2023-2024學年山東省菏澤市牡丹區(qū)王浩屯中學九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份）（含解析）

2023-2024學年山東省菏澤市牡丹區(qū)王浩屯中學九年級第一學期月考數(shù)學試卷（10月份）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確選項填寫在相應位置）1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2﹣1＝0 D．2．下列說法正確的是（）A．對角線相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線垂直的四邊形是菱形 C．三個角都是直角的四邊形是矩形 D．一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形3．若關于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍為（）A．a(chǎn)≥﹣2 B．a(chǎn)≠2 C．a(chǎn)＞﹣2且a≠2 D．a(chǎn)≥﹣2且a≠24．如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，則DH等于（）A． B． C．5 D．45．如圖，將一矩形紙片ABCD沿著直線EF剪成兩塊全等的四形紙片，根據(jù)圖中標示的長度與角度，則剪得的四邊形紙片中較長的邊BF的長是（）A．3 B．5 C．7 D．9?6．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一個根，則m的值為（）A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．07．如圖，平面直角坐標系中，點C位于第一象限，點B位于第四象限，四邊形OABC是邊長為1的正方形，OC與x軸正半軸的夾角為15°，則點B的縱坐標為（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣8．如圖，正方形ABCD中，點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，CE、DF交于G，連接AG、HG．下列結(jié)論：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）9．用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝1時，可將原方程配方成（x﹣m）2＝n，則m+n的值是．10．如圖，菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足為E，AB＝4．那么AE的長是．11．三角形兩邊的長為3和4，第三邊長是方程x2﹣10x+16＝0的根，則該三角形的周長是．12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點P為邊AB上任意一點，過點P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，則PE+PF＝．13．在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且關于x的方程x2﹣4x+b＝0有兩個相等的實數(shù)根，則AC邊上的中線長為．14．如圖，矩形ABCD的面積為5，它的兩條對角線交于點O1，以AB，AO1為兩鄰邊作平行四邊形ABC1O1，平行四邊形ABC1O1的對角線交于點O2，同樣以AB，AO2為兩鄰邊作平行四邊形ABC2O2，…，依此類推，則平行四邊形AB?nOn的面積為．三、解答題（本題共78分，把解答或證明過程寫在相應區(qū)域內(nèi)）15．解下列方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．16．已知：如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上兩點，連接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求證：AE＝CF．17．如圖，在長為50m、寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應為多少？18．如圖，已知菱形ABCD中，對角線ACBD相交于點O，過點C作CE∥BD，過點D作DE∥AC，CE與DE相交于點E．（1）求證：四邊形CODE是矩形．（2）若AB＝5，AC＝6，求四邊形CODE的周長．19．關于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一個根小于1，求m的取值范圍．20．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是正方形ABCD的邊DC上的一點，過A作AF⊥AE，交CB延長線于點F．（1）求證：△ADE≌△ABF；（2）若DE＝1，求△AFE的面積．21．下面是小明解一元二次方程2x（x﹣5）＝3（5﹣x）的過程：解：原方程可化為2x（x﹣5）＝﹣3（x﹣5），……第一步方程兩邊同除以（x﹣5）得，2x＝﹣3，……第二步系數(shù)化為1得x＝﹣．小明的解答是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請指出從第幾步開始出現(xiàn)錯誤，分析出現(xiàn)錯誤的原因，并寫出正確的解答過程．22．如圖，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM．（1）求證：AM＝AD+MC；（2）若AD＝4，求AM的長．23．如圖，利用一面墻（墻長25米），用總長度49米的柵欄（圖中實線部分）圍成一個矩形圍欄ABCD，且中間共留兩個1米的小門，設柵欄BC長為x米．（1）AB＝米（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若矩形圍欄ABCD面積為210平方米，求柵欄BC的長；（3）矩形圍欄ABCD面積是否有可能達到240平方米？若有可能，求出相應x的值；若不可能，則說明理由．24．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點D出發(fā)向點A運動，運動到點A停止，同時，點Q從點B出發(fā)向點C運動，運動到點C即停止，點P、Q的速度都是1cm/s．連接PQ、AQ、CP．設點P、Q運動的時間為ts．（1）當t為何值時，四邊形ABQP是矩形；（2）當t為何值時，四邊形AQCP是菱形；（3）分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積．

參考答案一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確選項填寫在相應位置）1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2﹣1＝0 D．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．解：A．方程2x+1＝0是一元一次方程，故本選項不符合題意，B．方程是y2+x＝1二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意，C．方程x2﹣1＝0是一元二次方程，故本選項符合題意，D．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意，故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的定義和絕對值，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．2．下列說法正確的是（）A．對角線相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線垂直的四邊形是菱形 C．三個角都是直角的四邊形是矩形 D．一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形【分析】根據(jù)正方形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，矩形的判定逐項判斷即可．解：A．對角線相等的平行四邊形是矩形，故A不正確，不符合題意；B．對角線垂直平行四邊形是菱形，故B不正確，不符合題意；C．三個角都是直角的四邊形是矩形，故C正確，符合題意；D．有一組鄰邊相等的矩形是正方形；故D不正確，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查正方形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，矩形的判定，解題的關鍵是掌握相關性質(zhì)和判定．3．若關于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍為（）A．a(chǎn)≥﹣2 B．a(chǎn)≠2 C．a(chǎn)＞﹣2且a≠2 D．a(chǎn)≥﹣2且a≠2【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案．解：由題意可知：Δ＝16+4（a﹣2）≥0，∴a≥﹣2，∵a﹣2≠0，∴a≠2，∴a≥﹣2且a≠2，故選：D．【點評】本題考查一元二次方程的根的判別式，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的根的判別式，本題屬于基礎題型．4．如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，則DH等于（）A． B． C．5 D．4【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)菱形的面積公式求出即可．解：設AC交BD于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，∵AC＝8，DB＝6，∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，由勾股定理得：AB＝＝5，∵S菱形ABCD＝，∴，∴DH＝，故選：A．【點評】本題考查了勾股定理和菱形的性質(zhì)的應用，能根據(jù)菱形的性質(zhì)得出S菱形ABCD＝是解此題的關鍵．5．如圖，將一矩形紙片ABCD沿著直線EF剪成兩塊全等的四形紙片，根據(jù)圖中標示的長度與角度，則剪得的四邊形紙片中較長的邊BF的長是（）A．3 B．5 C．7 D．9?【分析】由矩形的性質(zhì)得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，再證四邊形ABFQ是矩形，得AB＝FQ＝DC＝4，求出EQ＝FQ＝4，進而即可得出答案．解：如圖，過F作FQ⊥AD于Q，∴∠FQA＝∠FQD＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，∴四邊形ABFQ、四邊形CDQF都是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝4，QD＝CF，AQ＝BF，由題意得：AE＝CF，∴AE＝QD，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴△QEF是等腰直角三角形，∴EQ＝FQ＝4，∴AE＝QD＝×（10﹣4）＝3，∴BF＝AQ＝AE+EQ＝3+4＝7，故選：C．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定、全等圖形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解此題的關鍵．6．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一個根，則m的值為（）A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．0【分析】首先把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0解方程可得m1＝2，m2＝﹣1，再結(jié)合一元二次方程定義可得m的值．解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：m﹣2+4﹣m2＝0，﹣m2+m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，∴m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣1，故選：B．【點評】此題主要考查了一元二次方程的解和定義，關鍵是注意方程二次項的系數(shù)不等于0．7．如圖，平面直角坐標系中，點C位于第一象限，點B位于第四象限，四邊形OABC是邊長為1的正方形，OC與x軸正半軸的夾角為15°，則點B的縱坐標為（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣【分析】連結(jié)OB，作BD⊥x軸于點D，由OC＝BC＝1，∠C＝90°，得OB＝＝，由∠COB＝45°，∠COD＝15°，得∠DOB＝30°，則BD＝，則點B的縱坐標為﹣，于是得到問題的答案．解：如圖，連結(jié)OB，作BD⊥x軸于點D，則∠ODB＝90°，∵四邊形OABC是邊長為1的正方形，∴OC＝BC＝1，∠C＝90°，∴OB＝＝＝，∵∠COB＝∠CBO＝45°，∠COD＝15°，∴∠DOB＝∠COB﹣∠COD＝45°﹣15°＝30°，∴BD＝OB＝×＝，∴點B的縱坐標為﹣，故選：B．【點評】此題重點考查圖形與坐標、正方形的性質(zhì)、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．8．如圖，正方形ABCD中，點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，CE、DF交于G，連接AG、HG．下列結(jié)論：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】連接AH，由四邊形ABCD是正方形與點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，易證得△BCE≌△CDF與△ADH≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，易證得CE⊥DF與AH⊥DF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可證得AG＝AD，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得HG＝AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得∠CHG＝∠DAG．則問題得解．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，∴BE＝CF，在△BCE與△CDF中，∴△BCE≌△CDF，（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故①正確；在Rt△CGD中，H是CD邊的中點，∴HG＝CD＝AD，故④正確；連接AH，同理可得：AH⊥DF，∵HG＝HD＝CD，∴DK＝GK，∴AH垂直平分DG，∴AG＝AD，故②正確；∴∠DAG＝2∠DAH，同理：△ADH≌△DCF，∴∠DAH＝∠CDF，∵GH＝DH，∴∠HDG＝∠HGD，∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，∴∠CHG＝∠DAG．故③正確．故選：D．【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）9．用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝1時，可將原方程配方成（x﹣m）2＝n，則m+n的值是13．【分析】根據(jù)配方法可以將題目中的方程變形，然后根據(jù)題意即可得到m和n的值，從而可以求得m+n的值．解：∵x2﹣6x＝1，∴x2﹣6x+9＝1+9，∴（x﹣3）2＝10，∴m＝3，n＝10，∴m+n＝3+10＝13，故答案為：13．【點評】本題考查解一元二次方程﹣配方法，解答本題的關鍵是明確解一元二次方程的方法．10．如圖，菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足為E，AB＝4．那么AE的長是2．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB＝BC＝4，結(jié)合垂直平分線定義得到BE＝2，根據(jù)勾股定理求解即可．解：∵四邊形ABCD是菱形，AB＝4，∴AB＝BC＝4，∵AE垂直平分BC，∴BE＝BC＝AB＝2，由勾股定理得，AE＝＝2，故答案為：2．【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)，熟記“菱形的四條邊相等”是解題的關鍵．11．三角形兩邊的長為3和4，第三邊長是方程x2﹣10x+16＝0的根，則該三角形的周長是9．【分析】求出已知方程的解，確定出三角形第三邊長，求出周長即可．解：方程x2﹣10x+16＝0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣8）＝0，解得：x1＝2，x2＝8，當x＝2時，三角形三邊長分別為2，3，4，其周長＝2+3+4＝9；當x＝8時，三角形三邊長分別為8，3，4，周長為3+4＜8，不能構(gòu)成三角形，綜上所述，該三角形周長為9．故答案為：9．【點評】本題考查的是解一元二次方程﹣因式分解法，熟知利用因式分解法解一元二次方程是解答此題的關鍵．12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點P為邊AB上任意一點，過點P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，則PE+PF＝．【分析】連接OP．由勾股定理得出AC＝10，可求得OA＝OB＝5，由矩形的性質(zhì)得出S矩形ABCD＝AB?BC＝48，S△AOB＝S矩形ABCD＝12，OA＝OB＝5，由S△AOB＝S△AOP+S△BOP＝OA?PE+OB?PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12求得答案．解：連接OP，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB，AC＝＝＝10，∴S矩形ABCD＝AB?BC＝48，S△AOB＝S矩形ABCD＝12，OA＝OB＝5，∴S△AOB＝S△AOP+S△BOP＝OA?PE+OB?PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，∴PE+PF＝；故答案為：．【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．13．在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且關于x的方程x2﹣4x+b＝0有兩個相等的實數(shù)根，則AC邊上的中線長為2．【分析】由根的判別式求出AC＝b＝4，由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論．解：∵關于x的方程x2﹣4x+b＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝16﹣4b＝0，∴AC＝b＝4，∵BC＝2，AB＝2，∴BC2+AB2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，AC是斜邊，∴AC邊上的中線長＝AC＝2；故答案為：2．【點評】本題考查了根的判別式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；證明△ABC是直角三角形是解決問題的關鍵．14．如圖，矩形ABCD的面積為5，它的兩條對角線交于點O1，以AB，AO1為兩鄰邊作平行四邊形ABC1O1，平行四邊形ABC1O1的對角線交于點O2，同樣以AB，AO2為兩鄰邊作平行四邊形ABC2O2，…，依此類推，則平行四邊形AB?nOn的面積為．【分析】逐步探究平行四邊形與矩形的面積之間的關系，找規(guī)律解答．解：后面的每一個平行四邊形都與第一個矩形ABCD同底不同高，而第n個平行四邊形的高是矩形ABCD的，所以平行四邊形AB?nOn的面積為．【點評】此題屬規(guī)律探究歸納題，考查了學生矩形和平行四邊形的有關知識，要求考生具備有從特殊到一般的數(shù)學思考方法和有較強的歸納探究能力，才能正確地作出解答．三、解答題（本題共78分，把解答或證明過程寫在相應區(qū)域內(nèi)）15．解下列方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．【分析】（1）配方法求解可得；（2）因式分解法求解可得．解：（1）x2+4x﹣1＝0，x2+4x＝1，x2+4x+4＝5，（x+2）2＝5，x+2＝±，解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）分解因式得：（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，可得x﹣3＝0或3x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝1．【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．16．已知：如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上兩點，連接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求證：AE＝CF．【分析】利用菱形的性質(zhì)可得DA＝DC，進而可得∠DAC＝∠DCA，∠ADE＝∠CDF，利用ASA證明△DAE≌△DCF可證明結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠ADF＝∠CDE，∴∠ADF﹣∠EDF＝∠CDE﹣∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△DAE和△DCF中，，∴△DAE≌△DCF（ASA），∴AE＝CF．【點評】本題主要考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△DAE≌△DCF是解題的關鍵．17．如圖，在長為50m、寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應為多少？【分析】要求路寬，就要設路寬應為x米，根據(jù)題意可知：矩形地面﹣所修路面積＝草坪面積，利用平移更簡單，依此列出等量關系解方程即可．解：設路寬應為x米根據(jù)等量關系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，解得：x＝4或40，40不合題意，舍去，所以x＝4，答：道路的寬應為4米．【點評】解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．18．如圖，已知菱形ABCD中，對角線ACBD相交于點O，過點C作CE∥BD，過點D作DE∥AC，CE與DE相交于點E．（1）求證：四邊形CODE是矩形．（2）若AB＝5，AC＝6，求四邊形CODE的周長．【分析】（1）由條件可證得四邊形CODE為平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)可求得∠COD＝90°，則可證得四邊形CODE為矩形；（2）由菱形的性質(zhì)可求得AO和OC，在Rt△AOB中可求得BO，則可求得OD的長，則可求得答案．【解答】（1）證明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形CODE為平行四邊形，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴平行四邊形CODE是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AO＝OC＝AC＝×6＝3，OD＝OB，∠AOB＝90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得BO2＝AB2﹣AO2，∴BO＝＝4，∴DO＝BO＝4，∴四邊形CODE的周長＝2×（3+4）＝14．【點評】本題主要考查矩形、菱形的判定和性質(zhì)，掌握矩形的判定方法及菱形的對角線互相垂直平分是解題的關鍵．19．關于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一個根小于1，求m的取值范圍．【分析】（1）計算判別式的值，利用配方法得到Δ＝（m﹣4）2，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到△≥0，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論．（2）利用求根公式得到x1＝m﹣2，x2＝2．根據(jù)題意得到m﹣2＜1．即可求得m＜3．【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，∴此方程總有兩個實數(shù)根．（2）解：∵Δ＝（m﹣4）2≥0，∴x＝＝．∴x1＝m﹣2，x2＝2．∵此方程有一個根小于1．∴m﹣2＜1．∴m＜3．【點評】本題考查的是根的判別式及一元二次方程的解的定義，在解答（2）時得到方程的兩個根是解題的關鍵．20．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是正方形ABCD的邊DC上的一點，過A作AF⊥AE，交CB延長線于點F．（1）求證：△ADE≌△ABF；（2）若DE＝1，求△AFE的面積．【分析】（1）正方形的邊長相等，四個角相等，即AD＝AB，∠ABF＝∠D＝90°，根據(jù)條件還能證∠FAB＝∠DAE，故能證明△ADE≌△ABF．（2）DE＝1，AD＝4，根據(jù)勾股定理能求出AE的長．【解答】（1）證明：∵AF⊥AE，∴∠FAB+∠EAB＝90°，∵∠DAE+∠EAB＝90°，∴∠FAB＝∠DAE．∵AD＝AB，∠ABF＝∠D＝90°，∴△ADE≌△ABF．（2）解：∵△ADE≌△ABF，∴AF＝AE．∵DE＝1，AD＝4，∠D＝90°，∴AE＝＝．∴△AFE的面積為：××＝．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，四邊相等，四個角相等，以及全等三角形的判定和性質(zhì)．21．下面是小明解一元二次方程2x（x﹣5）＝3（5﹣x）的過程：解：原方程可化為2x（x﹣5）＝﹣3（x﹣5），……第一步方程兩邊同除以（x﹣5）得，2x＝﹣3，……第二步系數(shù)化為1得x＝﹣．小明的解答是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請指出從第幾步開始出現(xiàn)錯誤，分析出現(xiàn)錯誤的原因，并寫出正確的解答過程．【分析】先移項，再提取公因式分解因式，即可得到兩個一元一次方程的積，再解一元一次方程即可．解：從第二步開始出現(xiàn)的錯誤，其錯誤原因是等式的性質(zhì)2用錯，正確的解答過程如下：2x（x﹣5）＝﹣3（x﹣5），2x（x﹣5）+3（x﹣5）＝0，（x﹣5）（2x+3）＝0，則x﹣5＝0或2x+3＝0，解得：x1＝5、x2＝﹣．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．22．如圖，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM．（1）求證：AM＝AD+MC；（2）若AD＝4，求AM的長．【分析】（1）從平行線和中點這兩個條件出發(fā)，延長AE、BC交于點N，易證△ADE≌△NCE，從而有AD＝CN，只需證明AM＝NM即可．（2）設MC＝x，則BM＝4﹣x，由勾股定理與（1）的結(jié)論得出AM＝＝＝4+x，解得x即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：延長AE、BC交于點N，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠ENC，∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE，∴∠ENC＝∠MAE，∴AM＝MN，在△ADE和△NCE中，，∴△ADE≌△NCE（AAS），∴AD＝NC，∴AM＝MN＝NC+MC＝AD+MC；（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝4，∠B＝90°，設MC＝x，則BM＝4﹣x，AM＝＝，∵AM＝AD+MC＝4+x，∴＝4+x，解得：x＝1，∴AM＝5．【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關鍵．23．如圖，利用一面墻（墻長25米），用總長度49米的柵欄（圖中實線部分）圍成一個矩形圍欄ABCD，且中間共留兩個1米的小門，設柵欄BC長為x米．（1）AB＝（51﹣3x）米（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若矩形圍欄ABCD面積為210平方米，求柵欄BC的長；（3）矩形圍欄ABCD面積是否有可能達到240平方米？若有可能，求出相應x的值；若不可能，則說明理由．【分析】（1）設柵欄BC長為x米，根據(jù)柵欄的全長結(jié)合中間共留2個1米的小門，即可用含x的代數(shù)式表示出AB的長；（2）根據(jù)矩形圍欄ABCD面積為210平方米，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論；