新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章概率與統(tǒng)計4.2隨機變量4.2.3二項分布與超幾何分布課件新人教B版選擇性必修第二冊

第四章4.2.3二項分布與超幾何分布基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解n次獨立重復(fù)試驗的模型,掌握二項分布,并能利用它們解決一些簡單的實際問題.2.理解超幾何分布的意義,能夠利用超幾何分布的概率公式解決實際問題.3.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),體會模型化思想在解決問題中的作用,感受概率在生活中的作用,提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點一

n次獨立重復(fù)試驗與二項分布1.n次獨立重復(fù)試驗在相同條件下重復(fù)n次伯努利試驗時,人們總是約定這n次試驗是相互獨立的,此時這n次伯努利試驗也常稱為n次獨立重復(fù)試驗.2.二項分布一般地,如果一次伯努利試驗中,出現(xiàn)“成功”的概率為p,記q=1-p,且n次獨立重復(fù)試驗中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X,則X的取值范圍是{0,1,…,k,…,n},而且P(X=k)=

,k=0,1,…,n.

因此X的分布列如下表所示.上述X的分布列第二行中的概率值都是二項展開式

中對應(yīng)項的值,因此稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布,記作X~

.

B(n,p)名師點睛1.二項分布是n次獨立重復(fù)試驗在k取遍0,1,2,…,n各種情況下的一個分布列.2.在X~B(n,p)中,X可以取0,1,2,…,n中的任意值,而在n次獨立重復(fù)試驗中,X卻是一個具體結(jié)果;注意掌握表示符號n,p的具體含義,并習(xí)慣用符號表示具體的分布列.3.兩點分布是二項分布在參數(shù)n=1時的特殊情況.過關(guān)自診1.設(shè)隨機變量X~B(6,),則P(X=3)等于(

)A2.某電子管的正品率為,次品率為,現(xiàn)對該批電子管進行測試,那么在三次測試中恰有一次測到正品的概率是(

)C知識點二

超幾何分布1.定義一般地,若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品,其中甲類有M件(M<N),從所有物品中隨機取出n件(n≤N),則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個離散型隨機變量,X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù),其中s是M與n中的較小者,t在n不大于乙類物品件數(shù)(即n≤N-M)時取0,否則t取n減乙類物品件數(shù)之差(即t=n-(N-M)),而且P(X=k)=

,k=t,t+1,…,s,這里的X稱為服從參數(shù)N,n,M的超幾何分布,記作X~

.

H(N,n,M)2.超幾何分布列如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,則X能取所有不大于s的自然數(shù),此時X的分布列如下表所示.名師點睛判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布,應(yīng)看三點:(1)總體是否可分為兩類明確的對象.(2)是否為不放回抽樣.(3)隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數(shù).過關(guān)自診1.[2023福建漳州高二期中]盒中有4個白球,5個紅球,從中任取3個球,則恰好取出2個紅球的概率是(

)C解析

設(shè)取出紅球的個數(shù)為X,則X~H(9,3,5),2.有8件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取3件,若X表示取得次品的件數(shù),則P(X≤1)等于(

)B重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一n次獨立重復(fù)試驗概率的求法【例1】

[人教A版教材例題]將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次,求:(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率;(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率.解

設(shè)A=“正面朝上”,則P(A)=0.5.用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X~B(10,0.5).(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上等價于X=5,于是(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)等價于4≤X≤6,于是規(guī)律方法

n次獨立重復(fù)試驗概率求法的三個步驟(1)判斷:依據(jù)n次獨立重復(fù)試驗的特征,判斷所給試驗是否為獨立重復(fù)試驗;(2)分拆:判斷所求事件是否需要拆分;(3)計算:就每個事件依據(jù)n次獨立重復(fù)試驗的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式計算.變式訓(xùn)練1某籃球運動員投籃的命中率為0.7,現(xiàn)投了8次球,求下列事件的概率:(1)恰有4次投中的概率為

;(2)至少有4次投中的概率為

;(3)至多有4次投中的概率為

.(結(jié)果保留三位小數(shù))

0.1360.9420.194解析

(1)某籃球運動員投籃的命中率為0.7,現(xiàn)投了8次球,恰有4次投中的概率為(2)至少有4次投中的概率為(3)至多有4次投中的概率為探究點二二項分布【例2】

某公司招聘員工,先由兩位專家面試,若兩位專家都同意通過,則視作通過初審予以錄用;若這兩位專家都未同意通過,則視作未通過初審不予錄用;當(dāng)這兩位專家意見不一致時,再由第三位專家進行復(fù)審,若能通過復(fù)審則予以錄用,否則不予錄用.設(shè)應(yīng)聘人員獲得每位初審專家通過的概率均為,復(fù)審能通過的概率為,各專家評審的結(jié)果相互獨立.(1)求某應(yīng)聘人員被錄用的概率;(2)若4人應(yīng)聘,設(shè)X為被錄用的人數(shù),試求隨機變量X的分布列.解

設(shè)“兩位專家都同意通過”為事件A,“只有一位專家同意通過”為事件B,“通過復(fù)審”為事件C.(1)設(shè)“某應(yīng)聘人員被錄用”為事件D,則D=A∪(BC),所以X的分布列為

規(guī)律方法

1.當(dāng)X服從二項分布時,應(yīng)弄清X~B(n,p)中的試驗次數(shù)n與成功概率p.2.解決二項分布問題的關(guān)鍵對于公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必須在滿足“獨立重復(fù)試驗”時才能運用,否則不能應(yīng)用該公式.變式訓(xùn)練2為增強學(xué)生體質(zhì),某學(xué)校組織體育社團,某班級有4人積極報名參加籃球和足球社團,每人只能從兩個社團中選擇其中一個社團,大家約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己參加哪個社團,擲出點數(shù)為5或6的人參加籃球社團,擲出點數(shù)小于5的人參加足球社團.(1)求這4人中恰有1人參加籃球社團的概率;(2)用ξ,η分別表示這4人中參加籃球社團和足球社團的人數(shù),記隨機變量X為ξ和η之差的絕對值,求隨機變量X的分布列.探究點三超幾何分布【例3】

老師要從10篇課文中隨機抽3篇不同的課文讓同學(xué)背誦,規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格.某位同學(xué)只能背誦其中的6篇,求:(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列;(2)他能及格的概率.規(guī)律方法

求超幾何分布列的步驟(1)驗證隨機變量是否服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n;(2)確定X的所有可能取值;(3)利用超幾何分布公式計算P(X=k);(4)寫出分布列(用表格或式子表示).變式訓(xùn)練3在箱子中有10個小球,其中有3個紅球,3個白球,4個黑球.從這10個球中任取3個.求:(1)取出的3個球中紅球的個數(shù)X的分布列;(2)取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)的概率.

解

(1)由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,且X服從參數(shù)為N=10,M=3,n=3的超幾何分布,故X的分布列為

(2)設(shè)“取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)”為事件A,“恰好取出1個紅球和2個黑球”為事件A1,“恰好取出2個紅球”為事件A2,“恰好取出3個紅球”為事件A3,由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1+A2+A3,所以取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)的概率為

探究點四概率的綜合應(yīng)用【例4】

甲、乙兩隊參加奧運知識競賽,每隊3人,每人回答一個問題,答對者為本隊贏得一分,答錯得零分.假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為,乙隊中3人答對的概率分別為,且各人回答正確與否相互之間沒有影響.用ξ表示甲隊的總得分.(1)求隨機變量ξ的分布列;(2)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件,用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件,求P(AB).所以ξ的分布列為

(2)用C表示“甲隊得2分,乙隊得1分”這一事件,用D表示“甲隊得3分,乙隊得0分”這一事件,所以AB=C∪D,且C,D互斥,變式探究

在本例條件下,試求事件“甲、乙兩隊總得分之和大于4”的概率.解

用E表示“甲、乙兩隊總得分之和大于4”這一事件,包括“總得分之和等于5”與“總得分之和等于6”.變式訓(xùn)練4某學(xué)校為了解學(xué)生課后進行體育運動的情況,對該校學(xué)生進行簡單隨機抽樣,獲得20名學(xué)生一周進行體育運動的時間數(shù)據(jù)如表,其中運動時間在(7,11]的學(xué)生稱為運動達(dá)人.分組區(qū)間(單位:小時)(1,3](3,5](5,7](7,9](9,11]人數(shù)13475(1)從上述抽取的學(xué)生中任取2人,設(shè)X為運動達(dá)人的人數(shù),求X的分布列;(2)以頻率估計概率,從該校學(xué)生中任取2人,設(shè)Y為運動達(dá)人的人數(shù),求Y的分布列.成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測12341.某校團委決定舉辦“鑒史知來”讀書活動,經(jīng)過選拔,共10名同學(xué)的作品被選為優(yōu)秀作品,其中高一年級5名同學(xué),高二年級5名同學(xué),現(xiàn)從這10個優(yōu)秀作品中隨機抽7個,則高二年級5名同學(xué)的作品全被抽出的概率為(

)A123412343.某處有水龍頭3個,調(diào)查表明每個水龍頭被打開的可能性是0.1,隨機變量X表示同時被打開的水龍