2021年北京市延慶區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

2021年北京市延慶區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）

1.已知全集U={-1,0,1,2,3},集合4={0,1,2},B=[-1,0,1},則(2)UB=()

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3)D.{-1,0,1.3}

2.已知｛即｝為無(wú)窮等比數(shù)列，且公比0<q<L記S”為｛即｝的前八項(xiàng)和，則下面結(jié)論

正確的是（）

A.<&2B.xa2>0

C.｛即｝是遞減數(shù)列D.Sn存在最小值

3.已知拋物線C：y2=?的焦點(diǎn)為凡過(guò)點(diǎn)尸的直線/交C于兩點(diǎn)，且|AB|=8,

則線段A8中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）

A.1B.2C.3D.4

4.設(shè)則“/-5%+6<0”是“|x-2|<1"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.某四棱錐的三視圖如圖所示，其中正（主）視圖是等腰直角三角形，側(cè)（左）視圖是直

角三角形，俯視圖是直角梯形，則該四棱錐的體積是（）

側(cè)（左）視圖

A.1C.3D.4

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的方程為y=k（尤+1）+3,以點(diǎn)（1,1）為圓心且

與直線/相切的所有圓中，半徑最大的圓的半徑為（）

A.2B.2V2C.4D.8

7.已知定義在R上的塞函數(shù)f（x）=婢（m為實(shí)數(shù)）過(guò)點(diǎn)4（2,8）,記a=f（\og033）,b=

/Qog25),c=f(m),則K,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

8.設(shè)。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2CD，貝女）

A.AD=--AB+-ACB.AD=--AB+-AC

3322

C.AD=-AB+-ACD.AD='-AB--AC

2222

9.已知函數(shù)=+則不等式/(X)-2,>0的解集是()

I—x2+2%+l,x0,

A.(TO)u(0,1)B.(-14)C.(0,1)D.(-1,+8)

10.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.根據(jù)規(guī)定：駕駛員的100〃也血液中酒精含量

為［0,20)mg,不構(gòu)成飲酒駕車行為(不違法)，達(dá)至盯20,80)mg的即為酒后駕車，80〃?g

及以上為醉酒駕車.某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了

1.6mg/mL,若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小時(shí)減少20%,要想不構(gòu)成酒

駕行為，那么他至少經(jīng)過(guò)()(參考數(shù)據(jù)：0.84=0.41,0.86=0.26,0.88=

0.17,0.810=0.11)

A.4小時(shí)B.6小時(shí)C.8小時(shí)D.10小時(shí)

二、單空題(本大題共5小題，共25.0分)

11.若復(fù)數(shù)z=(1-2i)(a+i)(i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則a=.

12.已知雙曲線1((1>0/>0)的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(2,g)，則雙曲線的離心率

為.

13.在二項(xiàng)式(&+X)7的展開(kāi)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是.

14.已知AABC的面積為2舊，AB=2,NB=g,則黑=.

15.同學(xué)們，你們是否注意到：自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電

線：峽谷的上空，橫跨深澗的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài).事

實(shí)上，這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線.懸鏈線的相關(guān)理論在工程、航海、光

學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為/(x)=aex+

be-(其中“，人是非零常數(shù)，無(wú)理數(shù)e=2.71828...),對(duì)于函數(shù)/(x)以下結(jié)論正確

的是.

①如果a=b,那么函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；

②如果ab<0,那么/(x)為單調(diào)函數(shù)；

③如果ab>0,那么函數(shù)/(x)沒(méi)有零點(diǎn)；

④如果ab=1,那么函數(shù)f(x)的最小值為2.

三'解答題(本大題共6小題，共85.0分)

16.已知函數(shù)/(x)=2gs譏xcosx—2as譏2%+a(a>0),再?gòu)臈l件①，條件②中選擇

一個(gè)作為已知，求：

第2頁(yè)，共16頁(yè)

(I)a的值；

(n)將/(切的圖象向右平移%個(gè)單位得到g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間.

條件①：/(x)的最大值為2；

條件②：照)=一1.

17.如圖，四棱柱4BCD-&B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)

為2的正方形，側(cè)面4。。送1為矩形，且側(cè)面ADDJi1

底面ABCD,Aa=4,E,M,N分別是BC,BB】，A】D

(I)求證：MN〃平面GOE；

(II)求二面角。-C[E-/的余弦值.

18.2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，簡(jiǎn)稱“北京張家口冬奧會(huì)”，將在2022年

02月04日?2022年02月20日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行，這是中國(guó)歷史上第

一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京將承辦所有冰上項(xiàng)目，延慶和張家口將承辦所有的雪上

項(xiàng)目.如表是截取了2月5日和2月6日兩天的賽程表：

(I)(團(tuán))若在這兩天每天隨機(jī)觀看一個(gè)比賽項(xiàng)目，求恰好看到冰壺和冰球的概率；

(團(tuán))若在這兩天每天隨機(jī)觀看一場(chǎng)決賽，求兩場(chǎng)決賽恰好在同一賽區(qū)的概率；

(U)若在2月6日(星期日)的所有決賽中觀看三場(chǎng)，記X為賽區(qū)的個(gè)數(shù)，求X的分

布列及期望E(X).

19.已知函數(shù)f(x)=—Znx+2久一2.

(I)求曲線y=/(x)的斜率等于1的切線方程；

(口)求函數(shù)/(為的極值；

(DI)設(shè)g(x)=//(x)-2/(x),判斷函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

第4頁(yè)，共16頁(yè)

20.已知橢圓C：捻+'=l(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1冷，離心率6=多

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(口)設(shè)AB是經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的一條弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且A在8的上方)，直線AB

與直線x=2相交于點(diǎn)M,記PA,PB,PM的斜率分別為七，k2,k3,將心、的、

的如何排列能構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，證明你的結(jié)論.

21.若無(wú)窮數(shù)列｛an｝滿足：3me/V*,對(duì)于Vn3許⑺。€N*),都有等^=q(其中g(shù)

u

為常數(shù))，則稱｛〃｝具有性質(zhì)Q(m,n0,qy.

(1)若｛)｝具有性質(zhì)”Q(3,2,2)"，且。2=。4=2,a6+a7+a8=18,求的；

(n)若無(wú)窮數(shù)列也n｝是等差數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列｛7｝是公比為:的等比數(shù)列，b3=c3=4,

瓦+Q=C2,an=bn+cn,判斷｛廝｝是否具有性質(zhì)“Q(2,l,2)”，并說(shuō)明理由;

(皿)設(shè)｛冊(cè)｝既具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)“Q(/,l,q2)”，其中

j-t

i〈j，求證：｛an｝具有性質(zhì)“Q0—i,i+i,q')”.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：；U={-1,0，1，2,3},A={0,1,2},B=[-1,0,1),

.??"={-1,3}，(CMUB={-1,O,1,3}.

故選：D.

進(jìn)行補(bǔ)集、并集的運(yùn)算即可.

本題考查了列舉法的定義，并集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：例如數(shù)列{斯}以-2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，

a2=-1,a3=A,C,。顯然錯(cuò)誤；

%?勾=>0一定成立，B正確;

故選：B.

利用反例：數(shù)列{a,J以-2為首項(xiàng)，以;為公比的等比數(shù)列，分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：如圖，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(l,0),準(zhǔn)線為

x——1,即x+1=0.

分別過(guò)A,B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C,D,

則有|4B|=\AF\+\BF\=\AC\+\BD\=8.

過(guò)AB的中點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,

則MN為直角梯形A8ZJC中位線，

則|MN|=1|4C|+|BD|)=4,所以M的橫坐標(biāo)為：3.

故選：C.

根據(jù)題意，作出拋物線的簡(jiǎn)圖，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程，分析可得“N為

直角梯形A8ZJC中位線，由拋物線的定義分析可得答案.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)以及拋物線的定義，注意利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化分析，

是中檔題.

第6頁(yè)，共16頁(yè)

4.【答案】A

【解析】解：由X2-5X+6<0,解得2<X<3；

由|x-2|<1,化為：—1<%—2<1,解得：1<x<3.

由2cx<3=l<x<3,反之不成立.

???-5x+6<0”是“|x-2|<r的充分而不必要條件，

故選：A.

利用不等式的解法分別化簡(jiǎn)“一-5》+6<0”是“合一2|<1"，進(jìn)而判斷出關(guān)系.

本題考查了不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體為四棱錐，底面A8C。為直角梯形，AD//BC,AB1AD,

PA，底面ABCD,且PA=AD=2,AB=BC=1,

則該幾何體的體積為V=|xi(l+2)xlx2=l.

故選：A.

由三視圖還原原幾何體，該幾何體為四棱錐，底面ABCQ為直角梯形,AD〃8C,AB14D,

PAJ■底面A8C￡>,S.PA=AD=2,AB=BC=1,再由棱錐體積公式求解.

本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：直線y=k(x+1)+3過(guò)定點(diǎn)P(—1,3),

已知點(diǎn)的坐標(biāo)為

則以點(diǎn)為圓心且與直線/相切的所有圓中，

半徑最大的圓的半徑為r=\PM\=V(-l-l)2+(3-l)2=2V2.

故選：B.

由直線方程求得直線所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式得答案.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，正確理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解:將4(2,8)代入/(X),得:2m=8,解得:m=3,

故/'(x)=/，/(X)=3%2>0,/(%)在R單調(diào)遞增，

而10go.$3<0,2<log25<3,m=3,

故a<b<c,故選：A.

求出函數(shù)/(x)的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a,b,。的大小關(guān)系即可.

本題考查了塞函數(shù)的定義，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查函數(shù)值的大小比較，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：由題意可知，。為A4BC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),

如圖所示，

則有荏+元=就①，

AC+CD=AD(2)，

因?yàn)榍?2而，代入①中可得荏+2而=前③，

由②③可得，AD=-^AB+^AC.

故選：B.

根據(jù)向量的加法法則進(jìn)行求解轉(zhuǎn)化即可.

本題考查了平面向量加法法則的基本運(yùn)算，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

9.【答案】A

［解析］解:分別畫出函數(shù)y=/(尤)與y=2丫

的圖象，如圖所示，

由圖象可得不等式f(x)-2丫>0的解集是

(-1,0)U(0,1)

故選：A.

第8頁(yè)，共16頁(yè)

分別畫出函數(shù)y=/(x)與y=2、的圖象，由圖象可得答案.

本題考查了分段函數(shù)以及函數(shù)圖象的畫法，考查了不等式的解集，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】D

【解析】解：設(shè)酒后經(jīng)過(guò)x小時(shí)后就不構(gòu)成酒駕，

???160X(1-20%尸<20,

0.8x<0.125,

:.x>10,

故選：D.

利用題中的條件，列出血液中酒精含量與酒后時(shí)間的關(guān)系式，再利用指數(shù)不等式，即可

解出.

本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，指數(shù)不等式的解法，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】-2

【解析】解：因?yàn)閦=(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是純虛數(shù)，

所以a+2—0且1-2aH0>

解得a=-2.

故答案為：-2.

先利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,然后由純虛數(shù)的定義求解即可.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的基本概念的運(yùn)用，考查了化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

12.【答案】紅

2

【解析】解：雙曲線會(huì)，=1(&>0/>0)的漸近線方程為丫=士豪，

由一條漸近線過(guò)點(diǎn)(2,百)，可得

則e=￡=11+^=

aYa2y42

故答案為：旦.

2

求得雙曲線的漸近線方程，由題意可得漸近線的斜率，再由離心率公式，計(jì)算可得所求

值.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

13.【答案】4

【解析】解：二項(xiàng)式(夜+x)7的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為療(魚(yú))7T”，

當(dāng)7-k為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)系數(shù)為有理數(shù)，

則k=7,k=5,k=3,k=1,

故系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，

故答案為：4.

寫出通項(xiàng)公式，根據(jù)7-k為偶數(shù)求出發(fā)的值，再求出系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù).

本題考查了二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】V3

【解析】解：因?yàn)椤鰽BC的面積為2遮=-BC-

7T

sinB,AB=2,Z-B=

所以2V5—X2xBCx歸可得BC=4,

22

所以由余弦定理可得4c=V/1B2+BC2-2AB-BC-cosB=

J22+42-2X2X4X|=2V3.

所以陋="=獨(dú)=百

sinCAB2

故答案為：V3.

由已知利用三角形的面積公式可求BC的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求AC的值，根據(jù)正

弦定理即可求解絲；的值.

sinC

本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考

查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】②③

【解析】解：當(dāng)a=匕時(shí)f(x)=aex+be-x=a(ex+e-x),函數(shù)/(x)定義為R且/(一%)=

a(ex+e~x)=/(x),.?.函數(shù)/'(x)為偶函數(shù).二①錯(cuò)誤；

y=靖是增函數(shù)且y>0,y=「才是減函數(shù)且y>0..?.當(dāng)a>0、b<0時(shí)函數(shù)f(x)為增

函數(shù)，當(dāng)a<0、b>0時(shí)函數(shù)f(x)為減函數(shù)，.?.②正確；

ab>0,a、b同正或同負(fù)，又「ex>0jle-x>0,f(x)一定不為零，二函數(shù)/'(x)沒(méi)

有零點(diǎn)；.??③正確；

第10頁(yè)，共16頁(yè)

當(dāng)a=b=-1時(shí)，/(%)—~(ex+e-z)<-2yjex-e~x=-2,有最大值-2,④錯(cuò)誤：

故答案為：②③.

①根據(jù)奇偶性定義可得/(久)為偶函數(shù)；

②由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性對(duì)此題進(jìn)行分析可知/(x)為單調(diào)函數(shù)；

③由蠟>0,e-久〉。可知/(x)沒(méi)有零點(diǎn)；

④當(dāng)a<0且b<0時(shí)f(x)有最大值.

本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)最值、基本不等式、分類討論思想、

運(yùn)算及推理能力，屬于中檔題.

16.【答案】解：(I)選擇①：因?yàn)?'(%)=+a?cos2x,

所以/(x)=V3+a2sin(2x+cp),其中￡即卬=苴，

所以V3+a2=2,又因?yàn)閍>0,

所以a=1.

選擇②：/(7)=2V3xlxO+a-ax2xl=-a=-l,

所以a=1.

(&tan<p=卷不寫不扣分，②每個(gè)值計(jì)算正確各給一分)

(II)因?yàn)?(%)=y/3sin2x+cos2x=2sin(2x+y-).

所以9(%)=2sin[2(x-g)=2sin(2x-^),

則2/CTT—W42x—mW2/CTT+3，fcGZ,

262

整理得/ot-gw%w+￡k€Z,

o3

所以函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為即一/時(shí)+?(keZ).

【解析】(I)選①②時(shí)，直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一

步求出。的值；

(n)利用函數(shù)的圖象的平移變換和整體思想的應(yīng)用求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象

的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力

和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】(I)證明：連結(jié)ME,因?yàn)镸,E分別為

BBi，BC的中點(diǎn)，

所以且ME/C,

又因?yàn)镹為4。的中點(diǎn)，所以

由題設(shè)知AiBJ/DC且&BI=DC,可得BiC〃&D且BiC=&D,

故ME〃N。且ME=ND,因此四邊形MNCE為平行四邊形，

所以MN〃ED,

又MN，平面GDE,EDu平面GDE,

所以MN〃平面GDE；

(II)因?yàn)榈酌鍭BC。是正方形，所以CDJ.40,

又因?yàn)閭?cè)面4。。送11底面ABCD,且側(cè)面4。。送1n底面48co=AD,CDu平面ABCD,

所以CD_L平面4叫&,又DDiu平面4。。送1，

所以CDJ.DD1，又因?yàn)閭?cè)面為矩形，所以ZD1D2，

以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz如圖所示，

其中。(0,0,0),G(0,2,4),E(l,2,0),C(0,2,0),

所以西=(0,2,4),DE=(1,2,0),

因?yàn)镃D1平面所以DC1平面BCGa,

故比=(0,2,0)為平面GEBi的一個(gè)法向量，

設(shè)五=(x,y,z)為平面DCiE面的法向量，

則￡西=。，即｛能葭。,

Vn-DE=01%+zy-u

令y=-2,可得五=(4,-2,1),

所以cos<DC,n>=二=—7=-—空巴

：|D2C；|-|n|2xV2121

因?yàn)槎娼茿-DE-Bl的平面角是鈍角，

所以二面角/-DE-B］的余弦值一等.

【解析】(I)連結(jié)BiC,ME,利用中位線定理可證明四邊形MNQE為平行四邊形，從

而得到MN〃ED,由線面平行的判定定理證明即可；

(II)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求

出平面的法向量，然后由向量的夾角公式求解即可.

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面平行的判定定理的應(yīng)用，在求解有關(guān)空間

角問(wèn)題的時(shí)候，一般會(huì)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量問(wèn)題

進(jìn)行研究，屬于中檔題.

第12頁(yè)，共16頁(yè)

18.【答案】解：(I)。)記“在這兩天每天隨機(jī)觀看一個(gè)項(xiàng)目，恰好看到冰壺冰球”為

事件A.

由表可知，在這兩天每天隨機(jī)觀看一個(gè)項(xiàng)目，共有10x10=100種不同方法，

其中恰好看到冰壺冰球，共有2種不同方法.

所以，恰好看到冰壺和冰球的概率PQ4)=總=表.

儂)記”在這兩天每天隨機(jī)觀看一場(chǎng)決賽，兩場(chǎng)決賽恰好在同一賽區(qū)”為事件B.

由表可知，在這兩天每天隨機(jī)觀看一場(chǎng)決賽共有6X7=42種不同方法，

其中兩場(chǎng)決賽恰好在北京賽區(qū)共有2種不同方法，在張家口賽區(qū)共有4X4=16.

所以P(8)=等=*

(II)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3.

根據(jù)題意，P(X=1)=,=9

D?_ox_C}C^+C}Ci+C}_1+6+12+4_23

"(X=，)=d=—35—=35*

P(X=3)=cb竽=A.

I/C；35

隨機(jī)變量X的分布列是:

X123

4238

P

353535

數(shù)學(xué)期望E(X)=lx^+2xg+3x^=^.

OO

【解析】(I)(i)記“在這兩天每天隨機(jī)觀看一個(gè)項(xiàng)目，恰好看到冰壺冰球”為事件4

利用古典概型能求出恰好看到冰壺和冰球的概率.

(ii)記“在這兩天每天隨機(jī)觀看一場(chǎng)決賽，兩場(chǎng)決賽恰好在同一賽區(qū)”為事件B,利用

古典概型能求出兩場(chǎng)決賽恰好在同一賽區(qū)的概率.

(n)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變

量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

本題考查概率、離散型隨機(jī)事件的分布列、數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算，考查古典概型、排列組合

等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題.

19.【答案】解：(I)設(shè)切點(diǎn)為(均,%),???/'(%)=—：+2,

1

?*-----F2=1,x0=1,y0=-Ini+2—2=0,

???切線方程為y—0=1x(%—1),即y=x—1；

(n)/(x)的定義域?yàn)?o,+8).

令f'(x)=0，即一：+2=0,x=p

11

令((x)>0,得x>y,令廣。)<0,得0<x(牙

故/(x)在(0弓)上單調(diào)遞減，在G，+8)上單調(diào)遞增，

???f(x)存在極小值/(》=m2+1-2=/2-1,無(wú)極大值；

(m)函數(shù)g(x)=x2f(x)-2/(%)=(x2-2)/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，理由如下:

由(口)知，f(x)在(0弓)上單調(diào)遞減，在(：,+8)上單調(diào)遞增，

且/?(劫=2+占-2=Q0,/(|)=Zn2+l-2=Zn2-l<0,

二存在唯一々)e(2*),使得/(沏)=0,

又???/⑴=0+2—2=0,g(近)=(2-2)/(x)=0,

且三個(gè)零點(diǎn)互不相同，.??函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn).

【解析】(I)設(shè)切點(diǎn)為(X。,則)，利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于1求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得切線

方程；

(U)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步分析極值；

(皿)由(口)知,f(x)在(03)上單調(diào)遞減，在&+8)上單調(diào)遞增，結(jié)合/煨)>0,/(1)<0,

可得存在唯一而€?，?使得/'(MX°，再由f(l)=0,g(應(yīng))=0且三個(gè)零點(diǎn)互不

相同，可得函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn).

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最

值，考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，屬難題.

20.【答案】解：(I)由點(diǎn)P(l,日)在橢圓上得，表=1①，

又e=￥，所以②，

由①②得c?=1,a2=2,b2-1,

2

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為版+y2=l.

(□)自、自、(2或％卜3、。能構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，

證明：橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)?(1,0),顯然直線AB斜率存在，

設(shè)AB的斜率為k,則直線AB的方程為y=k(x-1)③，

代入橢圓方程9+y2=i,

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整理得(2々2+1)%2_4k2X+2(/(2-1)=0,易知△>0,

設(shè)力Q1，%),8(*2,%)，

則有5+x=~,XiXo=④，

22k2+l1z

在方程③中，令x=2,得M(2,k),

所以瓦=mX福“旦

2-12

當(dāng)-返(&%1-〃-學(xué))(%2-1)+("%2f-容)(%1-1)

因?yàn)槠?-fc2=匚+

工1一1%2-1($一1)(0一1)

2/C%]X2-(2k+^^)(%i+%2)+2k+

⑤，

匕1%2一(尤1+必)+1

將④代入⑤得心+ky=2k(2A-2)-(2k+學(xué)狄2+(2一/)(2/+】)近,

而2k3=2(k-y)=2fc-V2,

所以用+&=2k3,

即自為A1、的的等差中項(xiàng)，

所以七、七、七或七、七、七為等差數(shù)列.