材料力學(xué)題目及答案

第3章彈性桿件橫截面上的正應(yīng)力分析(a)習(xí)題3-1圖3－1桁架構(gòu)造受力如圖示，其上所有桿的橫截面均為20mm×50mm的矩形。試求桿CE和桿DE橫截面上的正應(yīng)力。(a)習(xí)題3-1圖解：圖〔a〕中， 〔1〕截面法受力圖〔a〕， 〔2〕FCE=15kN， 〔3〕〔1〕代入〔3〕，得FDE=50kN∴MPaMPa(a)習(xí)題3-2圖3－2圖示直桿在上半部兩側(cè)面受有平行于桿軸線的均勻分布載荷，其集度=10kN/m，在自由端D處作用有集中呼FP=20kN。桿的橫截面面積A=2.0×10-4m2，l(a)習(xí)題3-2圖1．A、B、E截面上的正應(yīng)力；2．桿橫截面上的最大正應(yīng)力，并指明其作用位置。解：由，用截面法求得FNA=40kNFNB=20kNFNE=30kN〔1〕MPaMPaMPa〔2〕MPa〔A截面〕3－3圖示銅芯與鋁殼組成的復(fù)合材料桿，軸向拉伸載荷FP通過兩端的剛性板加在桿上。試：1．寫出桿橫截面上的正應(yīng)力與FP、d、D、Ec、Ea的關(guān)系式；習(xí)題3-3圖2．假設(shè)d=25mm，D=60mm；銅和鋁的單性模量分別為Ec=105GPa和Ea=70GPa，F(xiàn)習(xí)題3-3圖解：1．變形諧調(diào)： 〔1〕 〔2〕∴2．MPaMPa3－4圖示由鋁板鋼板組成的復(fù)合材料柱，縱向截荷FP通過剛性平板沿著柱的中心線施加在其上。試：1．導(dǎo)出復(fù)合材料柱橫截面上正應(yīng)力與FP、b0、b1、h和Ea、Es之間的關(guān)系式；習(xí)題3-4圖2．FP=385kN；Ea=70GPa，Es=200GPa；b0=30mm，b1=20mm，h=習(xí)題3-4圖解：變形諧調(diào)： 〔1〕 〔2〕1．2．MPa〔壓〕MPa〔壓〕3－5從圓木中鋸成的矩形截面梁，受力及尺寸如下圖。試求以下兩種情形下h與b的比值：1．橫截面上的最大正應(yīng)力盡可能??；2．曲率半徑盡可能大。習(xí)題3-6圖習(xí)題3-5習(xí)題3-6圖習(xí)題3-5圖∴〔正應(yīng)力盡可能小〕2．，得∴〔曲率半徑盡可能大〕3－6梁的截面形狀為正方形去掉上、下角，如下圖。梁在兩端力偶Mz作用下發(fā)生彎曲。設(shè)正方形截面時(shí)，梁最大正應(yīng)力為；去掉上、下角后，最大正應(yīng)力變?yōu)?，試求?．k值與h值之間的關(guān)系；2．為盡可能小的h值，以及這種情形下的k值。解：， 〔1〕，h=0〔舍去〕，代入〔1〕：3－7工字形截面鋼梁，梁橫截面上只承受Mz=20kN·m一個(gè)力分量，Iz=11.3×106mm4，其他尺寸如下圖。試求橫截面中性軸以上局部分布力系沿習(xí)題3-7圖習(xí)題3-7圖kN即上半局部布力系合力大小為143kN〔壓力〕，作用位置離中心軸y=70mm處，即位于腹板與翼緣交界處。習(xí)題3-8圖3－8圖示矩形截面〔b·h〕直梁，在彎矩Mz作用的O*y平面發(fā)生平面彎曲，且不超出彈性圍，假定在梁的縱截面上有y方向正應(yīng)力習(xí)題3-8圖1．導(dǎo)出的表達(dá)式；2．證明：，為中性面的曲率半徑。解：1．先求表達(dá)式：(a)(a)即，〔〕即∴〔a〕-2．由〔a〕式，令，得y=0，則-〔b〕3－9圖示鋼管和鋁管結(jié)實(shí)地粘成復(fù)合材料管，在兩端力偶Mz作用下發(fā)生平面彎曲，試：1．導(dǎo)出管橫截面上正應(yīng)力與Mz、D1、D2、D3和鋼的Es、鋁的Ea之間的關(guān)系式；2．D1=20mm，D2=36mm，D3=44mm；Mz=800N·m；Es=210GPa，Ea=70GPa。求鋼管和鋁和鋁管橫截面上的最大正應(yīng)力。習(xí)題3-9圖習(xí)題3-9圖 〔1〕變形諧調(diào)：得 〔2〕， 〔3〕由〔2〕 〔4〕代入〔1〕，得 〔5〕∴ 〔6〕1．，〔〕，〔〕2．MPaMPa3－10由塑料制成的直梁，在橫截面上只有Mz作用，如下圖。塑料受拉和受壓時(shí)的彈性模量分別為Et和Ec，且Ec=2Et；Mz=600N·m。試求：1．梁最大拉、壓正應(yīng)力；習(xí)題3-10習(xí)題3-10圖解：根據(jù)平面假設(shè)，應(yīng)變沿截面高度作直線變化∵Ec=2Et，∴沿截面高度直線的斜率不同∴中性軸不過截面形心。1．確定中性軸位置。設(shè)拉壓區(qū)高度分別為ht、hc由，得：(a)ht即(a)ht又∵ 〔2〕由〔1〕、〔2〕，得即〔中性軸的位置〕2．其中∴∴MPa〔壓〕習(xí)題3-11圖∴MPa習(xí)題3-11圖3－11試求圖a、b中所示的二桿橫截面上最大正應(yīng)力的比值。解：〔a〕為拉彎組合〔b〕為單向拉伸∴習(xí)題3-12圖3－12橋墩受力如下圖，試確定以下載荷作用以下圖示截面ABC上A、習(xí)題3-12圖1．在點(diǎn)1、2、3處均有40kN的壓縮載荷；2．僅在1、2兩點(diǎn)處各承受40kN的壓縮載荷；3．僅在點(diǎn)1或點(diǎn)3處承受40kN的壓縮載荷。解：MpaMPa1．MPa2．MPa3．在點(diǎn)1加載：MPaMPa由對(duì)稱性，得在3點(diǎn)加載：MPa，MPa3－13圖示側(cè)面開有空洞的正方形截面管，管壁厚=5mm，管在兩端承受軸向載荷FP。開孔處截面的形心為C，形心主慣性矩m4，F(xiàn)p=25kN。試求：1．開孔處橫截面上點(diǎn)F處的正應(yīng)力；習(xí)題3-13習(xí)題3-13圖解：kNN·mm21．MPa2．MPa〔在y正向最大位置〕習(xí)題3-14圖3－14圖示矩形截面桿在自由端承受位于縱向?qū)ΨQ面的縱向載荷FP，F(xiàn)P=60習(xí)題3-14圖1．橫截面上點(diǎn)A的正應(yīng)力取最小值時(shí)的截面高度h；2．在上述h值下點(diǎn)A的正應(yīng)力值。解： 〔1〕1．令，∴h=3d=75mm 〔2〕2．由〔1〕、〔2〕式得：MPa習(xí)題3-15習(xí)題3-15圖1．確定截面B－B上的應(yīng)力分布；2．假定骨骼中心局部〔其直徑為骨骼外徑的一半〕由海綿狀骨質(zhì)所組成，且忽略海綿狀承受應(yīng)力的能力，確定截面B－B上的應(yīng)力分布；(b)3．確定1、2兩種情況下，骨骼在截面B－B上最大壓應(yīng)力之比。(b)(a)(a)(c)(c)OB(d)(d)O解：1．MPaMPa∴MPaMPa沿y方向應(yīng)力分布如圖〔c〕所示，中性軸為zc。2．MPaMPaMpanMPazC為中性軸，沿y軸應(yīng)力分布如圖〔d〕3．，或(a)習(xí)題3-16圖3－16正方形截面桿一端固定，另一端自由，中間局部開有切槽。桿自由端受有平行于桿軸線的縱向力FP。假設(shè)FP=1(a)習(xí)題3-16圖解：m2m3m3FN*=1kNN·mN·mMPa最大正應(yīng)力作用位置位于中間開有切槽的橫截面的左上角點(diǎn)A，如圖〔a〕所示。習(xí)題3-17圖3－17鋼制立柱上承受縱向載荷FP如下圖?，F(xiàn)在A、B、D三處測(cè)得*方向的正應(yīng)變，，。假設(shè)鋼的彈性模量E=200GPa。試求：習(xí)題3-17圖1．力FP的大小；2．加力點(diǎn)在Oyz坐標(biāo)中的坐標(biāo)值。解：m2m3m3 〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕由〔1〕、〔4〕，即 〔5〕由〔2〕、〔4〕， 〔6〕習(xí)題3-18圖由〔3〕、〔4〕，習(xí)題3-18圖解〔5〕、〔6〕、〔7〕：mmmmFP=240kN3－18矩形截面柱受力如下圖，試證明：1．當(dāng)鉛垂力FP作用在下面方程所描述的直線上的任意點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的正應(yīng)力等于零：(a)(a)2．為了使橫截面的所有點(diǎn)上都不產(chǎn)生拉應(yīng)力，其作用點(diǎn)必須位于由類似上述方程所描述的直線圍成的區(qū)域〔圖中虛直線圍成的區(qū)域〕。解：1．寫出K點(diǎn)壓彎組合變形下的正應(yīng)力〔圖a〕。(b) 〔1〕(b)將代入〔1〕式，并使正應(yīng)力為零，得FP所作用的直線方程整理得：2．假設(shè)FP作用點(diǎn)確定，令〔1〕式等于零，得截面的中性軸方程〔圖b〕：(c) 〔2〕(c)中性軸n－n的截距： 〔3〕說明中性軸n－n，與力FP作用點(diǎn)位于形心C的異側(cè)，說明n－n劃分為FP作用下的區(qū)域?yàn)閴簯?yīng)力區(qū)，另一區(qū)域是拉應(yīng)力區(qū)〔見圖b〕。如果將〔2〕改寫為 〔4〕并且把中心軸上一點(diǎn)〔y,z〕固定，即中性軸可繞該點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)〔從1―1轉(zhuǎn)到2―2〕由〔4〕式，F(xiàn)P作用必沿直線移動(dòng)。由〔3〕式，2－2直線的截距值大于1－1直線的。所以，當(dāng)中性軸1－1順時(shí)針轉(zhuǎn)向中性軸2－2時(shí)，F(xiàn)P作用點(diǎn)FP1、FP2沿直線，并繞形心也順時(shí)針轉(zhuǎn)向。(d)如果中性軸繞A點(diǎn)從1―1順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)至3―3〔中性軸始終在截面外周旋轉(zhuǎn)〕，則截面就不產(chǎn)生拉應(yīng)力，將A坐標(biāo)代入〔4〕式：，即FP沿該直線移動(dòng)。從FP1→FP2→FP3，反之鉛垂力FP從FP1→FP2→FP3直線移動(dòng)，截面不產(chǎn)生拉應(yīng)力，同理過B、F、D分別找另三條FP移動(dòng)的直線。這四條直線所圍區(qū)域?yàn)榻孛婧诵?。鉛垂壓力在截面核心作用，則橫截面上不會(huì)有拉應(yīng)力。(d)3－19矩形截面懸臂梁受力如下圖，其中力FP的作用線通過截面形心。試：1．FP、b、h、l和，求圖中虛線所示截面上點(diǎn)a的正應(yīng)力；2．求使點(diǎn)a處正應(yīng)力為零時(shí)的角度值。習(xí)題3-19圖解：，習(xí)題3-19圖，令，則，3－20矩形截面柱受力如下圖。試：習(xí)題3-20圖1．=5°，求圖示橫截面上a、b、c三點(diǎn)的正應(yīng)力。習(xí)題3-20圖2．求使橫截面上點(diǎn)b正應(yīng)力為零時(shí)的角度值。解：，1．MPaMPaMPa習(xí)題3-21圖2．習(xí)題3-21圖，=4.76°3－21交通信號(hào)燈柱上受力如下圖。燈柱為管形截面，其外徑D=200mm，徑d=180mm。假設(shè)截面A以上燈柱的重為4kN。試求橫截面上點(diǎn)H和K解：，=22.62°NN·mMPa習(xí)題3-22圖MPa習(xí)題3-22圖3－22No.25a普通熱軋工字鋼制成的立柱受力如下圖。試求圖示橫截面上a、b、c、d四點(diǎn)處的正應(yīng)力。解：m2m3m3kNN·mN·m(a)(a)MPa∴MPaMPaMPa習(xí)題3-23圖Mpa習(xí)題3-23圖3－23承受集度為q=2.0kN/m均布載荷的木制簡支梁，其截面為直徑d=160mm的半圓形。梁斜置如下圖。試求梁的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力。(a)解：，，(a)N·m(b)m4(b)m4(c)(c)yCMPa〔左下角A點(diǎn)〕yC最大壓應(yīng)力點(diǎn)應(yīng)在CD弧間，設(shè)為 〔1〕，得：代回〔1〕式，MPa習(xí)題3-24圖3－24簡支梁的橫截面尺寸及梁的受力均如下圖。試求N－Ｎ截面上a、b、習(xí)題3-24圖解：kN·mMPa〔壓應(yīng)力〕MPa〔拉應(yīng)力〕MPa〔拉應(yīng)力〕MPa〔拉應(yīng)力〕3－25根據(jù)桿件橫截面正應(yīng)力分析過程，中性軸在什么情形下才會(huì)通過截面形心？試分析以下答案中哪一個(gè)是正確的?！睞〕My=0或Mz=0，；〔B〕My=Mz=0，；〔C〕My=0，Mz=0，；〔D〕或，。正確答案是D。解：正如教科書P168第2行所說，只要，則其中性軸一定不通過截面形心，所以此題答案選〔D〕。3－26關(guān)于中性軸位置，有以下幾種論述，試判斷哪一種是正確的?！睞〕中性軸不一定在截面，但如果在截面它一定通過形心；〔B〕中性軸只能在截面并且必須通過截面形心；〔C〕中性軸只能在截面，但不一定通過截面形心；〔D〕中性軸不一定在截面，而且也不一定通過截面形心。正確答案是D。解：此題解答理由可參見原書P167倒數(shù)第1行，直至P168頁第2行止，所以選〔D〕。3－27關(guān)于斜彎曲的主要特征有四種答案，試判斷哪一種是正確的?！睞〕，，，中性軸與截面形心主軸不一致，且不通過截面形心；〔B〕，，，中性軸與截面形心主軸不一致，但通過截面形心；〔C〕，，，中性軸與截面形心主軸平行，但不通過截面形心；〔D〕或，，中性軸與截面