2022-2023學(xué)年山東省青島市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省青島市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知?jiǎng)t的值分別為A． B．5，2 C． D．【答案】A【詳解】由題意得，，所以，即，解得，故選A．2．已知雙曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于，則該雙曲線的離心率等于A． B． C． D．【答案】D【分析】利用雙曲線的關(guān)系求解即可．【詳解】右焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于為，故,故離心率等于，故選D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)：焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b3．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，成等比數(shù)列，，則（

）A．5 B． C．0 D．1【答案】D【分析】利用成等比數(shù)列得到，結(jié)合為等差數(shù)列和可求出公差和，即可得到答案【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列可得，所以，解得，因?yàn)椋獾?，所以，故選：D.4．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，那么（

）A．－4 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，利用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，求得數(shù)列的通項(xiàng)求解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減得，即，又，所以是等比數(shù)列，，則，故選：C5．已知直線與直線互相垂直，則（

）A．-3 B．-1 C．3 D．1【答案】D【分析】分別求出兩條直線的斜率，利用斜率乘積為即可得到答案.【詳解】直線的斜率為，直線的斜率為3，由題意，，解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查已知直線的位置關(guān)系求參數(shù)，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.6．已知空間四邊形ABCD中，，，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由向量的運(yùn)算法則，可得.故選：C.7．已知，為非零向量，，若，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，根據(jù)已知以及二次函數(shù)的性質(zhì)可得，解得，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)向量，的夾角為，.由可得.由已知可得，，所以，因?yàn)?，所?故選：C.8．某村計(jì)劃修建一條橫斷面為等腰梯形（上底大于下底）的水渠，為了降低建造成本，必須盡量減少水與渠壁的接觸面.已知水渠橫斷面面積設(shè)計(jì)為平方米，水渠深米，水渠壁的傾角為，則當(dāng)該水渠的修建成本最低時(shí)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出截面圖形，結(jié)合截面面積可利用表示出，則水渠修建成本最低時(shí)，取得最小值，則可知當(dāng)取最小值時(shí)最??；根據(jù)的幾何意義可知當(dāng)過的直線與相切時(shí)，最小，利用直線與圓相切位置關(guān)系的求法可求得切線斜率，由此可求得.【詳解】作出橫截面如下圖所示，其中，，，，則，，，，又梯形的面積，，，設(shè)，則；若取最小值，則取得最小值；表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，的軌跡為，可作出圖象如下圖所示，則當(dāng)過的直線與相切時(shí)，取得最小值，設(shè)切線方程為：，即，到切線距離，解得：，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，則，即當(dāng)時(shí)，該水渠的修建成本最低.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺男藿ǔ杀颈硎緸殛P(guān)于的函數(shù)的形式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題；對(duì)于形式的函數(shù)最值，可根據(jù)幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與連線的斜率的最值求解問題.二、多選題9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列滿足，若，，（，）成等差數(shù)列，則k的值不可能是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】AD【分析】利用與的關(guān)系，求得，進(jìn)而求得，然后根據(jù)，，（，）成等差數(shù)列，得到與的關(guān)系，進(jìn)而求得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故（），（）．因?yàn)?，，（，）成等差?shù)列，所以，即，所以，（，），從而的取值為1，2，4，8，則對(duì)應(yīng)的k的值為12，8，6，5，所以k的值不可能是4，10，故選:AD．10．如圖所示，下列四條直線，，，，斜率分別是，，，，傾斜角分別是，，，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)直線的圖像特征，結(jié)合直線的斜率與傾斜角定義，得出結(jié)論.【詳解】直線，，，，斜率分別是，，，，傾斜角分別是，，，，由傾斜角定義知，，，，故C正確；由，知，，，，故B正確；故選：BC11．直線的方向向量為，兩個(gè)平面，的法向量分別為，，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則直線平面B．若，則直線平面C．若，則直線與平面所成角的大小為D．若，則平面，所成二面角的大小為【答案】BC【分析】根據(jù)空間中線面角、二面角的范圍及求法，結(jié)合線面的位置關(guān)系，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：若，則直線平面，或直線平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，根據(jù)平行的傳遞性可得直線平面，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)橹本€與平面所成角范圍為，且若，即與的夾角為，所以直線與平面所成角的大小為，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)閮擅嫠山欠秶鸀?，若，則平面，所成二面角的大小為或，故D錯(cuò)誤.故選：BC12．以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．若點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為B．圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于C．圓和圓外切D．實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是【答案】ABD【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、圓與圓的位置關(guān)系、直線與圓相切等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】A,點(diǎn)在圓外,,，A選項(xiàng)正確.B,圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，B選項(xiàng)正確.C,的圓心為，半徑為；的圓心為，半徑為，所以圓心距為，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D,圓的圓心為，半徑為，表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，如圖所示，，所以，結(jié)合對(duì)稱性可知的取值范圍是，D選項(xiàng)正確.故選：ABD三、填空題13．直線l過點(diǎn)，，則直線AB的方程為．【答案】【分析】根據(jù)已知兩點(diǎn)求出直線斜率，再用點(diǎn)斜式寫出直線方程，整理化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，，故可得直線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式方程可得整理化簡(jiǎn)得.故答案為：.14．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.【答案】【分析】將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求解出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：.15．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，“等腰四面體”就是其中之一，所謂等腰四面體，就是指三組對(duì)棱分別相等的四面體.關(guān)于“等腰四面體”，以下結(jié)論正確的序號(hào)是.①“等腰四面體”每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱一定可以構(gòu)成三角形；②“等腰四面體”的四個(gè)面均為全等的銳角三角形；③三組對(duì)棱長(zhǎng)度分別為5，6，7的“等腰四面體”的體積為；④三組對(duì)棱長(zhǎng)度分別為，，的“等腰四面體”的外接球直徑為.【答案】①②③【分析】將等腰四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)等腰四面體的對(duì)棱棱長(zhǎng)分別為，，，與之對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，，，然后結(jié)合長(zhǎng)方體的性質(zhì)分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】解：將等腰四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)等腰四面體的對(duì)棱棱長(zhǎng)分別為，，，與之對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，，，則，故，，，結(jié)合圖像易得①②正確；三組對(duì)棱長(zhǎng)度分別為，，，則，，，因?yàn)榈妊拿骟w的體積是對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體體積減去四個(gè)小三棱錐的體積，所以等腰四面體的體積，③正確；三組對(duì)棱長(zhǎng)度分別為，，的“等腰四面體”的外接球直徑，④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)棱相等的四面體可以內(nèi)接于長(zhǎng)方體，借助長(zhǎng)方體的性質(zhì)處理問題降低了思維量.四、雙空題16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則；若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】先由遞推公式，得到數(shù)列是等比數(shù)列，求出，根據(jù)分組求和，即可得出；再由恒成立，分離參數(shù)，得到，恒成立，求出的最大值，即可得出結(jié)果.【詳解】由，，得，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以，，.又，所以恒成立，即，恒成立.令，則，所以是遞減數(shù)列，所以，，即，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等比數(shù)列，考查分組求和的方法求數(shù)列的和，考查數(shù)列不等式恒成立問題，屬于?？碱}型.五、解答題17．已知是遞增的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)(2)見解析.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量以及等比中項(xiàng)的關(guān)系即可求解.（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消求和，即可求出，然后根據(jù)單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）設(shè)的公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，因?yàn)槭沁f增，所以，故，所以.（2）,所以，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，而，故.18．求下列各圓的方程，并面出圖形.（1）圓心為點(diǎn)，且過點(diǎn)；（2）過，，三點(diǎn)．【答案】（1）（圖見解析）（2）（圖見解析）【分析】（1）求出半徑，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出即可.（2）設(shè)出圓的一般方程，將三點(diǎn)代入解出即可.【詳解】（1）由題意知半徑,所以圓的方程為：.

（2）設(shè)圓的一般方程為：.將，，代入得：所以圓的方程為：.

19．已知正方體.(1)求證:.(2)求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過證明來證明；(2)求出平面，平面的法向量，由公式求出兩向量的夾角從而求出二面角.【詳解】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a，以為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，其中(1)，，，則；(2)設(shè)分別為平面，平面的法向量，的夾角為，，則，令可得，，則，令可得，所以，則的夾角為，所以二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量證明線線垂直，二面角的向量求法，屬于基礎(chǔ)題.20．已知是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（I）將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式解方程，由此求得的值，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（II）利用裂項(xiàng)求和法求得數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】（I）設(shè)的公比為，由，得或.又的各項(xiàng)均為正數(shù)，（II）

【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查裂項(xiàng)求和法，屬于基礎(chǔ)題.21．如圖，平面，，，，，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).【答案】(1)證明見解析(2)；(3)【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得，，，，的坐標(biāo)，設(shè)，可得是平面的法向量，再求出，由，且直線平面，得平面；（2）求出，再求出平面的法向量，利用向量夾角公式得到直線與平面所成角的正弦值；（3）求出平面的法向量，由兩平面法向量所成角的余弦值為，列式求線段的長(zhǎng).【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，，在平面?nèi)，則，，又，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，.設(shè)，則.則是平面的法向量，又，可得.又∵直線平面，∴平面；（2）依題意，，，.設(shè)為平面的法向量，則令，得.∴.∴直線與平面所成角的正弦值為；（3）設(shè)為平面的法向量，則，取，可得，由題意，，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.∴線段的長(zhǎng)為.22．已知橢圓：的焦距為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，若橢圓上存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形（其中是坐標(biāo)原點(diǎn)），求平行四邊形的面積.【答案】（1）（2）【分析】（1）由橢圓的焦距為2，且橢圓C過點(diǎn)，列出方程求出a，b，由此能求出橢圓C的方程；（2）設(shè)直線的方程為，由，消去得.利用韋達(dá)定理可得，點(diǎn)P在橢圓上可得表示平行四邊形的面