2022-2023學(xué)年山東省聊城市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省聊城市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方以及的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)得出，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，.故選：D.2．已知向量，，則“”是“與的夾角為銳角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先根據(jù)向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，求出與的夾角為銳角的充要條件.然后根據(jù)范圍的大小關(guān)系，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，由可得，，解得.所以，由與的夾角為銳角可得，，解得且，顯然，該范圍要小于的范圍，所以，“”是“與的夾角為銳角”的必要不充分條件.故選：B.3．已知，則（

）A． B．0 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二倍角公式求出，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式，即可得出答案.【詳解】由已知可得，.又，所以，.故選：A.4．如圖所示，已知，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】.故選：D5．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】得出平移后的解析式，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得出.結(jié)合已知，即可得出，求解即可得出答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù).又，則由已知，可得，所以，.顯然，當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：A.6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的圖象求得，求得，再根據(jù)，求得，求得的值，即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，可得，所以，又由，可得，即，解得，因?yàn)?，所?故選：A.7．八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八邊形ABCDEFGH，其中，給出下列結(jié)論：①與的夾角為；②；③；④在上的投影向量為（其中為與同向的單位向量）．其中正確結(jié)論為（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷：對(duì)于①：直接求出與的夾角；對(duì)于②：利用向量的線性運(yùn)算直接求解；對(duì)于③：利用向量加法的三角形法則直接求解；對(duì)于④：由在上的投影向量與方向相反，即可判斷.【詳解】在圖2中，正八邊形的對(duì)角線把周角進(jìn)行八等分，所以每一份均為.對(duì)于①：與的夾角為.故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：因?yàn)?在中，，，所以.而，所以正確.故②正確；對(duì)于③：由向量加法的三角形法則得：.故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：由圖知，在上的投影向量與方向相反.故④錯(cuò)誤.故選：B8．已知內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，面積為.若，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】由三角形的內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、正弦定理以及二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)已知條件，可求角，由三角形的面積公式和平面向量數(shù)量積的定義可求角，再由三角形的內(nèi)角和求角，即可判斷的形狀，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，即，由正弦定理可得：，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，可得，所以，解得，因?yàn)?，所以，即，所以，可得，所以，所以的形狀是正三角形，故選：C.二、多選題9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A． B．C． D．函數(shù)的對(duì)稱軸是【答案】ABC【分析】由圖象求出函數(shù)的周期，即可得出A項(xiàng)；根據(jù)圖象得出函數(shù)的最小值點(diǎn)，然后即可得出的關(guān)系式，求解即可得出的值；根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得出C；根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，求出對(duì)稱軸，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由圖象可知，，所以，所以，所以，函數(shù)為，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由圖象可知，函數(shù)在處取得最小值，所以有，解得，所以函數(shù)為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由AB可知，函數(shù)為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，由可得，，所以函數(shù)的對(duì)稱軸為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.10．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則一定是等腰三角形B．若，則C．若為銳角三角形，則D．若，則為銳角三角形【答案】BC【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角形的性質(zhì)，可判斷A、B的正誤，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式，可判斷C的正誤，根據(jù)數(shù)量積公式，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：若，由正弦定理邊化角得，所以，即，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，由正弦定理角化邊得，根據(jù)三角形內(nèi)大邊對(duì)大角可得，角，故B正確；對(duì)于C：若為銳角三角形，則，所以，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，故C正確；對(duì)于D：由題意得，所以，即角A為銳角，但無(wú)法得到角B、C是否為銳角，所以不能得到為銳角三角形，故D錯(cuò)誤.故選：BC11．設(shè)有下面四個(gè)命題，其中的假命題為（

）A．若復(fù)數(shù)滿足，則 B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．若復(fù)數(shù)，滿足，則 D．若復(fù)數(shù)，則【答案】BC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可判定A正確；取，可判定B不正確；取，可判斷C不正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，設(shè)復(fù)數(shù)，可得，因?yàn)椋傻?，所以，所以A正確；對(duì)于B中，取，可得，所以B不正確；對(duì)于C中，例如：，則，此時(shí)，所以C不正確；對(duì)于D中，設(shè)，由，可得，即，可得，所以D正確.故選：BC.12．在給出的下列命題中，正確的是（

）A．已知點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，滿足，則點(diǎn)是的外心B．已知平面向量，，滿足，，則為等腰直角三角形C．已知平面向量，，滿足，且，則是等邊三角形D．在矩形ABCD中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與BD相切的圓上．若，則的最大值為1．【答案】AC【分析】根據(jù)已知即可得出A項(xiàng)正確；由已知可得出點(diǎn)在的平分線上，且，只能得出等腰三角形；根據(jù)已知可得出是的外心、重心、垂心，即可得出C項(xiàng)；由已知求出半徑，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，用三角函數(shù)表示出，然后用輔助角公式，即可得出最值.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，且在所在的平面內(nèi)，所以點(diǎn)是的外心，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在的平分線上.又，所以，所以.所以，是等腰三角形，但無(wú)法確定是否為直角三角形，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由，結(jié)合A的結(jié)論，可知點(diǎn)是的外心.又，即.

如圖1，取中點(diǎn)為，則，所以，所以共線，且，所以，點(diǎn)為的重心.又，所以，所以，所以，點(diǎn)為的垂心.綜上可知，是等邊三角形，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，

如圖2，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)椋?，可得，，即圓的半徑.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)樵趫A上，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可設(shè)點(diǎn)，則，，.由可知，所以，.設(shè)，，，則.當(dāng)時(shí)，取最大值1，有最大值3；當(dāng)時(shí)，取最小值，有最小值1.故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示向量的運(yùn)算，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可解決問(wèn)題.三、填空題13．已知向量，，則在上的投影向量的模為．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積以及模的坐標(biāo)表示，求出數(shù)量積以及模，然后根據(jù)投影向量的概念，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，在上的投影向量的模為.故答案為：.14．設(shè)，復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為．如果滿足下列條件：，則點(diǎn)的集合對(duì)應(yīng)圖形面積是：.（計(jì)算結(jié)果保留）【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得所求圖形為圓環(huán)面，進(jìn)而可得．【詳解】設(shè)，其中，，由可得，∴，∴復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是以為圓心，，為半徑的圓所夾的圓環(huán)面，∴圓環(huán)面積為．故答案為：．15．如圖，邊長(zhǎng)為2的菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，若，則的最小值為.【答案】【分析】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用計(jì)算出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由此計(jì)算出的表達(dá)式，，進(jìn)而求得最值.【詳解】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)，則①，由得②，由①②解得，故.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)取得最小值為.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及數(shù)量積求最值，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.16．已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由f(x)=0，可得，解得，結(jié)合即可得出結(jié)論.【詳解】．由，可得，解得，．因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，所以，且，即且，因?yàn)?，分別取，1,2,3，，∴的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由三角函數(shù)化簡(jiǎn)求出函數(shù)零點(diǎn)，，分別取，可得不屬于的集合，結(jié)合，可判斷所在區(qū)間即可，屬于難題.四、解答題17．在中，，，求的值．【答案】【分析】根據(jù)已知結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系式可求出，進(jìn)而得出A為銳角，根據(jù)已知求出.然后根據(jù)兩角和以及二倍角的正切公式，計(jì)算，即可得出答案.【詳解】由已知可得，解得，所以，所以，A為銳角.因?yàn)?，所以，所?又，所以，所以．18．已知三點(diǎn)，，，為平面上的一點(diǎn)，且，．（1）求；（2）求的值．【答案】（1）4；（2）【分析】（1）根據(jù)有向線段的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求出；（2）由可設(shè)出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示由解出，然后由，根據(jù)向量相等列出方程組，解出即可．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以．?）因?yàn)?，所以，由于，可設(shè)．由，得，即，解得，∴，因?yàn)?，所以，所以，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量相等，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．已知，，，，求：(1)的值；(2)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由已知條件判斷的范圍，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，則由利用兩角差的余弦公式可求得，（2）由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，從而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，，所以，，所?（2）因?yàn)?，，所以，所以，所?20．已知函數(shù)，滿足______．(1)求的解析式，并寫出的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)把的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上的最大值為，求實(shí)數(shù)的最小值．在①函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為0；②函數(shù)圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為；③函數(shù)圖象的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為，這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中，并給出問(wèn)題的解答．【答案】(1)任選兩條件，解析式為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)所選條件求出、，即可求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）首先根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出的解析式，由的取值范圍，求出的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)從而得到不等式，解得即可.【詳解】（1）若選①②：因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)楹瘮?shù)圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為，所以．因?yàn)椋?，所以函?shù)的解析式為，由，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．若選①③：因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)楹瘮?shù)圖象的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，所以．所以函?shù)的解析式為，由，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．若選②③：因?yàn)楹瘮?shù)圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為，所以．因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)圖象的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，所以即．因?yàn)?，所以，所以函?shù)的解析式為，由，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）把的圖象向右平移個(gè)單位得到，再將向上平移個(gè)單位得到，即，由得，因?yàn)樵趨^(qū)間上的最大值為，所以在區(qū)間上的最大值為1．所以，所以，所以的最小值為．21．已知函數(shù)，周期是．(1)求的解析式，寫出函數(shù)的對(duì)稱軸；(2)若成立的充分條件是，求的取值范圍．【答案】(1)，對(duì)稱軸為，；(2)．【分析】（1）根據(jù)恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)式，由周期求得，得，利用三角函數(shù)的對(duì)稱軸計(jì)算即可；（2）原不等式等價(jià)于，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】（1），由，解得，所以函數(shù)，由得，函數(shù)的對(duì)稱軸為，．（2）由得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以只需．由得，所以，所以，．即．所以的取值范圍為．22．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．AD為BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上動(dòng)點(diǎn)，EF交AD于．已知，且．

(1)求邊的長(zhǎng)度；(2)若，求的余弦值；(3)在（2）的條件下，若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及余弦定理角化邊整理可得出，代入已知，即可得出答案；（2）設(shè)，的夾角為，根據(jù)已知可得出，.結(jié)合已知條件，即可得出，解方程即可得出答案；（3）由已知可設(shè)，，，然后推得，.根據(jù)面積關(guān)系，即