2022-2023學(xué)年山東省淄博市高二年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省淄博市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，把代入求得，然后求得.【詳解】由已知，則，即，所以．故選：D．2．已知等差數(shù)列的前項和為，，則（

）A．25 B．40 C．45 D．80【答案】B【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)求出，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，所以，解得，所以.故選：B3．某市高二年級進行了一次教學(xué)質(zhì)量檢測，考生共2萬人，經(jīng)統(tǒng)計分析數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其平均分為85分，60分以下的人數(shù)約，則數(shù)學(xué)成績在85分至110分之間的考生人數(shù)約為（

）A．3000 B．5000 C．7000 D．14000【答案】C【分析】根據(jù)考生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績平均分為85分，得到正態(tài)曲線關(guān)于對稱，根據(jù)60分以下的人數(shù)約，高于110分的所占的比例也是，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，即可得到結(jié)果.【詳解】考生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績平均分為85分，正態(tài)曲線關(guān)于對稱，60分以下的人數(shù)約，高于110分的所占的比例也是，數(shù)學(xué)成績在85分至110分之間的考生人數(shù)所占百分比約，所以數(shù)學(xué)成績在85分至110分之間的考生人數(shù)約為（人）.故選：C4．某醫(yī)院要安排名醫(yī)生到、、三個社區(qū)參加義診，每位醫(yī)生必須去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少有一名醫(yī)生．則不同的安排方法數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先將名醫(yī)生分為三組，確定每組的人數(shù)，然后將這三組醫(yī)生分配到、、三個社區(qū)，利用分步計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】將名醫(yī)生分為三組，每組人數(shù)分別為、、或、、，再將這三組醫(yī)生分配到、、三個社區(qū)，由分步計數(shù)原理可知，不同的安排方法種數(shù)為.故選：A.5．已知的展開式中第三項與第四項的系數(shù)之比為，則其展開式中二項式系數(shù)最大的項為（

）A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項【答案】C【分析】依題意二項式展開式的系數(shù)即為其二項式系數(shù)，即可得到其第三項、第四項系數(shù)，從而求出，再根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】二項式展開式的系數(shù)即為其二項式系數(shù)，所以第三項的系數(shù)為，第四項的系數(shù)為，所以，即，解得，所以展開式一共有項，其第項的二項式系數(shù)最大.故選：C6．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在1202年著的《計算之書》中記載了斐波那契數(shù)列，此數(shù)列滿足：，且從第三項開始，每一項都是它的前兩項的和，即，則在該數(shù)列的前2023項中，奇數(shù)的個數(shù)為（

）A．672 B．675 C．1349 D．2022【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推和奇偶周期性即可求解.【詳解】，故，，故各項奇偶性呈現(xiàn)周期性（奇奇偶），且周期為3，∵，故奇數(shù)的個數(shù)為.故選：C.7．如圖，圓的半徑為1，從中剪出扇形圍成一個圓錐（無底），所得的圓錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓錐的體積公式，結(jié)合不等式或者利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可求解最值.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為則圓錐的高為，所以圓錐的體積為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，或者：，令，則，故當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)，此時單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取最大值，故體積的最大值為，故選：D8．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造，，求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析，即可判斷.【詳解】令，則，令，有，令，有，故函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，即，所以，即，令，則，令，有，令，有，故函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，即，所以，即，綜上：.故選：D【點睛】思路點睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.二、多選題9．可能把直線作為切線的曲線是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義逐項分析判斷.【詳解】因為直線的斜率，對于選項A：因為，則，令，解得，故A正確；對于選項B：因為，則，又因為，則方程無解，故B錯誤；對于選項C：因為，則，令，解得，故C正確；對于選項D：因為，則，令，解得，故D正確；故選：ACD.10．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】令可求，令可求，由利用二項式的通項可求解.【詳解】因為，所以令，可得，令，可得，所以A正確，B錯誤；因為，所以展開式的通項公式為，所以，所以C正確，D錯誤.故選：AC.11．已知數(shù)列是首項為1的正項數(shù)列，，是數(shù)列的前n項和，則下列選項正確的是（

）A．B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義，得到數(shù)列是等比數(shù)列，可判定B不正確；利用等比數(shù)列通項公式，求得，可判定C正確；求得的值，可判定A正確；結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式，可判定D正確．【詳解】由，所以，因為，可得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，所以B不正確；可得，所以，所以C正確；又由，所以A正確；由，，所以，所以D正確．故選：ACD．12．事件A，B的概率分別為：，，則（

）A．若A，B為互斥事件，B．C．若A，B相互獨立，D．若，則A，B相互獨立【答案】AD【分析】利用互斥事件的定義及性質(zhì)判斷A選項；利用和事件的關(guān)系判斷B選項；利用相互獨立事件的定義及性質(zhì)判斷C選項；利用條件概率公式，求解事件A與B的積事件，根據(jù)獨立事件關(guān)系確定A、B的獨立性可判斷D.【詳解】選項A：若A，B為互斥事件，則，所以，故A正確；選項B：，故B錯誤；選項C：若A，B相互獨立，所以，故C錯誤；選項D：因為，所以，則A，B相互獨立，故D正確；故選：AD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：通常判斷兩個事件是否相互獨立，常用以下兩種方法：1、事件獨立性的定義：如果事件A和事件B相互不影響，則稱事件A和事件B是相互獨立的；2、乘法原理：如果事件A和事件B是相互獨立，則它們同時發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積.三、填空題13．記為等比數(shù)列的前項和．若，，則．【答案】【分析】根據(jù)已知求出等比數(shù)列的基本量，求得，從而求得，即可得解.【詳解】設(shè)公比為，因為，，，，，，，，則，則.故答案為：14．隨機變量X的分布列為：X123P則．【答案】/0.6875【分析】利用概率之和為1算出，然后利用期望和方差的計算公式進行計算即可.【詳解】由概率之和為1可得，，，故答案為：.15．一個袋子中有個紅球和5個白球，每次從袋子中隨機摸出2個球．若“摸出的兩個球顏色不相同”發(fā)生的概率記為，則的最大值為．【答案】【分析】計算并化簡得到，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)計算最值得到答案.【詳解】，對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)或時，有最小值為，故.故答案為：16．若不等式對任意成立,則實數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】將不等式變形為的形式,構(gòu)造,求導(dǎo)判斷單調(diào)性后可知,只需即可,即成立,只需,構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性,求出最值解出a的取值范圍即可.【詳解】解:因為對任意成立,不等式可變形為:,即,即對任意成立,記,所以,所以在上單調(diào)遞增,則可寫為:,根據(jù)單調(diào)性可知,只需對任意成立即可,即成立,記,即只需,因為,故在上,,單調(diào)遞增,在上,,單調(diào)遞減,所以,所以只需即可,解得:.故答案為:【點睛】思路點睛:本題考查不等式恒成立問題，屬于難題，關(guān)于恒成立問題的思路如下:(1)若，恒成立，則只需;(2)若，恒成立，則只需;(3)若，恒成立，則只需;(4)若，恒成立，則只需;(5)若，恒成立，則只需;(6)若，恒成立，則只需;(7)若，恒成立，則只需;(8)若，恒成立，則只需.四、解答題17．已知首項為的等差數(shù)列滿足：．(1)求的通項公式；(2)數(shù)列的前項和為，且，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得出數(shù)列的通項公式；（2）利用裂項相消法可求得，然后解不等式，即可得出滿足條件的的最小值.【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，則，因為，則，解得，所以，.（2）解：，所以，，由可得，解得，故滿足條件的的最小值為.18．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若對，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)數(shù)零點的大小關(guān)系，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）參變分離可得對恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得解.【詳解】（1）定義域為，，當(dāng)時，令，得或，令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，令，得或，令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在單調(diào)遞增.綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無減區(qū)間.（2）若函數(shù)，對恒成立，即對恒成立，令，則，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值即最小值，所以，即實數(shù)的取值范圍為.19．現(xiàn)有甲、乙兩個袋子，其中甲袋中有6個紅球和2個白球，乙袋中有3個紅球和5個白球，兩袋子中小球形狀和大小完全相同．從這兩個袋子中選擇一個袋子，再從該袋子中一次摸出兩個球，稱為一次試驗．已知選擇甲袋子的概率為，選擇乙袋子的概率為．?dāng)M進行多次重復(fù)試驗，直到摸出的兩個球均為紅球，不再試驗．(1)求第一次試驗摸出兩個紅球的概率；(2)已知需進行第二次試驗，計算第一次試驗摸出的兩個球來自甲袋的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)全概率公式，解決抽簽問題；（2）利用條件概率公式計算，根據(jù)數(shù)據(jù)得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)試驗一次，“選擇甲袋”為事件，“選擇乙袋”為事件，“摸出的兩個球均為紅球”為事件，，即第一次試驗摸出兩個紅球的概率為.（2），所以已知需進行第二次試驗，第一次試驗摸出的兩個球來自甲袋的概率為.20．某校為增強學(xué)生保護生態(tài)環(huán)境的意識，舉行了以“要像保護眼睛一樣保護自然和生態(tài)環(huán)境”為主題的知識競賽．比賽分為三輪，每輪先朗誦一段愛護環(huán)境的知識，再答道試題，每答錯一道題，用時額外加秒，最終規(guī)定用時最少者獲勝．已知甲、乙兩人參加比賽，甲每道試題答對的概率均為，乙每道試題答對的概率均為，甲每輪朗誦的時間均比乙少秒，假設(shè)甲、乙兩人答題用時相同，且每道試題是否答對互不影響．(1)若甲、乙兩人在第一輪和第二輪答對的試題的總數(shù)量相等，求最終乙獲勝的概率；(2)請用統(tǒng)計學(xué)的知識解釋甲和乙誰獲勝的可能性更大．【答案】(1)(2)甲獲勝的可能性更大，理由見解析【分析】（1）分析可知第三輪答題中乙要比甲多答對道題以上才能獲勝，對甲、乙答對試題的數(shù)量進行分類討論，結(jié)合獨立事件的概率公式和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）設(shè)甲在比賽中答錯的試題數(shù)量為，乙在比賽中答錯的試題數(shù)量為，分析可知，，計算出兩人因答錯試題而額外增加的時間的期望值，并算比較兩人所用的時間的期望的大小，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：因為甲、乙兩人在第一輪和第二輪答對的試題的總數(shù)量相同，且甲每輪朗誦的時間均比乙少秒，所以，第三輪答題中乙要比甲多答對道題以上才能獲勝，若乙答對道試題，甲答對道試題，概率為，若乙答對道試題，甲答對道或道試題，概率為，所以，乙獲勝的概率為.（2）解：設(shè)甲在比賽中答錯的試題數(shù)量為，乙在比賽中答錯的試題數(shù)量為，則，，由二項分布的期望公式可得，，則因甲答錯試題額外增加的時間的期望值為秒，乙因答錯試題額外增加的時間的期望值為秒，因為三輪中，甲朗誦的時間比乙少秒，所以，甲最后所用的時間的期望比乙少秒，所以，甲獲勝的可能型更大.21．記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：

由，得，且，，．又因為，所以，所以．在中，當(dāng)時，．故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法

由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，且．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時顯然成立．假設(shè)當(dāng)時成立，即．那么當(dāng)時，．綜上，猜想對任意的都成立．即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．(2)由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時，,當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.【整體點評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進而替換相除消項得到相鄰兩項的關(guān)系，從而證得結(jié)論；方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；方法三由，得，由的定義得，進而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論．（2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得的通項