位得到f(x+1)的圖象，

???122a2-(-2a2),解得一gWa<p

故選B.

3.答案：A

解析：

本題考查了總體密度曲線，解題時注意總體密度曲線是頻率分布直方圖當組距無限小時的曲線，所

有與x軸圍成的圖形的面積為頻率和1,屬于中檔題.

由題意得，總體密度曲線關于點4(a,a)對稱，所以曲線與x=2a,x軸圍成的區(qū)域的面積為等于三角

形的面積2a2,令其等于1求出a的值.

解：因為總體密度曲線關于點H(a,a)對稱

所以曲線與x=2a,x軸圍成的區(qū)域的面積為2a2

所以2a2=1,

所以a=立，

2

故選A.

4.答案：A

解析：

本題考查充分條件和必要條件，屬于基礎題.

由(a-l)(a-2)=0,得0=1或。=2,結合充分、必要條件即可判斷.

解：由(a-l)(a—2)=0,得a=1或a=2,

故“a=2”是“(a-l)(a-2)=0”的充分不必要條件.

故選A.

5.答案：C

解析：解：由sin/一a)=cos碎一/一a)]=cos(g+a)

???cos《+a)=I，

那么：cos(y+2a)=cos2(^+a)

=2cos2c+a)—1

2x(|)2-l

=--1

9

故選：C.

整體思想，利用二倍角和誘導公式進行化簡即可得到答案.

本題考查了整體構造思想和二倍角和誘導公式的靈活運用的化簡能力.屬于基礎題.

6.答案：D

解析：試題分析：前19行有的數字個數為：1+2+3+4+…+19=190個；第20行從191開始數

第3個數是193,故選。

考點：本題考查了歸納推理的運用

點評：先通過數字找到規(guī)律，根據規(guī)律再計算.

7.答案：B

△ABC中，?b?=ac,a+c=3,cosB———,

4

.'.b2=a2+c2-2ac,cosB=(a+c)2-ac=9-b2,

22

解析：.$=2.

則cos(?！狟)=t)2(—cosB)—2X(-—)--1■,

故選B.

8.答案：A

解析：解：由三視圖知幾何體是直三棱柱削去兩個相同的三棱錐，

由側視圖得三棱柱的底面為直角邊長為1的等腰直角三角形，三棱柱側棱長為4,

???三棱柱的體積為:x1x1x4=2,

由正視圖與俯視圖知兩個三棱錐的高為1,

???三棱錐的體積為:xixlxlxl=p

???幾何體的體積，=2-2xi=1.

63

故選A.

由三視圖知幾何體是直三棱柱削去兩個相同的三棱錐，根據側視圖得三棱柱的底面為直角邊長為1的

等腰直角三角形，三棱柱側棱長為4,

根據正視圖與俯視圖知兩個三棱錐的高為1,分別計算棱柱和三棱錐的體積，作差求解.

本題考查了由三視圖求幾何體的體積，解題的關鍵是判斷幾何體的形狀及三視圖的數據所對應的幾

何量.

9.答案：B

解析：解：作出函數/'(X)的圖象，如圖示:

考慮直線丫=萬，y=-x,y=與曲線f(x)相切，

由直線y=-ax與曲線y=/'(x)的位置關系可得：

當一aG(-a),-l)u{0}U(表1)時有兩個交點，

即ae(-1,-i)u{0}u(1,+8)時函數y=k(x)恰有兩個零點.

故選：B.

作出函數/(x)的圖象，求得直線與曲線相切的情況，結合圖象即可得到所求范圍.

本題考查函數的零點個數問題解法，注意運用分類討論思想和數形結合思想，考查運算能力，屬于

中檔題.

10.答案:D

解析：

由題意，判斷定義域與對應關系是否相同即可.

解：選項4：不同，定義域，/(x)的是{x|xH1},g(x)的是R；選項B：不同，定義域，/(x)的是R,

g(x)的是{x|xw0}；

選項C：不同，對應關系，/(x)=x,g(x)=|x|；

選項》定義域與對應關系都相同，故相同；

故選。.

本題考查了函數相等，判斷定義域與對應關系是否相同即可.

11.答案：1050；2970

解析：解：由題意可得，今年Q型電動汽車的月銷售量構成以50為首項，以1.1為公比的等比數列，

則今年Q型電動汽車的銷售量為理言1050;

R型電動汽車的月銷售量構成以50為首項，以20為公差的等差數列，

則R型電動汽車的銷售量為12X50+工尹x20=1920.

這兩款車的銷售總量約為：1050+1920=2970.

故答案為：1050；2970.

由題意可得，今年Q型電動汽車的月銷售量與R型電動汽車的月銷售量分別構成等比數列和等差數列,

然后利用等比數列和等差數列的前幾項和求解.

本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查了等差數列與等比數列的前n項和，是基礎題.

12.答案：；

解析：

本題主要考查兩角和的余弦公式，余弦函數的單調性，屬于基礎題.

由題意利用兩角和的余弦公式，化簡函數的解析式，再利用余弦函數的單調性求得a的最大值.

解：???函數/(x)=cosx-sinx=V2cos(x+孑)，

令2/OT《x+?《兀+2kn,k6Z,即一巳+2kn<x<—+2kn,k￡Z,

444

則函數f(x)的單調遞減區(qū)間為卜3+2時,牛+2同，kGZ,

當k=o時，

44

—a>--

由題意可得：3H4，

a<T

求得3,故a的最大值為三

44

故答案為：=

4

13.答案：40

解析：解：先排7個空車位，由于空車位是相同的，則只有1種情況，其中有6個空位符合條件，

考慮三車的順序，將3輛車插入6個空位中，則共有1X短=120種情況，

由于甲車在乙、丙兩車之間，則有符合要求的坐法有1x120=40種；

故答案為：40.

根據題意，先排好7個空車位，注意空車位是相同的，其中有6個空位符合條件，考慮順序，將3車插

入6個空位中，注意甲必須在乙、丙兩車之間，由倍分法分析可得答案.

本題考查排列、組合的應用，對于不相鄰的問題采用插空法.

14.答案：避

解析：試題分析：拋物線/=據的準線象％=-2與雙曲線線：鳥_,解=』相切，所以a=2,b=,

“雙曲線。的離心率酎=卜普匯-心'

V#

考點：本題主要考查拋物線、雙曲線的幾何性質。

點評：簡單題，涉及圓錐曲線的幾何性質問題，往往與a,b,c,e,p有關，熟練掌握它們的內在

聯系是解題的關鍵。

15.答案:66

解析:

函數卜工-工+觀察得：先對函數解析式變形得：：再利用換元法,

=92*33，y=（3*）-2x3*-3:

化為：卜=八一2f+3=（r-l>+2：即:給定區(qū)間上的二次函數的最值問題而解決.

解：由題得：：

y=（3*）-2x3,-3:

令：r則:對稱軸為

|3=Lre[l:9]s|y=r-2f+3=(r-l)+2,|7^T，

所以，y在［1,9］上是單調遞增函數，當t=9,即x=2時取到最大值，最大值為y=66.

所以，函數y=9x—2x3x+3的最大值為66,此時x的值為2.

故答案為66.

16.答案：（1）證明：如圖所示，

vAB=AC=V2，。是BC的中點，

???AD1BC,

???直棱本主4BC—4181G中，???8Bil/0,

又BCCBB］=B,

???4DJ■平面BCGBi，B

■:C1Eu平面BCGBI，

A：AD1CrE.

(2)解：?.TC〃4IGL，

???48傳141為異面直線4C,GE所成的角，為爭

???4傳114出，44i_L&G，

A】B]n/A]—A],

:.A1C1_L平面4遇881，

???A1C11ArEf

AXE=&Gtang=VIxV3=V6,B1E=JA.一4局=2,

二三棱柱G-&BiE的體積V=|xShA1B1ExAC=[x；x企x2x或=|.

解析：(1)由AB=4C=VL。是BC的中點，可得4。1BC,再利用直棱柱的性質可證：4。_1_平面

BCCiBi，即可得出；

(2)由4C〃&G，可得N81G4為異面直線4C,GE所成的角，為g,利用線面垂直的判定定理可得；

41GL平面因此&GJ.4E.利用三棱柱G-的體積U=打5必8速x&G即可得出.

本題考查了線面與垂直的判定與性質定理、直角三角形的性質、直棱柱的性質、三棱錐的體積計算

公式、異面直線所成的角，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

17.答案:解：(1)令X=^一(則x=2x+|.填表：

Z3n3

2581114

X

333TT

7137r

X0n27r

2T

y010-10

???(5分)

(2)令2/CTT3-2k7r+](k￡Z)...(8分)

解得4k-1<x<4fc+|(/cGZ)...(10分)

所以函數y=sin(^-勺的單調增區(qū)間為[4k-J,4/c+|](fceZ)...(12分)

解析：(1)分別令學冶=0,p兀，y.2n,得到相應的x的值及y的值，再描點即可；

(2)令2時~^<^~^<2kn+^(feeZ)可解得該函數的增區(qū)間.

本題考查五點法作函數y=Asin^x+9)的圖象，著重考查余弦函數的單調性，屬于中檔題.

18.答案：解：(1)某數學興趣小組有男生2名，記為a,b,女生3名，記為c,d,e,現從中任選2名

學生去參加學校數學競賽.

基本事件共計10個，分別為：

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e).

(2)參賽學生中恰好有1名男生包含的基本事件有：

(a,c),(a,d),(Q,e),(b,c),(b,d),(b,e),共6個,

二參賽學生中恰好有1名男生的概率P1=卷=|.

(3)參賽學生中至少有1名男生包含的基本事件有：

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(瓦d),(b,e),共7個，

???參賽學生中至少有1名男生的概率P2=(.

解析：本題考查概率、列舉法等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力，是基礎題.

(1)利用列舉法能寫出所有的基本事件并計算其個數.

(2)利用列舉法求出參賽學生中恰好有1名男生包含的基本事件的個數，由此能求出參賽學生中恰好

有1名男生的概率.

(3)利用列舉法求出參賽學生中至少有1名男生包含的基本事件的個數，由此能求出參賽學生中至少

有1名男生的概率.

19.答案：解：(1)圓Fi：(%+V3)2+y2=16)圓心為廣式―V5,0),

由IQF1I+\QF2\=IQFI|+\QP\=|P&|=4>IF1F2I=2百，

.1.Q的軌跡C是以&(-6,0),F2(遮,0)為焦點，長半軸長為2的橢圓，

點Q的軌跡C的方程：?+f=1.…(4分)

(2)由題可得直線，存在斜率，設其方程為y=依+2,設直線/與曲線C交于不同的兩點Z(xi，yi)和

B(無2必)，

(y=kx+2

，注2_i，整理得：(l+4fc2)x2+16fcx+12=0,則有△>(),解得

(4+y-

由韋達定理可知：X1+%2=-熱5，尤1.%2=77^

由4A0B<^OA-OB>0,

即Xl%2+%丫2>0，解得卜2<4....(8分),

根據弦長公式可知：IABI=J1+k2.Jg+刀2)2—4%9

\AB\=4?軟2-3)(1+絲,設1+412=te(4,17),

11l+4k2

則MB|=2^-i|-1+1e(0,等)，

直線I斜率的取值范圍(0,誓)....(12分)

解析：(1)由圓Fl：(x+K)2+y2=i6,圓心為Fl(-百,0),由由IQ&I+IQF2I=IQ&I+|QP|=

|Pa|=4>I&F?I=2V3,Q的軌跡C是以，長半軸長為2,Fi(—百,0),尸2(百,。)為焦點的橢圓，即

可求得點Q的軌跡C的方程：

(2)設直線48的方程為:y=kx+2,代入橢圓方程,△>0,解得1>*由右4OB<^OAOB>0,

即與小+，，2>0,解得1<4,根據韋達定理及弦長公式可知|AB|=強靄里豆，設1+4/=

tG(4,17),即可求得直線，斜率的取值范圍.

本題考查橢圓的定義及標準方程，考查直線與