2021年高考數(shù)學真題逐題揭秘第4題 正弦型函數(shù)的單調性及應用（原卷版）

第4題正弦型函數(shù)的單調性及應用

一、原題呈現(xiàn)

71

【原題】下列區(qū)間中，函數(shù)〃x）=7sinX--單調遞增的區(qū)間是（）

【答案】A

【解析】

兀兀、（兀、

（2k-n.--,2kn+-\（keZ）,對于函數(shù)/（x）=7sinx--I,

由2%r—巴<x—C<2E+巴伏eZ）,解得2E-2<x<2E+如伏eZ）,取左=0,可得函數(shù)/（力的?

26233

個單調遞增區(qū)間為則（0,5）=（一三）選項滿足條件,B不滿足條件;

取攵=1,可得函數(shù)f（x）的一個單調遞增區(qū)間為

(zCD選項均不滿足條件，故選A.

TT

解法二：利用復合函數(shù)的單調性逐個驗證,設-一

6

（兀\（兀兀）（71兀、

對于A,當xqo,「j時/由y=7sinf在［一「,1）上是增函數(shù)，可得A滿足條件;

對于B,當兀卜寸fe71571兀5兀

37，由y=7sinf在上不單調，可得B不滿足條件;

5兀4兀（5兀4兀1

對于C,當時fe油y=7sinf在［不,可）上是減函數(shù)，可得C不滿足條件;

T'T

對于D,當xe（三,2兀）4兀11714兀1171

時/e，由y=7sinf在丁'工上不單調，可得D不滿足條件;

故選A.

兀

解法三：/(x)=7sinX--在區(qū)間(。⑼上單調遞增，則xe(a,b)時/(x)=7cosNO恒成立.

對于A,當時—<%—<一,r(%)>o恒成立,A滿足條件;

663

-g<0,可得B不滿足條件;

對于B,當xe時，由/'

對于C,當尤€卜，與)吐由/7兀

=COST:=-1<0，可得C不滿足條件;

對于D,當xe哥,2兀)時，由f等17K

cos—<0,可得D不滿足條件;故選A.

【就題論題】本題以正弦型函數(shù)為載體，考查三角函數(shù)的單調性,試題簡潔流暢，屬于常規(guī)題型,側重對重要基

礎知識的考查.三角函數(shù)單調性是三角函數(shù)的一個重要性質,也是高考考查的熱點，對于求正弦型函數(shù)的單調

性課本有不少類似的題，這說明課本是高考試題的生長點，復習時不要丟掉課本.

二、考題揭秘

【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的單調性，考查數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：容易.

【考情分析】三角函數(shù)與解三角形在新高考全國卷中一般有2道客觀題』道解答題，解答題一般考查解三角

形,客觀題考查熱點是三角變換及三角函數(shù)的圖象與性質.

【得分秘籍】

(1)求形如y=Asin(0x+0)(其中。>0)的單調區(qū)間時，要視“cox+夕”為一個整體，通過解不等式求解；

(2)已知三角函數(shù)的單調區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調區(qū)間，然后利用集合間的關系求解；如已知3>0,函數(shù)

jr7T

/U)=cos(0x+?在傷㈤上單調遞增，求m的取值范圍.可先根據(jù)函數(shù)y=cosx的單調遞增區(qū)間為［—兀+

［詈+至-兀+2也，

2也,2也］火￡2,列出不等式組12WZ,解得42—尹>324一4次《Z,

［①兀+42也，

再根據(jù)以一搭一(2&-Jwo/ez且2T>o,kez,得/=1,求得3的取值范圍是弓，\.

(3)求函數(shù)產Asin(Ox+9)在區(qū)間［a,可上的值域或最值，一般根據(jù)y=4sin(s+0)在區(qū)間可上的單調性來

求；

⑷研究y=asinx+Ocos尤的單調性，要先利用輔助角公式把函數(shù)化為構造y=后年sinQ+夕)的形式；

(5)研究y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x+d的單調性，要先利用

sii?x=1-cos2;smxcosx=工sin2x,cos?x=匕上必降幕，再利用輔助角公式把函數(shù)化為構造y

222

=Asin(2r+^)+B的形式.

【易錯警示】

(1)研究y=Asin@x+0)的單調性時，如果3<0,一定先借助誘導公式將3化為正數(shù),防止把單調性弄錯；

(2)把丁=asinx+bcosx化為y="\/?TPsin(x+9)時忽略tp所在象限，導致9值求錯.

(3)單調區(qū)間表示不規(guī)范，如沒有用區(qū)間表示，沒有寫k?Z等.

三、以例及類

(以下所選試題均來自新高考I卷地區(qū)2020年1-6月模擬試卷)

單選題

1.(2021福建省寧德市高三質量檢查)若偶函數(shù)/(x)=Jisin(2x+/)+cos(2x+?^-?,0上為減函

數(shù)，則<p的可能取值為()

it71c5%2萬

A.-B.—C.----D.----

6363

2.(2021廣東省燕博園高三3月數(shù)學綜合能力測試)已知函數(shù)/(x)=Asin(5+。)(A4,9均為正常

數(shù))，相鄰兩個零點的差為一3,對任意x,/(x)2/*恒成立，則下列結論正確的是()

A./(2)</(-2)</(O)B./(O)</(2)</(-2)

C./(-2)</(O)</(2)D./(2)</(0)</(-2)

兀

3.(2021河北省滄州市高三三模)把函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移一個單位長度，再將所得圖象向上平移

3

1個單位長度，可得到函數(shù)/(x)的圖象，則()

A./(x)=2sin^2x+|^|+lB.的最小正周期為2乃

C.“X)的圖象關于直線x=2對稱D./(X)在g,當上單調遞減

6612

4.(2021湖北省武漢市蔡甸區(qū)漢陽一中高三下學期二模)已知函數(shù)f(x)=sincox+y/3cosa)x(co>0)

點依次構成一個公差為上7T的等差數(shù)列，把函數(shù)/")的圖象沿X軸向右平移上TT個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，

則函數(shù)g（x）（)

A.是偶函數(shù)B.其圖象關于直線對稱

71717T2兀上的值域為［-6,可

c.在上是增函數(shù)D.在區(qū)間

426'T

5.（2021湖南省三湘名校教育聯(lián)盟高三下學期第三次大聯(lián)考）函數(shù)&sin（3x+9）（3>O,|0|<?r）的部分

圖象如圖所示，則兀0的單調遞增區(qū)間為（）

,兀7萬，

B.[ATTH----------1，攵￡Z

1212

717t7C5乃

C.[kn---,左加+一],k^ZD.[kjr^--流江H----],上￡Z

221212

713>。）在區(qū)間V片上單調遞增,

6.（2021湖南省懷化市高三聯(lián)考）己知函數(shù)/（x）=sin①X+——

6

則。的取值范圍為（）

A.(o,|J_8'

B.C.D.

4.253?2

7.（2021江蘇省鎮(zhèn)江市四校高三聯(lián)考）函數(shù)/（x）=Asin（（yx+e）［A>0,@>0,lel<￡j的部分圖象如圖

71

所示,將函數(shù)/（X）的圖象向左平移一個單位長度后得到y(tǒng)=g（x）的圖象，則下列說法正確的是（）

3

A.函數(shù)g(x)為奇函數(shù)

B.函數(shù)g(X)的最小正周期為2"

TT

C.函數(shù)g(x)的圖象的對稱軸為直線x=+—(kcZ)

6

57r7t

D.函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間為一五+k兀,豆+k兀(ZeZ)

8.(2021山東省淄博市高三一模)己知/(%)=85小00%+四5詁q在區(qū)間一半加上的最大值是3,

_3_2

則實數(shù)m的最小值是()

7tc兀c冗r冗

A.—B.-C.---D.一

123126

9.(2021山東省日照第一中學高三第二次聯(lián)合考試)已知函數(shù)/(x)在定義域上是單調函數(shù)，且

/[/(x)-2020']=2021,當g(x)=sinx—gcosx-依在上與/(x)在R上的單調相同時，

實數(shù)左的取值范圍是()

A.(—co,—l]B,1,A/3JC.(-00,—D.(\/5,+℃]

10.(2021廣東省惠州市高三下學期一模)切割是焊接生產備料工序的重要加工方法，各種金屬和非金屬切

割已經成為現(xiàn)代工業(yè)生產中的一道重要工序.被焊工件所需要的幾何形狀和尺寸，絕大多數(shù)是通過切割來實

現(xiàn)的.原材料利用率是衡量切割水平的一個重要指標.現(xiàn)需把一個表面積為28兀的球形鐵質原材料切割成為-

個底面邊長和側棱長都相等的正三棱柱工業(yè)用零配件，則該零配件最大體枳為()

A.6B.673C.18D.竽

二、多選題

11.(2021廣東省珠海市高三二模)已知函數(shù)〃x)=cos2x+26sinxcosx-sir^x,則()

A.乃是函數(shù)“X)的一個周期

jr

B.x=一一是函數(shù)〃x)的一條對稱軸

6

C.函數(shù)/(X)的一個增區(qū)間是1號高

D.把函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移2個單位，得到函數(shù)/(X)的圖像

12.(2021廣東省汕頭市高三三模)已知函數(shù)/(x)=asinx+Z?cosx(a/?HO),且對任意xwR都有

=則以下正確的有()

A.“X)的最小正周期為2乃B./'(X)在—上單調遞減

o0

D.q=正

c.x=3-是”X)的一個零點

b3

13.(2021河北省石家莊市高三下學期質檢)函數(shù)/、(x)=2sin3x+0)(ty>0,0<o(%)的圖象如圖，把

函數(shù)/(x)的圖象上所有的點向右平移弓個單位長度，可得到函數(shù)y=g(x)的圖象，下列結論正確的是()

B.函數(shù)g(x)的最小正周期為乃

jrjr

C.函數(shù)g(x)在區(qū)間-H，五上單調遞增

D.函數(shù)g(x)關于點［-?,())中心對稱

14.(2021湖北省武漢市武昌區(qū)高三下學期5月質量檢測)已知函數(shù)/(x)=sins-sin[s+gj(o>0)

在[o,句上的值域為一等,1,則實數(shù)。的值可能取()

45

A.1B.—C.-D.2

33

15.(2021湖北省十堰市高三下學期4月調研)已知函數(shù)/(x)=2asin@xcos@x-2cos2④x+l

(3>0,。>0),若/(幻的最小正周期為)，且對任意的xwRJ(x)之/(%)恒成立，下列說法正確的有

()

A.co=2

B.若X。二—：，則a=A/3

6

C.若_1]=2,則Q=6

D.若g(x)=/(%)-2"(X)|在卜。-苓與-上單調